Los Elementos de Euclides

1. Los Elementos de Euclides Estas largas cadenas de razón, tan sencillas y fáciles, de las que se sirven los geómetras para lograr sus más difíciles demostraciones, me habían llevado a pensar que todas las cosas que pueden ser objeto de conocimiento humano, se entrelazan de la misma manera, y que, a condición únicamente de que uno se abstenga de aceptar como verdadera ninguna que no lo sea y de que siga el orden indispensable para derivarlas unas de otras, no puede haberlas tan alejadas que no se las pueda alcanzar, ni tan escondidas que no se las pueda descubrir (Descartes) El poner de manifiesto los axiomas de la geometría y averiguar sus conexiones es problema que queda reducido al análisis lógico de nuestras intuiciones espaciales (Hilbert)

2. Los Elementos de Euclides como paradigma de teoría científica • Toda ciencia demostrativa debe partir de principios indemostrables; de otra manera, los pasos de la demostración no terminarán nunca • Algunos de los principios indemostrables son comunes a todas las ciencias: axiomas o nociones comunes • Otros son propios de cada ciencia: postulados • Entre los principios de cada ciencia que deben ser supuestos está en primer lugar el género, es decir, la materia de que se va a tratar. Lo que hay que suponer es la existencia del género, en geometría por ejemplo la existencia de la magnitud • En segundo lugar se asumen las definiciones de las manifestaciones del género; en geometría, líneas rectas, triángulos… • La definición no supone la existencia de lo definido • En geometría hay que suponer la existencia de algunos elementos definidos: puntos y líneas • La existencia de cualquier otra cosas y sus propiedades tiene que ser demostrada

3. Paradigma de teoría científica • Teoría • Teorema • Deducción Natural

4. Definiciones D1. Punto es lo que no tiene partes D2. Línea es longitud sin anchura D3. Los extremos de la línea son puntos D4. Línea recta es una línea que yace por igual sobre los puntos de la misma D5. Superficie es lo que sólo tiene largo y ancho D6. Los extremos de la superficie son líneas D7. Superficie plana es lo que yace por igual sobre las líneas rectas de la misma D8. Ángulo plano… D9. Ángulo rectilíneo… D10. Cuando una línea recta trazada sobre otra línea recta hace ángulos iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto; y la línea recta trazada sobre la otra se llama perpendicular a aquella sobre la cual está trazada D11. Ángulo obtuso… D12. Ángulo agudo…

5. Definiciones D13. Límite… D14. Figura…. D15. Círculo es una figura plana limitada por una línea tal que todas líneas rectas incidentes sobre ella desde un punto de los que están situados dentro de la figura son iguales entre sí D16. Al punto se le llama centro del círculo D17 diámetro… D18. semicírculo… D19 Figuras rectilíneas, triláteras, cuadriláteras, multiláteras… D20. triángulo equilátero, isósceles, escaleno… D21. triángulo rectángulo, obtusángulo, acutángulo… D22. cuadrado, rectángulo, romboide, trapecio… D23. Líneas rectas paralelas son líneas rectas coplanares que prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se cortan en ninguno de los dos

6. Postulados Se postula: P1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta otro punto cualquiera P2: Prolongar indefinidamente una línea recta limitada en línea recta P3: Trazar un círculo con centro y distancia cualquiera P4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí P5: Si una línea recta incidente sobre dos líneas rectas hace ángulos internos por un mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, prolongadas indefinidamente, se encuentran por el lado en que están los ángulos menores que dos rectos

7. Nociones Comunes NC1: Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí NC2: Si iguales se adicionan a iguales los totales son iguales NC3: Si iguales se sustraen de iguales los restos son iguales NC4: Cosas que coinciden entre sí, son iguales entre sí NC5: El todo es mayor que la parte

8. T1: Sobre una recta limitada dada, construir un triángulo equilátero • H: Sea AB una recta limitada Proposición Justificación a. Con centro en A y radio AB describir un círculo (H. P3) b. Con centro en B y radio BA describir un círculo (H. P3) c. Los círculos se cortan en un punto C (a, b, ?) d. Trazar las rectas AC, BC (c. P1) e. AC=AB (a,b, D15) f. BC=AB (b,d. D15) g. AC=BC (e,f. NC1) h. AB=AC=BC (f,g) T: ABC es un triángulo equilátero (h. D20)

9. T2: Desde un punto dado construir una línea recta igual a una línea recta dada • H: Sea A un punto dado, BC una línea recta dada Proposición Justificación a. Unir A con B (H. P1) b. Sobre AB construir un triángulo equilátero ABD (a. T1) c. Prolongar AE, BF en línea recta con AD, BD (b, P2) d. Con centro en B y radio BC describir el círculo CGL (H. P3) e. Con centro en D y radio DG describir el círculo GKL (b,d P3) f. BC=BG (d. D15) g. DL=DG (b,e. D15) h. AL= DL-AD = DG –BD = BG (b,c,d,e,g, T1, NC3) T: AL = BC (f, h. NC1)

10. T3: Dadas dos rectas desiguales, restar de la mayor una recta igual a la menor • H: Sea AB y C rectas desiguales AB > C Proposición Justificación a. En el punto A, construir AD igual a C (H. T2) b. Con centro en A y radio AD trazar el círculo DEF (a. P3) c. AE = AD (b, D15) d. AE = AD, C = AD (c, a) e. C=AE (d, NC1) T: De la recta AB se ha sustraído la menor C (e)

11. T4:Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales, e iguales los ángulos comprendidos por las líneas rectas iguales, tendrán base y ángulos iguales y los triángulos serán iguales • H: Sean ABC, DEF triángulos, tal que AB=DE, AC=DF • <BAC = <EDF Proposición Justificación a. Aplicar el triángulo ABC sobre DEF, punto A (H) sobre D, recta AB sobre DE b. El punto B coincide con el punto E (a) c. El lado AC coincide con el lado DF (a, H) d. El punto C coincide con el punto F (c.) e. La base BC coincide con la base EF (b,d) f. BC=EF, <ABC=<DEF, <ACB=<DEF (e. NC4) T: Los triángulos ABC, DEF son iguales (f.)

12. T5: En los triángulos isósceles, los ángulos de la base son iguales entre sí, y, si se prolongan las líneas rectas iguales, los ángulos de debajo de la base serán también iguales entre sí • H: Sea ABC un triángulo isósceles, tal que AB=AC, AB está prolongada hasta D, AC está prolongada hasta E (P.2) Proposición Justificación a. F es un punto sobre BD (H.) b. De AE cortar AG=AF (a. T3) c. Unir C con F, B con G (a, b, P1) d. En ABG, ACF: AB=AC, AF=AG, <BAG=<CAF (b. H, c) e. Triángulo ABG= triángulo ACF (d, T4) f. BG= CF (e) g. <ABG=<ACF (e) h. <AFC=<AGB (e) i. BF=CG (b,e. NC3) j. En BCF, BCG: BF = CG, BG=CF, <BFC=<BGC (h) k. Triángulo BCF=triángulo BCG (j. T4) l. <BCG= <CBF, <BCF=<CBG (k) T: <ABC=<ACB (g,m. NC3)

13. T7: Dadas dos líneas rectas construidas a partir de los extremos de una línea recta, e incidentes en un punto, no se puede construir a partir de los extremos de la misma línea recta y por el mismo lado de ésta otras dos líneas rectas incidentes en otro punto, e iguales a las dos primeras, cada una con la que tiene la misma extremidad que ella. Demostración Indirecta: • H: AB es una recta dada. AC, BC son 2 rectas dadas tales que A, B son los extremos de la recta AB • T: por un mismo lado de AB no existe otro par de rectas como AC, BC • H’: No T: Existe D distinto de C, AC=AD, BC=BD a. Unir C con D (H’. P1) b. <BDC=<BCD (a. T5) c. <ADC=<ACD (a, T5) d. <ACD = <BCD+<ACB (a.) e. <BDC=<ADC+<ADB=<ACD+ADB= (c,d) <BCD+<ACB+<ADB f. <BDC mayor que <BCD (e.) g. <BDC=<BCD y <BDC mayor que <BCD (b.f) De no T se sigue contradicción por tanto T

14. T8: Si dos triángulos son tales que dos lados del uno son iguales a dos lados del otro, y la base del uno es igual a la base del otro, tendrán iguales los ángulos comprendidos por los lados iguales • H: ABC, DEF son triángulos, AB=DE, AC=DF, BC=EF T: <BAC=<EDF Proposición Justificación a. Aplicar ABC sobre DEF, B sobre E, BC sobre EF (H) b. C coincide con F (a) c. AB=DE, AC=DF Hipótesis auxiliar: H’= no C. Existe G distinto a D tal que AB=EG, AC=FG (H’) d. Sobre la base EF se pueden construir triángulos diferentes con los mismos lados (H’) e. T7 es falso (d) Contradicción, por tanto, no C es falsa T: <BAC=<EDF (c.)

15. T9: Bisecar un ángulo rectilíneo dado. • H: BAC es un ángulo Proposición Justificación a. Sobre AB tómese un punto cualquiera D (H.) b. De AC córtese AE igual a AD (a. T3) c. Unir D con E (b, P1) d. Construir sobre DE el triángulo equilátero DEF (c. T1) e. Unir A con F (d, P1) f. En ADF y AEF: AD= AE, AF=AF, DF=EF (b,e,d) g. Triángulo ADF=triángulo AEF (f, T8) T: <DAF=<EAF (g)

16. T10: Bisecar una recta delimitada dada • H: Sea AB una línea recta Proposición Justificación a. Sobre AB describir el triángulo equilátero ABC (H. T1) b. Bisecar el ángulo ACB mediante la recta CD (a, T9) c. En ACD, BCD: AC=BC, CD=CD, <ACD=<BCD (a, b) d. Triángulo ACD= triángulo BCD (c.) T: AD=BD (d)

17. T11: Si una línea recta levantada sobre una línea recta forma ángulos, hará dos ángulos rectos o ángulos iguales a dos rectos • H: AB, CD son rectas. AB está levantada sobre CD, ABC, ABD son ángulos Si a. <ABC=<ABD (H.) Entonces b. <ABC, <ABD son rectos (a. D10) Si c. <ABC, <ABD no son rectos (H) Entonces d. En B trazar BE perpendicular a CD (c. T11) e. <CBE, <DBE son rectos (d) f. <CBE=<ABC+<ABE (d) g. <CBE+<DBE=<ABC+<ABE+<DBE (f, NC2) h. <ABD=<DBE+<ABE (d) i. <ABD+<ABC=<DBE+<ABE+<ABC= (h, NC2) <ABC+<ABE+<DBE j. <CBE+<DBE=<ABD+<ABC (g,i, NC1) k. <ABD+<ABC= 2 ángulos rectos (e,j) T: ABC , ABD son rectos o iguales a dos rectos (b,k)