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MATEMÁTICA II. Gonzales Caicedo Walter Orlando. Pimentel, Febrero de 2010. www.goncaiwo.wordpress.com. Relaciones. Producto Cartesiano. Definición Relación binaria Algunas relaciones notables . ¿Qué es un producto cartesiano?. Sean A y B conjuntos no vacíos.

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matem tica ii

MATEMÁTICA II

  • Gonzales Caicedo Walter Orlando

Pimentel, Febrero de 2010

  • www.goncaiwo.wordpress.com
slide3

Producto Cartesiano

  • Definición
  • Relación binaria
  • Algunas relaciones notables.
qu es un producto cartesiano
¿Qué es un producto cartesiano?

Sean A y B conjuntos no vacíos

Producto cartesiano entre A y B es un conjunto de “pares ordenados” donde la primera componente pertenece a A y la segunda componente pertenece a B y se denota por A x B.

A x B = {(a,b) / a  A y b  A }

  • Ejemplo:
  • Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b}
  • Entonces:
  • A x B = {(1, a);(2, a);(3, a);(1, b);(2, b);(3, b)}
producto cartesiano
Producto cartesiano

Los pares ordenados (a,b)  A  B se pueden representar como puntos que corresponden al cruce de columnas que representan los elementos de A y filas que representan los elementos de B.

Ejemplo: La representación gráfica de los pares del ejemplo se muestra a continuación

B

A

b

a

1 2 3

reflexiona
Reflexiona

1) En general, ¿será cierto que A x B = B x A?

2) Si A y B son finitos ¿qué podemos decir de

n(A x B)?

Piénsalo y contesta

Solución:

  • No son iguales ...
  • Ejemplo: sean los conjuntos A = {a, b, c} y B = {1, 2}

A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) }

B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) }

2) n(A x B)= n(A).n(B) (¿Puedes decir por qué?)

  • Además n(A).n(B) =n(B). n(A) =n(B x A)
  • Entonces:
  • n(A x B)= n(B x A)
ejemplo

B

3

2

1

0

A

1

2

3

Ejemplo
  • Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Haz una lista de los elementos de A x B.
  • Representa gráficamente al subconjunto
  • R = { (a, b)  A x B / a + b  3}

Nos interesan algunos subconjuntos del producto cartesiano

qu es una relaci n binaria
¿Qué es una relación binaria?

Sean A y B conjuntos no vacíos

Una relación R de A en B es cualquier subconjunto de A x B.

En particular, cualquier subconjunto de A x A es una relación binaria en A.

Ejemplo:

Sea U = {a, e, i, o, u}, A = {a, o} y B = { i, u}

A x B = {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)}

Sonrelaciones de A en B:

1) Ø 2) {(a,i), (a,u)}

3) {(a, i)} 4) A x B

notaci n
Notación

Si (a,b)  R decimos que “a está relacionado con b” y lo denotamos por a R b.

Ejemplos:

1)En N definimos la relación R así:

“a R b sii a es el doble de b”.

Algunos elementos de la relación son:

(2, 1) (8, 4) (2500, 1250), (120, 60)

2) En N se define la relación R por:

“x R y sii x divide a y”

Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 18,

3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, ....

conteo de relaciones
Conteo de relaciones

Sean A y B conjuntos finitos y no vacíos ¿podemos determinar el número de relaciones entre A y B?

Sí !. Supongamos n(A)=m y n(B)=r. Sabemos que n(AxB)=m.r, por lo tanto, n[P(AxB)] = 2m.r

Entonces pueden definirse hasta 2m.rrelaciones incluyendo Ø.

  • Ejemplo:Si A = {1, 2, 3} y B = {-1, -2}calcular n[P(AxB)].
  • Entonces:n[P(AxB)] = 23.2 =26 = 64
  • hay 64 relaciones de A en B.
slide11

Dominio y rango de una relación

Ejemplo: Sea

Gráficamente:

D(S) = R

R(S) = R

slide12

Ejemplo: Sean los conjuntos

A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3}

Sea R la relación:

Entonces: R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}

  • D(R) = {1,2}
  • R(S) = {2,3}

Gráficamente:

slide13

Relaciones definidas en R

Ejemplos:

  • Sea la siguiente relación en R: R1 = {(x, y) / 2x – 3y – 12 = 0}
  • Calcular el dominio y rango.

Solución:

  • Si x = 0  2(0) – 3y – 12 = 0
  • y = -4.
  •  El par (0, -4)  R
  • Si y = 0 2x – 3(0) – 12 = 0
  • x = 6.
  •  El par (6, 0)  R
  • Construyendo la gráfica de la recta que pasa por los puntos (0, -4) y (6, 0) se tiene:
  • Dom(R1) =  y Ran(R1) = 
slide14

Sea la siguiente relación en R:

  • R2 = {(x, y) / x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0}
  • Calcular el dominio y rango.

Solución:

  • x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0 (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 4
  • (x – 2)2 + (y + 3)2 = 22
  • La ecuación de la circunferencia expresada como (x – 2)2 + (y + 3)2 = 22 está en su forma ordinaria, donde su centro es el punto C(2, -3) y su radio mide 2.
  • Dom(R2) = [0, 4]
  • Ran(R2) = [-1, -5]
slide15

Sea la siguiente relación en R:

  • R3 = {(x, y) / x = -y2 + 4y – 10}
  • Calcular el dominio y rango.

Solución:

Tenemos:

  • x = -y2 + 4y – 10 x + 6 = -(y2 – 4y + 4)
  • x + 6 = -(y – 2)2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su vértice es el punto V(-6, 2), el eje de simetría es horizontal y se abre hacia la izquierda
  • Dom(R3) = <-, -6]
  • Ran(R3) = 
slide16

CLASES DE RELACIÓN

  • RELACIÓN REFLEXIVA: R es una relación refleja en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada elemento de él está relacionado consigo mismo: 
  •  a  A  a R a
  • Ejemplo:
  • A = { 1 , 2 , 3 }
  • R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }
  • RELACIÓN SIMÉTRICA: R es una relación simétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente:
  •  a, b A  a R b  b R a 
  • Ejemplo:
  • A = { 1 , 2 , 3 }
  • R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }
slide17

RELACIÓN ANTISIMÉTRICA: R es una relación anti simétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente: 

 a, b A  a R b  b R a  a = b 

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) }

  • RELACIÓN TRANSITIVA: R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada trío de elementos de él satisface lo siguiente: 

 a, b, c A  a R b  b R c  a R c 

Ejemplo:

A = { 1 , 2 , 3 }

R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 3 ) }

slide19

FUNCIONES

DEFINICIONES:

  • Conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente.
  • Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente (rango).
  • Siendo A y B conjuntos, diremos que f es función si se cumplen:
  • f AxB.
  • (x,y)  f  (x,z)  f  y = z ó  xDf; ! y  Rf / (x,y)  f  y = f(x).
slide20

De donde:

A: Conjunto de Partida.

B: Conjunto de Llegada.

Dominio de f:

Df = {x A/ ! y  B  y = f(x) }

Rango de f o Codominio:

Rf= {y = f(x)  B/ xA}

slide22

Definición de función

Codominio

Dominio

a

b

c

d

e

slide23

Definición de función

a

b

Codominio

c

Dominio

d

e

Rango

slide24

Esto no es función

A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio

slide25

A

B

parcial

nabla

raíz

existe

Esto no es función

slide26

FUNCIONES ESPECIALES

F. LINEAL

F. CONSTANTE

Regla de Correspondencia:

y = f(x) = ax+b

Donde a, b son constantes.

Df = R

Rf = R

Regla de Correspondencia:

y = f(x) = b

Df = R

  • Rf = {b}
slide27

F. VALOR ABSOLUTO

F. IDENTIDAD

Regla de Correspondencia:

y=f(x)=x

Regla de Correspondencia:

y=f(x)=x

Es una función lineal donde a=1, b=0

  • Df = R
  • Rf = R
slide28

F. CUADRÁTICA

F. RAÍZ CUADRADA

Regla de correspondencia:

y = f(x) = ax2 + bx + c.

La gráfica es una parábola. Para hallar su vértice, la ecuación es llevada completando cuadrados a la forma: y = a(x-h)2 + k

slide29

f

A

B

1

2

3

4

a

b

c

Clasificación de las Funciones

Inyectiva: es cuando cada elemento del dominio tiene una imagen diferente en el codominio o de otra manera cuando los elementos del codominio tienen una o ninguna contra imagen.

slide30

f

B

A

1

2

3

4

  • a
  • b
  • c

Sobreyectiva: es cuando el rango es igual al codominio o de otra forma, cuando todos los elementos del codominio tienen una o más contra imágenes.

slide31

A

B

f

1

2

  • 3

a

b

  • c

Biyectiva:es cuando cada uno de los elementos del codominio tiene una contra imagen y nada más que una. Una función es biyectiva si es sobreinyectiva e inyectiva al mismo tiempo.

slide32

A

f

B

1

2

3

a

b

c

Función Inversa:si f es una función biyectiva de A en B, es decir, f:A B entonces cada elemento de B tiene una y nada mas que una contra imagen en A, por lo tanto la relación de B con A es una función denominada función inversa de la anterior y se denota f-1:A B

f-1

  • 1
  • 2
  • 3

a

b

c

Función Inversa

Función Directa

A

B