MATEMÁTICA II

1. MATEMÁTICA II • Gonzales Caicedo Walter Orlando Pimentel, Febrero de 2010 • www.goncaiwo.wordpress.com

2. Relaciones

3. Producto Cartesiano • Definición • Relación binaria • Algunas relaciones notables.

4. ¿Qué es un producto cartesiano? Sean A y B conjuntos no vacíos Producto cartesiano entre A y B es un conjunto de “pares ordenados” donde la primera componente pertenece a A y la segunda componente pertenece a B y se denota por A x B. A x B = {(a,b) / a  A y b  A } • Ejemplo: • Sean A = {1, 2, 3} y B = {a, b} • Entonces: • A x B = {(1, a);(2, a);(3, a);(1, b);(2, b);(3, b)}

5. Producto cartesiano Los pares ordenados (a,b)  A  B se pueden representar como puntos que corresponden al cruce de columnas que representan los elementos de A y filas que representan los elementos de B. Ejemplo: La representación gráfica de los pares del ejemplo se muestra a continuación B A b a 1 2 3

6. Reflexiona 1) En general, ¿será cierto que A x B = B x A? 2) Si A y B son finitos ¿qué podemos decir de n(A x B)? Piénsalo y contesta Solución: • No son iguales ... • Ejemplo: sean los conjuntos A = {a, b, c} y B = {1, 2} A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) } B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) } 2) n(A x B)= n(A).n(B) (¿Puedes decir por qué?) • Además n(A).n(B) =n(B). n(A) =n(B x A) • Entonces: • n(A x B)= n(B x A)

7. B 3 2 1 0 A 1 2 3 Ejemplo • Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Haz una lista de los elementos de A x B. • Representa gráficamente al subconjunto • R = { (a, b)  A x B / a + b  3} Nos interesan algunos subconjuntos del producto cartesiano

8. ¿Qué es una relación binaria? Sean A y B conjuntos no vacíos Una relación R de A en B es cualquier subconjunto de A x B. En particular, cualquier subconjunto de A x A es una relación binaria en A. Ejemplo: Sea U = {a, e, i, o, u}, A = {a, o} y B = { i, u} A x B = {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)} Sonrelaciones de A en B: 1) Ø 2) {(a,i), (a,u)} 3) {(a, i)} 4) A x B

9. Notación Si (a,b)  R decimos que “a está relacionado con b” y lo denotamos por a R b. Ejemplos: 1)En N definimos la relación R así: “a R b sii a es el doble de b”. Algunos elementos de la relación son: (2, 1) (8, 4) (2500, 1250), (120, 60) 2) En N se define la relación R por: “x R y sii x divide a y” Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 18, 3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, ....

10. Conteo de relaciones Sean A y B conjuntos finitos y no vacíos ¿podemos determinar el número de relaciones entre A y B? Sí !. Supongamos n(A)=m y n(B)=r. Sabemos que n(AxB)=m.r, por lo tanto, n[P(AxB)] = 2m.r Entonces pueden definirse hasta 2m.rrelaciones incluyendo Ø. • Ejemplo:Si A = {1, 2, 3} y B = {-1, -2}calcular n[P(AxB)]. • Entonces:n[P(AxB)] = 23.2 =26 = 64 • hay 64 relaciones de A en B.

11. Dominio y rango de una relación Ejemplo: Sea Gráficamente: D(S) = R R(S) = R

12. Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3} Sea R la relación: Entonces: R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} • D(R) = {1,2} • R(S) = {2,3} Gráficamente:

13. Relaciones definidas en R Ejemplos: • Sea la siguiente relación en R: R1 = {(x, y) / 2x – 3y – 12 = 0} • Calcular el dominio y rango. Solución: • Si x = 0  2(0) – 3y – 12 = 0 • y = -4. •  El par (0, -4)  R • Si y = 0 2x – 3(0) – 12 = 0 • x = 6. •  El par (6, 0)  R • Construyendo la gráfica de la recta que pasa por los puntos (0, -4) y (6, 0) se tiene: • Dom(R1) =  y Ran(R1) = 

14. Sea la siguiente relación en R: • R2 = {(x, y) / x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0} • Calcular el dominio y rango. Solución: • x2 + y2 – 4x + 6y + 9 = 0 (x2 – 4x + 4) + (y2 + 6y + 9) = 4 • (x – 2)2 + (y + 3)2 = 22 • La ecuación de la circunferencia expresada como (x – 2)2 + (y + 3)2 = 22 está en su forma ordinaria, donde su centro es el punto C(2, -3) y su radio mide 2. • Dom(R2) = [0, 4] • Ran(R2) = [-1, -5]

15. Sea la siguiente relación en R: • R3 = {(x, y) / x = -y2 + 4y – 10} • Calcular el dominio y rango. Solución: Tenemos: • x = -y2 + 4y – 10 x + 6 = -(y2 – 4y + 4) • x + 6 = -(y – 2)2, la ecuación de la parábola está en su forma canónica, donde su vértice es el punto V(-6, 2), el eje de simetría es horizontal y se abre hacia la izquierda • Dom(R3) = <-, -6] • Ran(R3) = 

16. CLASES DE RELACIÓN • RELACIÓN REFLEXIVA: R es una relación refleja en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada elemento de él está relacionado consigo mismo:  •  a  A  a R a • Ejemplo: • A = { 1 , 2 , 3 } • R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) } • RELACIÓN SIMÉTRICA: R es una relación simétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente: •  a, b A  a R b  b R a  • Ejemplo: • A = { 1 , 2 , 3 } • R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) }

17. RELACIÓN ANTISIMÉTRICA: R es una relación anti simétrica en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente:   a, b A  a R b  b R a  a = b  Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 } R = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 2 ) } • RELACIÓN TRANSITIVA: R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío , si y sólo si cada trío de elementos de él satisface lo siguiente:   a, b, c A  a R b  b R c  a R c  Ejemplo: A = { 1 , 2 , 3 } R = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , ( 3 , 3 ) }

18. Funciones

19. FUNCIONES DEFINICIONES: • Conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente. • Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente (rango). • Siendo A y B conjuntos, diremos que f es función si se cumplen: • f AxB. • (x,y)  f  (x,z)  f  y = z ó  xDf; ! y  Rf / (x,y)  f  y = f(x).

20. De donde: A: Conjunto de Partida. B: Conjunto de Llegada. Dominio de f: Df = {x A/ ! y  B  y = f(x) } Rango de f o Codominio: Rf= {y = f(x)  B/ xA}

21. Definición de función B A a b c d e

22. Definición de función Codominio Dominio a b c d e

23. Definición de función a b Codominio c Dominio d e Rango

24. Esto no es función A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio

25. A B parcial nabla raíz existe Esto no es función

26. FUNCIONES ESPECIALES F. LINEAL F. CONSTANTE Regla de Correspondencia: y = f(x) = ax+b Donde a, b son constantes. Df = R Rf = R Regla de Correspondencia: y = f(x) = b Df = R • Rf = {b}

27. F. VALOR ABSOLUTO F. IDENTIDAD Regla de Correspondencia: y=f(x)=x Regla de Correspondencia: y=f(x)=x Es una función lineal donde a=1, b=0 • Df = R • Rf = R

28. F. CUADRÁTICA F. RAÍZ CUADRADA Regla de correspondencia: y = f(x) = ax2 + bx + c. La gráfica es una parábola. Para hallar su vértice, la ecuación es llevada completando cuadrados a la forma: y = a(x-h)2 + k

29. f A B 1 2 3 4 a b c Clasificación de las Funciones Inyectiva: es cuando cada elemento del dominio tiene una imagen diferente en el codominio o de otra manera cuando los elementos del codominio tienen una o ninguna contra imagen.

30. f B A 1 2 3 4 • a • b • c Sobreyectiva: es cuando el rango es igual al codominio o de otra forma, cuando todos los elementos del codominio tienen una o más contra imágenes.

31. A B f 1 2 • 3 a b • c Biyectiva:es cuando cada uno de los elementos del codominio tiene una contra imagen y nada más que una. Una función es biyectiva si es sobreinyectiva e inyectiva al mismo tiempo.

32. A f B 1 2 3 a b c Función Inversa:si f es una función biyectiva de A en B, es decir, f:A B entonces cada elemento de B tiene una y nada mas que una contra imagen en A, por lo tanto la relación de B con A es una función denominada función inversa de la anterior y se denota f-1:A B f-1 • 1 • 2 • 3 a b c Función Inversa Función Directa A B

33. THANKS