1 / 57

BAB 6. INTEGRASI VEKTOR

BAB 6. INTEGRASI VEKTOR. PENDAHULUAN Pada bab ini terdapat 4 sub- bab yg perlu diperhatikan Ke-4 sub- bab itu merupakan dasar dari Integrasi Vektor Empat sub- bab yg harus dipelajari meliputi : 1. Integral biasa vektor ⇨ integral tak-tentu dan tertentu

darcie
Download Presentation

BAB 6. INTEGRASI VEKTOR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB 6. INTEGRASI VEKTOR PENDAHULUAN Padababiniterdapat 4 sub-babygperludiperhatikan Ke-4 sub-babitumerupakandasardariIntegrasiVektor Empat sub-babygharusdipelajarimeliputi : 1. Integral biasavektor⇨ integral tak-tentudantertentu 2. Integral Garis (Kurva) ⇨ integral suatulintasan 3. Integral Permukaan⇨ integral luasbidangdatar 4. Integral Volume ⇨ integral isibidangtertutup

  2. 6.1. INTEGRAL BIASA Misalkan R(u) = R1(u) i + R2(u) j + R3(u) k sebuahvektorygbergantungpdvariabelskalartunggal u, dimana R1(u), R2(u), R3(u) kontinuedalamselangwaktuygditentukan. Maka ∫R(u) du = i ∫R1(u) du + j ∫R2(u) du + k ∫ R3(u) du disebutintegral tak-tentudaridariR(u). BilaterdapatsebuahvektorS(u) sehingga R(u) = S(u), maka ∫R(u) du = ∫ S(u) du = S(u) + c dimana c adalahvektorkonstansebarangygtakbergantungpada u. Integral tertentuantara limit-limit u = a dan u = b, dalamhalinidapatdituliskan : du = S(u) du = S(u) + c | = S(b) – S(a)

  3. Bila A adalahgaya F padasebuahpartikelygbergeraksepanjang C maka integral garisinimenyatakanusahaygdilakukanolehgaya. Jika C adalahkurvatertutup, ygmanadianggapsebagaikurvatertutupsederhana, yaitukurvaygtakmemotongdirinyasendiri, maka integral mengelilingi C seringditunjukkanoleh : = • Padaumumnyasetiap integral ygdihitungsepanjangkurvadisebut integral garis. • TEOREMABilaA = 𝛁φpadasemuatitikdalamsuatudaerah R dariruangygdidefinisikanoleh : a1⩽ x ⩽ a2 , b1⩽ y ⩽ b2 , c1⩽ z ⩽ c2dimanaφ(x,y,z) berhargatunggaldanmemiliki turunan2ygkontinudalam R, maka 1. , tidakbergantungpadalintasan C dalam R ygmeng.hubungkan P1dan P2

  4. 6.2. INTEGRAL GARIS Misalkan r(u) = x(u) i + y(u) j + z(u) k dimana r(u) adalahvektorposisidari (x,y,z) mendefinisikansebuahkurva C ygmenghubungkan titik2 P1dan P2 , dimana u = u1dan u = u2untuk masing2nya. Anggaplahbahwa C tersusundarisejumlahberhingga kurva2dimanauntuk masing2nya r(u) memilikiturunanygkontinu. BilaA(x,y,z) = A1 i + A2 j + A3 k sebuahfungsivektordariposisiygdidefinisikandankontinusepanjang C, maka integral darikomponentangensial A sepanjang C dari P1ke P2dituliskan : = ygmerupakancontohintegral garis.

  5. 2. 0 , mengelilingisetiapkurvatertutupdalam R. DalamhaldemikianAdisebutmedanvektorkonservatifdanφ.adalahpotensialskalarnya. • SebuahmedanvektorAadalahkonservatifjikadanhanyajika𝛁 x A = 0ataujugaekivalendengan A = 𝛁φ. Dalamhalini, A · dr = = dφ, suatudiferensialeksak.

  6. 6.3. INTEGRAL PERMUKAAN - Bila S sebuahpermukaanbersisi-dua, misalkansisiygsatudari S di- . pandangsebagaisisipositif, jika S adalahpermukaantertutupini di- . ambilsebagaisisiluar. - Sebuah normal satuannpadasebarangtitikdarisisipositifnya S .disebutsatuan normal positifdalamhaliniarahnyakeatas. - BerkaitandenganpermukaankecildSdaripermukaan S dapat di- .bayangkanadanyavektordSygbesarnyasamadengandSdanarah- .nyasamadengann. MakadS = ndS , sehinggadiperoleh Integral .Permukaan(luas) : = inimerupakan integral permukaanygdisebutfluksdariAterhadap S

  7. Integral-integral permukaan (luas) lainnya dimanaφadalahsebuahfungsiskalar. Integral2demikiandapat di- definisikandarisegipandangan limit jumlahsepertidalamkalkuluselementer. • Notasiterkadangdipakaiuntukmenyatakanintegrasimelaluipermukaantertutup S. • Untuk agar tidakmenimbulkankebingunganumumnyadigunakannotasi

  8. Untukmenghitung integral permukaan (luas) akanlebihmudah denganmemproyeksikan S padasalahsatubidangkoordinatlalu.menghitung integral lipat-duadariproyeksinya. • Maka integral darimedanvektorApadapermukaan S, sbb : 1. Bila S diproyeksikanpadabidangxy L = = 2. Bila S diproyeksikanpadabidangxz L = = 3. Bila S diproyeksikanpadabidangyz L = = dimana : . n =φadalahvektor normal permukaan S A = medanvektorpermukaan S, φ = medanskalardandS = luas S

  9. 6.4. INTEGRAL VOLUME • Bila terdapatfungsi 3-peubah w = f(x,y,z), makauntukuntukmenentukan integral volume dari w = f(x,y,z) terhadapsuatubalok B misalnya, makabagilahbalok B menjadisejumlah n sub-balok, Bi ; i = 1, 2, 3,…, n.Diperoleh volume sub-balok ∆Vi = ∆xi ∆yi∆zisehingga volume balok B : V = V Integral volume dari w = f(x,y,z) terhadap B adalah : = lim ∆V .syarat integral rangkap-tiga (volume)adalah w kontinupada B. • Bila G adalahbendaruangsembarang, makauntukmenghitung integral volume dari w = f(x.y,z) atas G dengancaramendefinisi- kanfungsi g(x,y,z) : - g(x,y,z) = f(x,y,z) ; (x,y,z) Є G - g(x,y,z) = 0 ; (x,y,z) ЄB – G

  10. Karena B merupakanbalokygmelingkupibendaruang G, maka integral volume : dV = dV Secaraumum integral rangkap-tiga(volume) dapatdinyatakan.denganrumus : dan

  11. ContohsoalIntegrasiVektor 1. Bila R(u) = (u2 – u3) i + 3u2 j – 3u k , tentukan. a. b. 2. Hitunglah · drdimanaA = 3y i – x j dan C adalahpotongan.garislurusdari (0, 0) ke (2, ) ? 3. Hitunglah· ndSdimanaA = 18z i – 12 j + 3y k dan S adalah.bidang 2x + 3y + 6z = 12 ygterletakpadaoktanpertama ? 4. BilaB = 2xz i – x j + y2 k , hitunglah , dimana V adalah.ruangygdibatasioleh permukaan2 x = 0 , y = 0 , z = 4 dan z = x2 ?

  12. JawabancontohsoalIntegrasiVektor 1a. R(u) = (u2 – u3) i + 3u2 j – 3u k = du . = i ( u3 – u4) + c1 + j ( u3) + c2 – 1 u2 + c3. = ( - i + u3 j – 1 u2 k + C 1b. =( - i + u3 j – 1 u2k |. = ( - ) i + 23 j – 1 (22) k . = – 1 i + 8 j – 6 k 2. A = 3y i – x j danr = x i + y j + z k ⇨ dr = dx i + dyj + dz k · dr= · (dx i + dy j + dzk) persamaan parameter garislurus (0,0) ke (2, ) : .r(x,y,z) = [(0,0) + (2, ) – (0,0)] t , dimana 0⩽ t ⩽1 , sehingga :

  13. x = 2t ⇨ dx = 2 dtdan y = t ⇨dy = dt Jadi . · dr= = t) 2 dt – (2t) dt = dt – t dt = dt. = t3| = 13 – 0 = 1 3. A = 18z i – 12 j + 3y k Dari rumus : = Sebuahvektorygtegaklurusterhadappermukaan 2x + 3y + 6z = 12 diberikanoleh𝛁(2x + 3y + 6z) = 2 i + 3 j + 6 k, makasatuan normal terhadapsembarangtitik di S : n = = i + j + k dann · k = ( i + j + k) · k = sedangkan = dx dy

  14. Besar A · n = (18z i – 12 j + 3y k) · ( i + j + k ) = = dimana z = .Maka : = = ( dx dy) . = mencaribatas integral, 2x + 3y + 6k, dimana z = 0 sehingga y = makabatasbawah y = 0 danbatasatas y = , maka : = . = = () – 2x () dx = - 4x – 8x + x2) dx = – 12x + x2) dx = = 24x – 6x2 + x3 = 24(6) – 6(62) + (63) = 24

  15. 4. B = 2xz i – x j + y2 k dan x = 0 , y = 0 , z = 4 dan z = x2 Batas2 integral rangkap-tiga : x = 0 → x = 2 dari z = x2. 4 = x2 → x = 2 y = 0 → y = 6 dan z = x2 → z = 4 Jadi dzdy dx . = i – j + .k . = i xz2dy dx – j xz dydx + k y2z .dydx = ……………… = 128 i – 24 j + 384 k

  16. Latihansoal/PR 1. Hitunglah integral garisdengan.lintasan C ygmenghubungkantitik (0, 1) ke (1, 2) ygberbentuk : . a. garislurusdari (0,1) ke (1,2) . b. garislurusdari (0,1) ke (1,1) laluke (1,2) ? 2. Hitungusaha total ygdilakukanuntukmenggerakkansebuah.partikeldalammedangayaygdiberikanolehF = 3xy i – 5z j+10x k .sepanjangkurva x = t2 , y = 2t2 , z = t3dari t = 1 ke t = 2 ? 3. TentukanhasildimanaA = z i + x j – 3y2 k dan S .merupakanpermukaansilinder x2 + y2 = 16 ygterdapatdalam.oktanpertamaantara z = 0 dan z = 5 ? 4. Biladiketahuiφ = x2 + y2 , hitunglah , dimana V .adalahisisilinder x2 + y2 = 4 dimana 0⩽ t ⩽ 3 ?

  17. BAB.7. MATRIKS (Matrices) Pendahuluan • Matriksmerupakansederetanbilanganberbentukpersegipanjangygdiapitolehsepasangkurungsikudanmemenuhi aturan2tertentuygdiberikanolehoperasiini. Sebagaicontohnya : a. 2 3 7 b. 1 3 1 . 1 – 1 5 2 1 4 . 4 7 6 .Matriksadapatdipandangsebagaimatrikskoefisiendari per- .samaan linier : 2x + 3y + 7z = 0 dan x – y + 5z = 0 .bisajugasebagaimatrikslengkappersamaan linier tak- .homogen : 2x + 3y = 7 dan x – y = 5

  18. Matriks b, dapatdianggap baris2nya sebagaikoordinattitik (1,3,1) dan (4,7,6). • Matriksa11 a12 a13 ….. a1n.a21 a22 a23 …. a2n. ……………………… disebutmatriksberordo m x n. .am1 am2 am3amn • bilangan/fungsiaijdisebutelemen, contohnya : a12, a23dst. • dalampenulisan subscript ganda, subscript pertama : barisdan. subscript kedua : kolom. Jadisemuaelemenpadabariskedua.mempunyai 2 sebagai subscript pertamadansemuaelemenpd.kolomkelimamempunyai 5 subscript kedua, dst. • Dalammenunjukkansebuahmatrikskadangdipakaisepasangtandakurung ( ), garistegakganda | |, tapiumumnyadigunakankurungsikuganda [ ]

  19. 7.1. MatriksBujursangkar Bilam = n, (1,1) adalahbujursangkardanakandisebutmatriksbujursangkarberordon atausebuahmatriksbujursangkat n.Dalamsuatumatriksbujursangkar, elemena11, a22, … amndisebutelemendiagonal. Jumlah elemen2 diagonal matriksbujursangkarAdisebuttrace A. MatriksSamaDuamatriksA = [aij] danB = [bij] disebutsama, A = B, jikadanhanyajikakeduanyaberordosamasertasetiapelemenygseletaksama, yaitujikadanhanyajika : aij = bijdimanai = 1, 2, 3,…mdanj = 1, 2, 3,….n. Jadiduamatriksdikatakansamajikadanhanyajikaygsatumerupakanduplikatyglainnya. MatriksNolMatriksygsemuaelemennyanoldisebutmatriks nol. JadiA = 0

  20. 7.2. JumlahdanSelisihMatriks JikaA = [aij] danB = [bij] ,duabuahmatriksm x n, makajumlahatauselisih, A ± BdidefinisikansebagaimatriksC = [cij], m x n, dengantiapelemenCadalahjumlahatauselisihelemenAdanelemenBygseletak. JadiA ± B = [aij ± bij]. Contoh : A = 2 2 3B = 2 3 1.2 1 4 -1 2 - 3 maka.A + B = 2+22+33+1454.2+(– 1)1+24+(– 3) = 131 A – B = 2 – 2 2 – 3 3 – 1 0 – 1 2 . 2 – (– 1) 1 – 2 4 – (– 3) = 3 – 1 7

  21. Duamatriksberordosamadisebutbersesuaianuntukpenjumlah- an ataupengurangan • Duamatriksberordoberbedatidakdapatdijumlahkanataudikurangkan. Contohnya : padamatriksadanb di atas, tidakdapatdijumlahkanataudikurangkan. • JumlahdarikbuahmatrisA adalahsuatumatriksygberordosamadenganA danbesartiapelemennyaadalahk kali elemen A ygseletak. Contoh : A = 1 – 2.2– 3maka. 3 A = A 3 = A + A + A = 1– 2 + 1– 2 + 1– 23– 6.2– 32– 32– 3 = 6– 9 – 5 A = – 510.– 1015

  22. DenganasumsibahwamatriksA, BdanCadalahbersesuaianuntukpenjumlahan, dapatdinyatakan : 1. A + B = B + AHukumKomutatif 2. A + (B + C) = (A + B) + CHukumAsosiatif 3. k (A + B) = kA + kB = (A + B) k 4. TerdapatsuatumatriksDsedemikiansehinggaA + D = B Hukum2inimerupakanhasildarihukumaljabarelementerygmengaturpenjumlahanbilangandanpolinom.

  23. 7.3. PERKALIAN MATRIKS • BilamatriksA = [ a11a12a13 …a1m ] ygberordo 1 x mdanmatriksB = b11.b21. .… .bm1ygberordom x 1. Makahasil kali AB = C [a11 b11 + a12 b21 + a12 b31 + …… + a1m bm1] ygberordo 1 x 1 • Perhatikanbahwaoperasinyaadalahelemenbarisdikalikanelemenkolomygsepadanlaluhasilnyadijumlahkan. Contoh : A = a11a12B = b11b12.a21a22b21b22 a31a32 makaA B = a11a12b11b12.a21a22b21b22 = .a31a32

  24. . A B = a11a12b11b12.a21a22b21b22 = .a31a32. a11b11 + a12b21a11 b12 + a12 b22.a21b11 + a22 b21a21 b12 + a22 b22 .a31 b11 + a32 b21 a31 b12 + a32 b22 • Hasil kali ABterdefinisiatauAbersesuaianterhadapButkperkalian, hanyajikabanyaknyakolomAsamadenganbarisB. BilaAbersesuaianterhadapButkperkalian, makaBtidakperlubersesuaianterhadapAutkperkalian. • DengananggapanbahwaA, B, Cbersesuaianutkjumlahdanhasil kali ygditunjukkan, adabeberapaketentuan : 5. A(B + C) = AB + ACHukumDistributif 1 6. (A + B) C = AC + BCHukumDistributif 2 7. A(B+C) = (AB)CHukumAsosiatif

  25. 7.4. Hasil-kali MatriksdenganPartisi • MisalkanmatriksA = [ aij ] berordom x pdanB = [ bij ] ygberordop x n.Dalampembentukkanhasil-kali AB, matriksAdipartisiatasmmatriks masing2berordo 1 x p, danBatasnmatriksberordop x 1. • Partisi lain bolehdipakai, misalnyatetapkanAdanBdipartisiatas matriks2berperingkatsesuaidenganygditunjukkangarismerah. • A = B = p1 xn1p1xn2.p2xn1p2xn2 p3xn1p3xn3atau A = B = B11B12.B21B22.B31B32

  26. Dalamsembarangpartisidemikiandiperlukanbahwa kolom2Adan baris2Bdipartisisecaraeksakdengancaraygsama; tetapi m1, m2, n1, n2bolehberupasembarangbilanganbulattak-negatifsedemikiansehinggam1 + m2 = mdann1 + n2 = n. MakaA x B : A x B = . = = C

  27. ContohsoalMatriks 1. BilamatriksA = 1210danB = 3412..40221513.2-521 2 -2 3 -2.Tentukan a. A + B. b. A – B 2. JikadiberikanmatriksP = 12danQ = -3-2.341-5.5643.HitunglahRsedemikianrupasehinggaP + Q – R = 0 ? 3. a. BilamatriksK = [ 23-1 ] danL = 4.5.6.TentukanK L ?

  28. . 3b. BilamatriksK= [ 23-1 ] danL = 4.5.6.Tentukan LK ? 3c. BilamatriksM = [ 321 ] danN = 4-696.0-7107.58 -11-8.Tentukan MN ? 3d. BilamatriksO= 234danP= 1.1562.3.TentukanOP? 3e. BilamatriksQ= 121danR= 3 -4.40215 -22 TentukanQR ?

  29. . 4. BilamatriksA= 1-11danB=123.-32-1246 -21 0123 TentukanABdanBA ? 5a. BilamatriksS= 210danT= 1110.3202110 1012312 TentukanSTdenganmetodeparsial ? 5b. BilamatriksU= 1001danV= 100.0102010 0013001.312 TentukanUVdenganmetodeparsial ?

  30. Jawabancontohsoal Bab 7. Matriks 1. 121034124622...4022+ 1513= 553 5..2-521 2 -2 3 -24-75-2 12103412-2-20-2...4022 – 1513 = 3-51-1..2-521 2 -2 3 -20 -3-13 2. P + Q – R = 0 12-3-2 a b 00..34+ 1-5 – c d = 00..5643 e f 00 1 – 3 – a = 0 2 – 2 – b = 0 3 + 1 – c = 0 . a = - 2 b = 0 c = 4 . 4 – 5 – d = 0 5 + 4 – e = 0 6 + 3 – f = 0 . d = - 1 e = 9 f = 9

  31. Jadi R = -20.4-1.99 3a. KL = [ 23-1] 4 .5 = [ 2(4) + 3(5) +(-1)(6) ] = [ 17 ] .6 3b. LK = 4 [ 23-1 ] = 4(2)4(3)4(-1) = 812-4.54(2)5(3)5(-1)1015-5.66(2)6(3)6(-1)1218-6 3c. MN = [ 321 ] 4-696.0-7107= ..58 -11-8 = [3(4) + 2(0) + 1(5)3(-6) + 2(-7) + 1(8) 3(9) + 2(10) + 1(-11) 3(6) + 2(7)+1(-8) ] .= [ 17 -24 36 18 ]

  32. .3d. OP = 23412(1) + 3(2) + 4(3) 20 .1562 = 1(1) + 5(2) + 6(3) = 29 ..3 3e. QR = 1213-41(3) + 2(1) + 1(-2)1(-4) + 2(5) + 1(2) .40215 = 4(3) + 0(1) + 2(-2) 4(-4) + 0(5) + 2(2) -22. = 3 8.8 -12 4. EF = 1-11123..-32-1246 = -210123. = 1(1)+(-1)(2)+1(1) 1(2)+(-1)(4)+1(2)1(3)+(-1)(6)+1(3).-3(1)+2(2)+(-1)(1)(-3)(2)+2(4)+(-1)(2)(-3)(3)+2(6)+(-1)(3) (-2)(1)+1(2)+(0)(1)(-2)(2)+(1)(4)+(0)(2)(-2)(3)+1(6)+(0)(3)

  33. . = 0000.0000.0000 FE = 1231 -1 1..2 4 6-3 2 -1= 123-210.= 1(1)+(2)(-3)+3(-2) 1(-1)+(2)(2)+3(1)1(1)+(2)(-1)+3(0).2(1)+4(-3)+(6)(-2)(2)(-1)+4(2)+(6)(1)(2)(1)+4(-1)+(6)(0) (1)(1)+2(-3)+(3)(-2)(1)(-1)+(2)(2)+(3)(1)(1)(1)+2(-1)+(3)(0). = -116-1.-2212-2.-116-1 JadiEF≠ FE

  34. 5a. STdenganmetodePartisi : 2101110 S11 T11 + S12T21 S11T12 + S12T22.3202110⩰ S21T11 + S22T21 S21T12 + S22T22 1012312 21111 + 0 [ 231] 21 + 0 [ 2 ] .322110320... [10] 111 + [ 1 ] [2 3 1] [1 0] 0 + [ 1 ] [ 2 ] .2110 433 + 0000 + 0.75500000.. [ 111 ] + [ 231 ] [ 0 ] + [ 2 ]

  35. . 4330..7550..4330. = 7550. [ 342] [ 2] 3422 5b..UVdenganmetodePartisi 1001100... 0102010 00130 01⩰ [ U11V11 U12V21].312.100100 + 1100312.0100102 [ 3 2 1] = 010624.0010013001 9 3 6 .412.634 . 9 3 7

  36. SOAL LATIHAN/PR Bab 7. MATRIKS 1. A = 12-3 , B = 3-12danC = 412.5 0 24 2 50 3 2..Hitunglah : a. A + B = ? danA – C = ? . b. D bilaA – B + C = 0 ? 2. P = 132Q = 1410R = 21-1-2.21-321113-1-1-1.4-3-11-2122-5-10.Buktikanbahwa : PQ = PR 3. K= 100000L= 100000.020000010000.0030000010 0 0 . 0 0 0 4 0 0 0 0 0 3 0 0 . 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 2 0 . 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 3 .HitunglahKLdenganmetodeParsial ?

  37. BAB 8. JENIS-JENIS MATRIKS Pendahuluan • Matriksdapatdibagiatasbeberapajenis, dalam SAP dibedakanatas 8(delapan) jenis • Ada delapanjenismatriksygperludipelajaridalamkuliahMatriksyaituygakandijelaskansecarasingkat di bawah. . 8.1 MATRIKS SATUAN - Matriksbujur-sangkarAyg elemen2nya aij = 0 utki˃j di- .sebutsegitigaatas. - MatriksbujursangkarAyg elemen2ny aij = 0 utki < jdisebut.segitigabawah. - Matriks diagonal

  38. . a11a12a13 …a1na1100 … … 0..0a22a23 … a2na21a220 … … 0.00a33 ….a3na31a32a33 … … 0 .. … ,,,. …. …… …. …. …. …. …. .. 0 0 0 0 0 annan1an2an3 … ann.. a11 0 0 …. 0 . 0 a22 0 …. 0 . 0 0 a33 …. 0 = matriks diagonal = diag (a11, a22, a33, …..ann ) . …. ….. ….. …. . 0 0 0 ann - Biladalammatriks diagonal D, a11 = a22= ….= ann = k, D disebutmatriksskalar. - Bilak = 1 matriksitudisebutmatrikssatuanataumatriksidentitas,ditunjukkanoleh In. Misalnya : I2 = 10 I3 = 100.01 0 1 0 .0 0 1

  39. 8.2 MATRIKS BUJUR SANGKAR KHUSUS • BilaAdanBmatriksbujursangkarsedemikiansehinggaAB = BA, makaAdanBdisebutkomutatifataudapatsalingdipertukarkan. • BilaAdanBsedemikiansehinggaAB = – BA,makamatriksAdanBdisebutanti-komutatif • MatriksAdengansifatAk+1 = Adengan k bulatpositif, disebutperiodik • Bila k bilanganbulatpositifterkecilutkmanaAk+1 = A. makaAdisebutberperiode k • Bila k = 1 sehinggaA2 = AmakaAdisebutidempoten • MatriksAutkmanaAp=0 dengan p bilanganbulatpositifdisebutnilpoten • Bila p bilanganbulatpositifterkecilutkmanaAp = 0 makaAdisebutnilpotenberindex p

  40. 8.4 TRANSPOSE MATRIKS • Matriksberordom x mygdiperolehdaripenukaranbarisdengankolommatriksA, m x mdisebuttansposedariAdandinyatakanolehA. Misalnya : .A = 123⇨A’ = 14.45625..36Perhatikanbahwaelemenaijpadabariske idankolomke jdariAberadapadabariske jdankolomke idariA’. • BilaA’ danB’ masing2 transpose dariAdanB, danjika k suatuskalarmaka : a. (A’)’ = A b. (kA) = kA’ c. (A + B)’ = A’ + B’ d. (AB)’ = B’ · A’

  41. 8.3 MATRIKS BALIKAN (Matriks Invers) • BilaAdanBmatriksbujursangkarsedemikiansehinggaAB = BA = I makaBdisebutinvers(balikan) dariA, B = A-1 . MatriksBjugamempunyai invers, yaituA, ditulisA = B-1Misal : .1236-2-3100.133-110 = 010 = I .124-101001 • JikaA and Bmatriksbujursangkarberordosamadengan invers masing2A-1danB-1maka (AB)-1 = B-1A-1 • SebuahmatrikssedemikiansehinggaA2 = I disebuatinvoluntari.Jadimatriksinvoluntariadalahbalikannyasendiri. Misalnyamatrikssatuan.

  42. 8.5 MATRIKS SIMETRI MatriksAsedemikiansehinggaA’ = Adisebutsimetri. JadisuatumatriksbujursangkarA = [aij ] adalahsimetriasalkanaij = ajiuntuksemuaidanj. Misalnya : .A = 123.24-5.3-56adalahsimetridanjuga kAuntuksembarangskalar k. • JikaAmatriksbujursangkarberordonmakaA + A’ adalahsimetri • Matriksbujursangkar A sedemikiansehinggaA’ = – Adisebutsimetri miring. JadisuatumatriksbujursangkarAadalahsimetri miring aij = – ajiuntuksemuanilaiidanj. Dan elemen2 diagonal nol. Misalnya : .A = 0-23 .204.-3-40adalahsimetri miring danjuga kAutksebarang k.

  43. 8.6 KONYUGAT SUATU MATRIKS • Tetapkan adanbbilanganriil, tetapkani = makaz = a + bidisebutbilangankompleks. Bilangan2kompleksa + bidana – bidisebutkonyugat, masing2 merupakankonyugatdariyglainnya .Jikaz = a + bikonyugatnyadinyatakanoleh = • Bilaz1 = a + bidanz2 = = = a + bi , yaitukonyugatdarikonyugatsuatubilangankompleks z adalah z sendiri. • Jikaz1 = a + bidanz2 = c + di maka : . 1. z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i dan = (a + c) – (b + d)i = (a – bi) + (c – di) = + yaitu, konyugatdarijumlahduabilangankompleksadalah.jumlahkonyugatnya.

  44. 2. z1 · z2 = (ac – bd ) + (ad – bc)i dan = (ac – bd ) – (ad + bc)i = (a – bi) (c – di). = · yakni, konyugatdarihasil kali duabilangankompleksadalahhasil. kali konyugatnya. • BilamanamatriksAmempunyaielemenbilangankompleks,matrik ygdiperolehdariAdengancaramenggantitiapelemendengan.KonyugatnyadisebutkonyugatdariAdandinyatakanoleh. (Akonyugat). Contohnya : BilaA = 1 + 2iimaka = 1 – 2i– i .32 – 3i32 + 3i • Biladan masing2 konyugat darimatriksAdanBserta k sembarangskalar, maka : 1. ( ) = A. 2. ( ) =

  45. 3. Konyugatjumlahduamatriksadalahjumlahkonyugatnya, yaitu () = + 4. Konyugathasil kali duamatriksadalahhasil kali darikonyugatnya.dalamurutanygsama, ( ) = · 5. Transpose daridinyatakanoleh (A konyugat transpose) ygter- .kadangditulissebagaiA* 6. Transpose darikonyugat A samadengankonyugatdari transpose A, .yakni ( )’ = (). Contohnya : ( )’= 1 – 2i3sedangkanA’ = 1 + 2i3dan -i 2 + 3 ii2 – 3i () = 1 – 2i 3 = ( )’ - i2 + 3 i

  46. 8.7 MATRIKS HERMITE MatriksbujursangkarA = [ aij ] sedemikiansehingga = A disebuthermite. JadiAHermiteasalkanaij = utksemuanilaiidanj. Elemen2 diagonal suatumatriksHermiteadalahbilanganriil. Misal.MatriksA = 11 – i2 1 + i3iadalahHermite. 2- i0 • Matriks bujursangkarA = [ aij ] sedemikiansehingga = - Adisebuthermite miring. JadiAadalah hermit miring asalkanaij = - utksemuanilaiidanj. Dan elemen2 diagonal suatumatriks hermit miring adalahnolatauimajinermurni. Misalnya : . A = 11 – i2.-1 – i3i i . -2i0adalahmatrikshermit miring.

  47. 8.8 MATRIKS JUMLAH LANGSUNG TetapkanA1, A2, …, As masing2adalahmatriksbujursangkarberordom1, m2, …,ms. A = A10 …. 0.0A2 … 0 = diag (A1, A2, …As) . ………….. .00Asdarimatriks diagonal disebutjumlahlangsungdariAs. Contohnya : tetapkanA1 = 12danA2 = 12-1.34203.41 -2JumlahlangsungA1, A2, A3adalah diagonal (A1, A2, A3) =

  48. . = 200000.012000.034000 . 0 0 0 1 2 -1 . 0 0 0 2 0 3 . 0 0 0 4 1 -2

  49. ContohsoalJenisMatriks 1. BuktikanbahwamatriksA = 2-2-4.-134adalahidempoten ? .1-2-3 2. BilaB = 113.526buktikanbahwamatriksBnilpotenberordo 3 . -2 -1 -3 3. DiketahuimatriksP = 236danQ = 45.54-1 2 3 . 1 0 .Tentukan : a. PQ. b. P’Q’ (transpose P dikali transpose Q) ? 4. JikaK = 1 – 2i- idanL = 2 – 2ii.32 + 3i22 – 3i.Hitunglah :

  50. Hitunglah: a. + b. · ? 5. JikamatriksS = 31 – i2.1 – 2i 32i.2-3i1.Tentukan ?

More Related