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Presentation Transcript

  1. Geometria

  2. Conceitos Primitivos r A B  Reta que passa pelos pontos A e B Semi-retas Conceitos Iniciais Ponto: A,B,C... Reta: r,s,t... Plano: ,,..

  3. r A B B A Segmento de reta  Conceitos Iniciais

  4. Estudo dos ÂNGULOS PARALELISMO

  5. . Algumas relações importantes • Qual a soma das medidas dos ângulos ao lado ? b a

  6. Algumas relações importantes • Sea + b = 90 o; então estes são chamados ÂNGULOSCOMPLEMENTARES b a . aé o complementar deb bé o complementar dea

  7. PERGUNTA !!! • Quanto mede o compl. do ângulo x ? ? x .

  8. PERGUNTA !!! • Quanto mede o compl. do ângulo x ? 90º - x x . • Compl(x) = 90o - x

  9. Ângulos Suplementares • Pares de ângulos quesomam 180osãosuplementares. b a a + b = 180o • supl(x) = 180o - x

  10. A   B Dica! Bissetriz P O Todo ponto da bissetriz é eqüidistante das duas semi-retas

  11.  Ângulos Suplementares  +  = 180°

  12. /2 /2 /2  /2  +  = 180°/2 + /2 = 90°  +  = 180° Ângulos Suplementares As bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares são perpendiculares

  13. Paralelismo • Essas retas são paralelas ? r s

  14. Paralelismo • Essas retas são paralelas ? r s

  15. Paralelismo t • Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais casos de paralelismo. r s

  16. Paralelismo t • Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais casos de paralelismo. 2 1 r 3 4 6 5 s 7 8

  17. Paralelismo - 1º caso

  18. t a r b s Paralelismo - 1º caso • Os ângulosaebestão na mesma posição em relação às retas horizontais e estão ambos à direita de t. São chamados ângulos CORRESPONDENTES

  19. t a r b s Paralelismo - 1º caso O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?

  20. a b Paralelismo - 1º caso t r s O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?

  21. a b Paralelismo - 1º caso t r s O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?

  22. Paralelismo - 1º caso t a = b r  s O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?

  23. Conclusão t a r b s • Se os ângulos a e b são c o n g r u e n t e s(iguais) ; as retas re s são paralelas. • Se as retas r e s forem paralelas; os ângulos correspondentes determinados por uma transversal t serão congruentes.

  24. Conclusão t a r b s • Seab r // s

  25. t a a r r b b s s Comparação fig. 1 fig.2 t “iguais” r //s “diferentes” Ângulos correspondentes

  26. Paralelismo - 2º caso

  27. t r a b s Paralelismo - 2º caso • Esses ângulos estão posicionados como os ângulos do 1o caso ?

  28. t t a r r a b b s s Paralelismo - 2º caso X 1º caso

  29. t r a b s Paralelismo - 2º caso • Claro que não ! • Nesse caso, os ângulos estão em posições alternadas. • Um acima de s, o outro abaixo de r. • Um à direita e outro à esquerda de t.

  30. t r a b s Paralelismo - 2º caso • São os ângulosALTERNOS. • Podem serINTERNOS, comoaeb,ou então • EXTERNOS.

  31. y x Paralelismo - 2º caso t r s • x e y sãoALTERNOS EXTERNOS.

  32. y a b x Paralelismo - 2º caso t t r r s s Em qualquer um dos casos, se temos pares de ângulos congruentes, as retas r e s serão paralelas, e v.v.

  33. y a b x Paralelismo - 2º caso t t r r s s Se a br//s Se xy r//s

  34. Paralelismo - 3º caso

  35. Paralelismo - 3º caso t • Na figura acima temos ângulos que não sãoalternos ou correspondentes. Apenas estão do mesmo lado em relação à reta transversal t . r a b s

  36. Paralelismo - 3º caso t • Esses são chamados ângulos COLATERAIS, que também podem ser INTERNOS ou EXTERNOS. r a b s

  37. Paralelismo - 3º caso t r a b s Colaterais Internos

  38. Paralelismo - 3º caso t a r s b Colaterais Externos

  39. Paralelismo - 3º caso t t a r r a b s s b Note que nesse caso é fácil perceber que os ângulos não são congruentes, pois um é agudo e o outro obtuso. (é possível que ambos sejam retos)

  40. Paralelismo - 3º caso t t a r r a b s s b Qual parece ser a relação que os ângulos das figuras devem satisfazer para que as retas r e s sejam paralelas ?

  41. Paralelismo - 3º caso t a r s b

  42. Paralelismo - 3º caso t a r s b

  43. Paralelismo - 3º caso t a r s b

  44. Paralelismo - 3º caso t a s r b

  45. Paralelismo - 3º caso t t a r r a b s s b Se a + b = 180o r//s. (a e b suplementares)

  46. S3j4m b3m v1nd0s3 Até a próxima