DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Liceum Ogólnokształcące im. Henryka Sienkiewicza we Wrześni • ID grupy: • 97/65_MF_G1 • Kompetencja: • Matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • Intuicje w rachunku prawdopodobieństwa • Semestr drugi, rok szkolny 2010/2011

3. CELE PROJEKTU Celem projektu „AS KOMPETENCJI” jest umożliwienie uczniom szkół ponadgimnazjalnych rozwoju kompetencji matematyczno-fizycznych.

4. Nasz zespół

5. Skład • Opiekun: • Justyna Rewers Uczestnicy projektu: Robert Kamiński Marta Mielcarek Marta Student Patryk Szymkowiak Jarosław Długosz Weronika Majchrzak Katarzyna Harendarz Patrycja Wojciechowska Kamila Kubasiak Natalia Dewo

6. SPIS TREŚCI • Intuicje w rachunku prawdopodobieństwa • Rachunek prawdopodobieństwa • Cel rachunku prawdopodobieństwa • Klasyczna definicja prawdopodobieństwa • Własności prawdopodobieństwa • Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym • Zdarzenia losowe

7. SPIS TREŚCI • Schemat Bernoulliego • Wartość oczekiwana • Metoda „drzewek” w rachunku prawdopodobieństwa • Zadanie 1 • Zadanie 2 • Zadanie 3 • Zadanie 4 • Ciekawostki

8. SPIS TREŚCI • Loterie • Loteria fantowa • Rodzaje gier • Ruletka – zasady gry • Lotto • Prawdopodobieństwo w lotto

9. SPIS TREŚCI • Poker • Ryzyko i łączenie ryzyka • Gry • Kamień, papier, nożyce • Kości • Szkółka • Szachy

10. Intuicje w rachunku prawdopodobieństwa

11. Rachunek prawdopodobieństwa • Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. A doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp. • Pierwsze znane zagadnienia z rachunku prawdopodobieństwa dotyczyły gier hazardowych, w szczególności gry w kości. Mimo, że gra znana była już w starożytności, pierwsze teoretyczne zainteresowanie tą grą przejawiali dopiero matematycy francuscy z XVII w. Pierre de Fermat i Blaise Pascal. Podstawowymi pojęciami rachunku prawdopodobieństwa są: przestrzeń zdarzeń elementarnych, z jej elementami, doświadczenie oraz zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo zajścia określonego zdarzenia.

12. Blaise Pascal Pierre de Fermat

13. Cel rachunku prawdopodobieństwa Celem rachunku prawdopodobieństwa jest poszukiwanie sposobu mierzenia tej szansy, czyli określenia prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia losowego.

14. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Sposób liczenia prawdopodobieństwa podał po raz pierwszy Pierre Simon de Laplace w roku 1812. Twierdzenie to brzmi: Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe. |liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających A| P(A) = |liczba wszystkich zdarzeń elementarnych|

15. Niech Ω będzie skończonym wzorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli zajście każdego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ⊂ Ω jest równe |A| P(A) = |Ω| |A| oznacza liczbę elementów zbioru A |Ω|- liczbę elementów zbioru Ω. Pierre Simon de Laplace

16. Własności prawdopodobieństwa • 0≤ P (A) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω • P (Ω) = 1 Ω - zdarzenie pewne • P (Ø) = 0 Ø - zdarzenie niemożliwe (pusty zbiór Ω) • P (A) ≤ P (B) gdy A ⊂ B ⊂ Ω • P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω, zatem P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B), dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω.

17. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem: P(A’) = 1 – P(A) • Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to: P(A∪B) = P(A) + P(B) • Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli P(A) ≤ P(B) to P(B\A) = P(B) – P(A)

18. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Jeżeli zdarzenia B1, B2, ..., B ⊂ Ω spełniają warunki: 1. Bi ∩ Bj = Ø dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, i ≠ j2. B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω,3. P (Bi) > 0 dla 1 ≤ i ≤ n to dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω zachodzi równość: P (A) = P (A | B1) · P (B1) + P (A | B2) · P (B2) + ... + P (A | Bn)· P (Bn)

19. Zdarzenia losowe • To zdarzenia, które mogą wystąpić, ale ich zajścia nie można przewidzieć. • To wyniki eksperymentu losowego, którym może być np.: • opisywany w szkole rzut kostką do gry lub monetą, • losowy wybór elementu z określonego zbioru, • obserwacja zjawisk o charakterze losowym w otaczającym nas świecie. • Dla zdarzeń losowych chcemy • badać szansę ich zajścia.

20. Zdarzenia niezależne i prawdopodobieństwo warunkowe • Zdarzenia niezależne Zdarzenia A ⊂ Ω, B ⊂ Ω są niezależne, gdy • P (A ∩ B) = P (A) · P (B) • Prawdopodobieństwo warunkowe • Niech A, B ⊂ Ω będą zdarzeniami, przy czym P (B) > 0.Prawdopodobieństwem warunkowym P (A | B) zajścia zdarzenia A pod warunkiem, ze zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę: P(A ∩ B) P(A|B) = P(B)

21. Schemat Bernoulliego Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego wyraża się wzorem : ( ) n k . . k n-k p q p + q = 1 gdzie:p- prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie,q- prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.

22. Wartość oczekiwana • W przypadku gier losowych wartość oczekiwaną możemy zdefiniować jako średni zysk przypadający na pojedynczą grę.Ale nie możemy tego rozpatrywać w stosunku do jednej gry. Przyjmuje się, że ten średni zysk wynika z gier rozgrywanych nieskończoną ilość razy. • Wartość oczekiwaną możemy wyliczyć w oparciu o prosty wzór: • E = p x zysk + (1-p) x strata • E – wartość oczekiwana gryp – prawdopodobieństwo wygranej(1-p) – prawdopodobieństwo porażki

23. Przykład • Ruletka europejska • Załóżmy, że chcemy postawić na pojedynczy numer 100 żetonów.Wiemy, że jeżeli wygramy, to nasz zysk wyniesie 3500 żetonów.Prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1 do 37 . • Podstawiamy do wzoru: • E = 1/37 x 3500 + (1-1/37) x (-100) = -2,70 • Zakład na kolor • Stawiamy 100 żetonów na czarny. Zysk, który możemy osiągnąć również wynosi 100 żetonów. Prawdopodobieństwo wygranej to 18 do 37. • E = 18/37 x 100 + (1-18/37) x (-100) = -2,70 • Oba wyniki są ujemne i nawet na tym samym poziomie.Ujemna wartość oznacza, że gra ta jest dla nas niekorzystna, bo tracimy na każdej grze średnio 2,70 żetona, czyli ok. 2,70%.

24. Metoda „drzewek” w rachunku prawdopodobieństwa Definicje i wzory dotyczące permutacji, wariacji i kombinacji oraz ich zastosowanie, sprawiają pewnej części młodzieży problemy, które w zasadzie nie występują podczas omawiania i prezentowania metody "drzewek". Większość zagadnień dotyczących rachunku prawdopodobieństwa, rozważanych dotąd czysto teoretycznie, można po prostu zobaczyć. Uczeń rozwiązując zadanie z rachunku prawdopodobieństwa metodą drzewka uczy się organizacji pracy, wprowadzając ład i porządek nie tylko w zbiorze danych, ale i w całej analizowanej przez nich sytuacji. Widoczne są wówczas wielostronne powiązania pomiędzy danymi występującymi w zadaniu. Graficzne odwzorowanie toku rozumowania ma ogromny wpływ na dyscyplinę pracy uczniów rozwiązujących dany problem. Bez stosowania środków graficznych postępowania ich były często chaotyczne i przypadkowe.Rysując "drzewo" uczniowie w sposób aktywny i naturalny odkrywają różne zależności kombinatoryczne i dochodzą do twierdzeń probabilistycznych. Krótko mówiąc metoda ta zdecydowanie ułatwia im przejście od konkretu do abstrakcji matematycznej.

25. Zadanie 1 Losujemy 3 karty z talii 52 kart. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowane karty to trzy asy, a jakie, że wśród wylosowanych kart są dokładnie dwa asy.

26. Zadanie 2 W pewnej grze rzucamy kostką. Jeśli otrzymamy 1,2 lub 3 oczka, to wykonujemy dodatkowy rzut, a jeśli otrzymamy 4 lub 5 oczek, to mamy prawo do dwóch kolejnych rzutów. Grę wygrywamy, jeśli w jednym z rzutów wypadnie szóstka. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej w tej grze?

27. Zadanie 3 W dwóch pudełkach są cukierki. W pierwszym pudełku jest 15 cukierków czekoladowych i 5 owocowych, a w drugim pudełku jest 20 cukierków czekoladowych i 30 owocowych. Losujemy cukierek najpierw z pierwszego, a potem z drugiego pudełka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wyniku losowania otrzymamy dwa cukierki czekoladowe? Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeden z wylosowanych cukierków będzie czekoladowy, a drugi owocowy?

28. Zadanie 4 Najstarsi górale oceniają, że w tym roku szanse na ciepłą jesień są dwa razy większe niż na jesień zimną. Przewidują oni, że jeśli jesień będzie ciepła, to z prawdopodobieństwem 95% zima będzie śnieżna. Natomiast jeśli jesień będzie zimna, to śnieżnej zimy należy się spodziewać z prawdopodobieństwem 90%. Oblicz, jakie - według górali – jest prawdopodobieństwo, że zima będzie śnieżna.

29. Ciekawostki

30. Wydawałoby się, że bardzo rzadko się zdarza, by przypadkowo spotkały się dwie osoby urodzone tego samego dnia roku. Można jednak obliczyć, że nawet w małej grupie osób prawdopodobieństwo takiego spotkania jest dość duże. • Przykład: • Prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej grupie 50 osób są dwie osoby urodzone tego samego dnia ,wynosi ponad 0,97. • Nawet w grupie 23 osób jest ono większe od ⅟2.

31. Wolfgang Amadeusz Mozart znany był z poczucia humoru. Jednym z przykładów może być utwór MusikalischesWurfelspiel (Muzyczna gra w kości), wydany już po śmierci autora. Dziełko to jest przepisem na tworzenie różnych 16-taktowych menuetów. Mozart przedstawił po dwie propozycje taktów ósmego i szesnastego oraz po jedenaście propozycji każdego z pozostałych taktów. Wykonawca sam mógł dokonać wyboru wariantów taktów i „skomponować” własny menuet. Odegranie takiego utworu zajmowało około pół minuty. Mozart chciał, by wybór wersji taktu ósmego i szesnastego następował na przykład w wyniku rzutu monetą, a wybór wersji każdego z pozostałych jedenastu taktów — w wyniku rzutu kostkami. Proponował, by rzucać dwiema kostkami i od sumy oczek na kostkach odejmować 1. Wynik wskazywałby, którą z jedenastu wersji należy wybrać.

32. Loterie

33. Loteria fantowa • Loterie fantowe, w których uczestniczy się przez nabycie losu lub innego dowodu udziału w grze, a podmiot urządzający loterię oferuje wyłącznie wygrane rzeczowe. • Podmiot urządzający loterię fantową jest obowiązany zgłaszać pisemnie właściwemu naczelnikowi urzędu celnego zamiar zniszczenia losów, kartonów lub innych dowodów udziału w takiej grze co najmniej na 7 dni przed planowanym terminem przeprowadzenia tych czynności. Czynność zniszczenia podlega kontroli. • W grach losowych, z wyjątkiem loterii fantowych i loterii promocyjnych, mogą uczestniczyć wyłącznie osoby, które ukończyły 18 lat.

34. Rodzaje gier W kasynie może grać w wiele różnych odmian gier. Hazard przyciąga amatorów mocnych wrażeń, chętnych poczuć adrenalinę i zgarnąć wysoką pulę pieniężną. Poniżej rodzaje gier hazardowych oraz ich najpopularniejsze wersje. Wrzutowe: -CrazySports -GoldRush -Lucky8-Line -MagicLove -MegaJoker -PiratesGold -SkeetShooter -SuperSevens Inne: -Bingo -BonusKeno -JackpotTicket -JungleKeno -Keno - Triple Win Stołowe: -Baccarat -BlackJack -BlackJackDoubleJack -CaribbeanStudPoker -CasinoHold'em -FrancuskaRuletka -HighLow -HighRollerBlackJack

35. Ruletka – zasady gry Gra w ruletkę to stół do gry, na którym obstawia się poszczególne numery oraz koło do ruletki, na których znajduje się 37 lub 38 pół z poszczególnymi numerami. Ruletka europejska posiada 37 pól, a ruletka amerykańska 38 przedziałów z poszczególnymi numerami. Cała gra ruletka opiera się na obstawianiu zakładów, w których to można obstawiać poszczególne numery oraz tak zwane zakłady zewnętrzne. Całość gry jest prowadzona przez krupiera, czyli osobę prowadząca, która najpierw wprawia w ruch koło ruletki, a następnie w przeciwnym kierunku wyrzuca kulkę, która ma za zadanie zatrzymać się na jednym z ponumerowanych pól. Jedną z możliwości obstawianych zakładów jest liczba od 0 do 36, a inną możliwością jest kolor czarny lub czerwony na kole ruletki. Każdy z graczy obstawia zatem określone liczby na stole do ruletki lub wybiera jeden z kolorów, przy czym stawki są wysokie za dobrze wytypowaną liczbę, natomiast za kolor wynoszą tylko 1:1. każdy z graczy ma wiele możliwości do obstawienia na kole ruletki, a kierują się oni wyłącznie szczęśliwym losem oraz przeczuciem. Im więcej graczy, oraz obstawionych liczb, tym cała gra "ruletka" jest ciekawsza i bardziej ekscytująca.

36. LOTTO Na kuponie Lotto zaznaczamy 6(k) liczb z 49(n). Za taki zakład płacimy 3 zł. Ile trzeba wypełnić kuponów, aby być pewnym wygranej i ile to będzie kosztowało? Wybierając sześć elementów ze zbioru 49 liczb tworzymy sześcioelementowe kombinacje zbioru 49 elementów. Liczbę zakładów obliczamy ze wzoru: Za każdy zakład musimy zapłacić 3 zł, więc za 13 983 816 zakładów zapłacimy 41 951 448 zł, czyli prawie 42 mln złotych.

37. PRAWDOPODOBIEŃSTWO W LOTTO • Prawdopodobieństwo trafienia wynosi dokładnie 1 : 13.983.816. Matematycznie patrząc jest mniej prawdopodobne, niż uderzenie w ziemię rozpędzonej planetoidy. • Wbrew powszechnej opinii nie ma znaczenia czy losujemy liczby (chybił-trafił), czy podajemy swoje. Wielu graczy stawia na stałą kombinację, ufając, że w końcu musi ona paść. Jednak szansa, że dana kombinacja nie padnie przez 1000 lat, wynosi 98,9% • Gdyby zwiększyć liczbę kul o jeden (do 50 kul), to ilość kombinacji zwiększyłaby się o 1 906 884 (do 15 890 700 kombinacji)

38. PRAWDOPODOBIEŃSTWO W LOTTO • Obliczenie prawdopodobieństwa wygranej w którejś z gier Lotto staje się proste, gdy wykorzystamy do tego np. kalkulator udostępniany przez Google. Zobacz metodę obliczania prawdopodobieństwa wygranej, na przykładzie Dużego Lotka • Duży Lotek - prawdopodobieństwo wygranej • - trójka: 1 do 57 • - czwórka: 1 do 1032, • - piątka: 1 do 54201, • szóstka: 1 do 13983816. • Ekspress Lotek - prawdopodobieństwo wygranej • - trójka: 1 do 128 • - czwórka: 1 do 4598, • - piątka: 1 do 850668.

39. Multi Lotek - prawdopodobieństwo wygranej • Liczba typowanych liczb: 10 • czwórka: 1 do 7, • piątka: 1 do 19, • szóstka: 1 do 87, • siódemka: 1 do 621, • ósemka: 1 do 7384, • dziewiątka: 1 do 163381, • dziesiątka: 1 do 8911711. • Liczba typowanych liczb: 9 • czwórka: 1 do 9, • piątka: 1 do 31, • szóstka: 1 do 175, • siódemka: 1 do 1690, • ósemka: 1 do 30682, • dziewiątka: 1 do 1380688. • Liczba typowanych liczb: 8 • czwórka: 1 do 12, • piątka: 1 do 55, • szóstka: 1 do 423, • siódemka: 1 do 6232, • ósemka: 1 do 230115. • Liczba typowanych liczb: 7 • trójka: 1 do 6, • czwórka: 1 do 19, • piątka: 1 do 116, • szóstka: 1 do 1366, • siódemka: 1 do 40979. • Liczba typowanych liczb: 6 • trójka: 1 do 8, • czwórka: 1 do 35, • piątka: 1 do 323, • szóstka: 1 do 7753. • Liczba typowanych liczb: 5 • trójka: 1 do 12, • czwórka: 1 do 83, • piątka: 1 do 1551. • Liczba typowanych liczb: 4 • dwójka: 1 do 5, • trójka: 1 do 23, • czwórka: 1 do 326. • Liczba typowanych liczb: 3 • dwójka: 1 do 7, • trójka: 1 do 72. • Liczba typowanych liczb: 2 • dwójka: 1 do 17, • Liczba typowanych liczb: 1 • jedynka: 1 do 4.

40. Poker Poker - gra karciana, rozgrywana talią składającą się z 52 kart, której celem jest wygranie pieniędzy od pozostałych uczestników lub żetonów (CHIPS) w wersji sportowej dzięki skompletowaniu najlepszego układu lub za pomocą tzw. blefu. Liczba graczy przy jednym stole ograniczona jest jedynie liczbą kart w talii, jednakże nie może być mniejsza niż dwóch. W praktyce nie gra się więcej niż w dziesięć osób.

41. Poker - prawdopodobieństwo Rachunek prawdopodobieństwa odgrywa w pokerze zasadniczą rolę. Gracze po otrzymaniu kart kalkulują, jaką mają szansę na dany układ po wymianie kart i na tej podstawie obstawiają. Należy jednak zauważyć, iż prawdopodobieństwo to może wynosić zero lub być niższe niż to zakładane przez gracza. Np. - gracz mający cztery karty w tym samym kolorze - karo (zakładając, iż grają trzy osoby) - chce mieć kolor i jako pierwszy dostanie kartę po wymianie. Zakładając, iż w takim układzie dostanie tę jedną kartę ze zbioru 37 pozostałych kart (52 - 15) to prawdopodobieństwo otrzymania karty w kolorze karo jest od 0 do 9/37 (0,2432) - pomimo iż intuicyjnie może się wydawać, iż ta szansa wynosi 1/4 (są cztery kolory kart). Przedział takiego prawdopodobieństwa jest taki dlatego, że pozostali gracze mogą mieć 9 kart w kolorze karo - wówczas w talii nie ma już kart karo. Można sobie wyobrazić drugi skrajny przypadek w którym to żaden z graczy nie ma ani jednej karty karo i pozostałe 9 kart tego koloru znajduje się w talii - wówczas szansa, iż gracz dostanie karo i będzie miał kolor, wynosi 9 do 37. Wynika z tego wniosek, iż w pokerze gracze nie znają dokładnego prawdopodobieństwa - a jedynie mogą je szacować w zależności od ilości graczy.

42. Ryzyko i łączenie ryzyka

43. Grami nazywamy sytuacje, kiedy wyniki o określonej wartości (np. pieniężnej) pojawiają się ze znanym prawdopodobieństwem Wartość oczekiwana gry, WO, jest to suma jej wyników pomnożonych przez prawdopodobieństwo ich pojawienia się. Informuje ona o przeciętnym wyniku wielu partii tej gry. πs – prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku ws – wynik gry s – liczba możliwych wyników Gra jest tym bardziej opłacalna, im większa jest jej wartość oczekiwana. Gra jest tym bardziej ryzykowna, im większy jest rozrzut jej wyników i im częściej pojawiają się wyniki bardziej oddalone od wartości oczekiwanej gry.

44. Wariancja gry, WG, jest to suma podniesionych do kwadratu odchyleń wyników gry od jej wartości oczekiwanej, zważonych prawdopodobieństwem wystąpienia tych wyników. Informuje ona o ryzykowności gry. πs – prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku ws – wynik gry s – liczba możliwych wyników Z dwóch gier o równej wartości oczekiwanej osoby niechętne ryzyku wybierają grę mniej ryzykowną, a osoby lubiące ryzyko – grę bardziej ryzykowną. Osobom neutralnym wobec ryzyka jest obojętne, którą z gier wybiorą.

45. Zmiana użyteczności całkowitej, spowodowana zwiększeniem się majątku o daną, stałą porcję, czyli użyteczność krańcowa, zmniejsza się w miarę wzrostu majątku. Za kolejne, równe porcje dochodu ludzie kupują dobra coraz mniej użyteczne. Najbardziej użyteczne produkty zostają nabyte szybko, za pierwsze porcje dochodu. Skoro użyteczność krańcowa majątku maleje, to utrata danej sumy pieniędzy powoduje spadek użyteczności całkowitej, który jest większy od przyrostu użyteczności całkowitej, spowodowanego dodatkowym dochodem tej samej wielkości. (na podstawie Czarny 2002) Malejąca krańcowa użyteczność majątku sprawia, że wartość bezwzględna straty jest większa niż wartość bezwzględna korzyści. |U1| > |U2| Gra sprawiedliwa w kategoriach pieniężnych może być niekorzystna w kategoriach użyteczności.

46. Łączenie ryzyka Połączenie dochodów i ryzyka nie zmienia wartości oczekiwanej gry, ale za to zmniejsza jej ryzykowność. Gra o wynikach 4 i 2, które pojawiają się z prawdopodobieństwem ½, zmienia się w grę o wynikach 4,3,2 pojawiających się z prawdopodobieństwem odpowiednio ¼, ½, ¼ . Połączenie dochodów malarza i żołnierza Skutki łączenia ryzyka

47. Łączenie ryzyka na rynku kapitałowym Prawo wielkich liczb mówi, że przeciętny wynik gry jest tym bliższy jej wartości oczekiwanej, im więcej partii gry zostanie rozegranych. Emisja akcji i ich sprzedaż na giełdzie oznaczają, że właściciele przedsiębiorstwa pozbywają się części obciążającego ich ryzyka, którego źródłem jest zmienność wyników gospodarowania. Ryzyko to zostaje przeniesione na nabywców akcji. Dochody właściciela z emisji akcji mogą zostać przeznaczone na zakup w innych przedsiębiorstwach. W taki sposób właściciele przedsiębiorstw mogą połączyć ryzyko związane z udziałem w wielu różnych grach gospodarczych, co wiąże się ze zmniejszeniem ryzyka. Różnicowanie portfela inwestycyjnego Warunkiem możliwości sensownego różnicowania portfela inwestycyjnego jest niezależność zdarzeń.

48. Linia charakterystyczna papieru wartościowego, zwana również linią najlepszego dopasowania wskazuje jakiej stopy zwrotu z inwestycji w akcje konkretnego przedsiębiorstwa może inwestor oczekiwać przy danej stopie zwrotu z portfela rynkowego. Współczynnik kierunkowy linii jest nazywany współczynnikiem beta (β) – ukazuje on siłę reakcji stopy zwrotu z danej akcji na zmiany stopy zwrotu z portfela rynkowego. W przypadku akcji, których dochodowość zmienia się przeciwnie do portfela rynkowego linia najlepszego dopasowania będzie miała nachylenie ujemne (współczynnik β będzie przyjmował wartości ujemne).

49. Rynek ubezpieczeń • Zadanie • Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję z gry w „ubezpieczanie samochodu” i „nie ubezpieczam samochodu”. • Dane: • wartość samochodu 50 000 zł • prawdopodobieństwo, że samochód zostanie skradziony w ciągu roku 0,1 • roczna polisa 5000 zł • w razie skradzenia samochodu firma ubezpieczeniowa zwraca całą wartość samochodu. • Pierwsza gra – nie ubezpieczam samochodu: • WO1= -50 000 zł · 0,1 + 0 zł · 0,9 = - 5000 zł + 0 zł = -5000 zł • Druga gra – ubezpieczam samochód: • WO2 = - 5000zł · 0,1 + (-5000zł) · 0,9 = -5000zł • Obydwie gry są więc tak samo niekorzystne. • Sprawdźmy, która gra jest bardziej ryzykowna: • WG1= (-45 000)2 zł · 0,1 + (5000) 2 zł · 0,9 = 225 000 000 • WG2= 02 zł · 0,1 + 0 2 zł · 0,9 = 0 • Pierwsza gra jest więc bardzo ryzykowna, druga nie jest obciążona ryzykiem. • Ta sama gra, ale grającym jest ubezpieczyciel. • WOu= (-50 000 zł (odszkodowanie) + 5000 zł (składka)) · 0,1 • + 5000zł (składka) · 0,9 = 0 zł • WGu = (-45 000)2 zł · 0,1 + 50002 zł · 0,9 = 225 000 000 zł • Ubezpieczyciel przejął więc na siebie całe ryzyko, jakiego pozbył się ubezpieczający. • Aby zmniejszyć ryzyko ubezpieczyciel może stosować: • łączenie ryzyka • dzielenie ryzyka

50. Łączenie ryzyka polega na tworzeniu puli składek, z której wypłacane są odszkodowania. Połączywszy niezależne rodzaje ryzyka, ubezpieczyciel zmniejsza prawdopodobieństwo wystąpienia sytuacji, że zabraknie mu na wypłaty. Tym samym zachęca klientów przez większą wiarygodność. Towarzystwo ubezpieczeniowe może oferować wiele rodzajów polis. Wspólna pula ryzyka, którą zarządza ubezpieczyciel, obejmuje zatem wiele niezależnych rodzajów ryzyka, co zmniejsza zagrożenie niewypłacalnością. Dodatkowo rzeczywista stawka za ubezpieczenia jest wyższa od „sprawiedliwej” czyli korzystna dla towarzystwa ubezpieczeniowego.