Erlang’s loss system and B-formula Loss systems with full accessibility Overflow theory

2. Bevezetés 1. Veszteséges rendszerek • Erlang’s loss system and B-formula • Loss systems with full accessibility • Overflow theory • Multi-dimensional loss systems A TTE klasszikus elmélete innen indult. Erlang, Engset, Fry, Molina … Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

3. Bevezetés 2. • Modell: teljes elérhetőségű veszteséges rendszer állapotfüggő hívásintenzitással, • Binomiális eloszlás, • Engset eloszlás, • Pascal (negatív binomiális) eloszlás, • Csonkított Pascal eloszlás Loss systems with full accessibility – gondolatmenet  Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

4. A modell 1. • Szerkezet: n egyforma csatorna (vonal, • időrés) – homogén csoport • Stratégia: • teljes hozzáférhetőség (full accessibility) • foglalt csoportot találó hívások utóhatás nélkül elvesznek (LCC- lost calls cleared) • Forgalom: • tartásidők exp. eloszl. μintenzitás (1/μvárható érték) • a felajánlott forgalom A = átvitt forgalom ha a csatornák száma nincs korlátozva (független a csatornák számától) • születési és kihalási folyamat (birth anddeath processill. Pure Chance Traffic type Two PCT-2) • A kapott eredmények függetlenek a tartásidő eloszlásától csak annak átlagától függnek Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

5. A modell 2. • Engset (Binomiális) • S véges. A szabad forrás hívásintenzitása γ, egyébként zérus. Ha i forrás (egyben csatorna) foglalt, akkor (S-i)γa hívásintenzitás. Esetek: • n ≥ S, binomiális eloszlás, csúcsosság Z < 1 • n < S, Engset eloszlás. • Pascal (Palm-Wallström) • S véges. Ha i forrás (egyben csatorna) foglalt, akkor (S+i)γ a hívásintenzitás. Esetek: • n = ∞, Pascal (negatív binomiális eloszlás) • n < ∞, csonkított Pascal eloszlás. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

6. ........ Binomiális eloszlás 1. forg.forrás lehetséges állapotai exponenciális eloszlású időtartamok (feltételezés a képletek levezetéséhez) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

7. Binomiális eloszlás 2. Metszeti egyenletből: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

8. Binomiális eloszlás 3. szabad forrás felajánlott forgalma Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

9. Binomiális eloszlás 4. Nincs veszteség, ezért a forrásonként átvitt forgalom: y = a annak valószínűsége, hogy a forrás egy véletlen időpillanatban foglalt. Az összes érkezési és megszűnési időpont felújítási pont (regeneration point). Definíciók: (Ha torlódás van, akkor y≠a !!) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

10. Binomiális eloszlás 5. Időtorlódás: Lebonyolított forgalom: Forgalmi torlódás: Hívástorlódás: A ν csatorna forgalma véletlen lefoglalás esetében: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

11. Binomiális eloszlás 6. Hívások száma időegységenként : Csúcsosság: (független S-től az eloszlás sima - smooth) Sy Az [i] állapot tartóssága, exp.eloszlású az alábbi paraméterrel: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

12. Peakedness - Csúcsosság Emlékeztető: TTE-05 !!! (a jövő emléke !) Index of Dispersion for Counts IDC. To describe second order properties of the number representation we use the index ofdispersion for counts, IDC. This describes the variations of the arrival process during atime interval t and is defined as: variance(szórásnégyzet) expectation(várható érték) By dividing the time interval t into x intervals of duration t/x and observing the numberof events during these intervals we obtain an estimate of IDC(t). For the Poisson processIDC becomes equal to one. IDC is equal to “peakedness”, which we later introduce tocharacterise the number of busy channels in a traffic process. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

13. a felajánlott forgalommal (A) és a csúcsossággal (Z) Binomiális eloszlás 7. • A véges számú forgalomforrást tartalmazó • rendszereket lehet jellemezni: • a forgalomforrások számával (S) és • a szabad forgalomforrások felajánlott forgalmával (β) vagy Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

14. Engset eloszlás 1. S > n A metszeti egyenletek 0 ≤ i ≤ n esetére léteznek. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

15. Engset eloszlás 2. (Lásd a binomiális eloszlás levezetését.) Normalizálás: szabad forrás felajánlott forgalma Eloszlás: (csonkított binomiális) Engset, 1918 !! Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

16. Engset eloszlás 3. Időtorlódás Hívástorlódás Átalakítások után: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

17. Engset eloszlás 4. Értelmezés: Mintha S-1 forrás lefoglalta volna az összes csatornát. Ha S növekszik E is növekszik, így: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

18. Engset eloszlás 5. Lebonyolított forgalom: átalakítás metszeti egyenletekkel Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

19. Engset eloszlás 6. Forgalmi torlódás: jelölése: alkalmaztuk az összefüggést Hívások száma időegységenként: (S – Y) a szabad források átlagos száma Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

20. Engset eloszlás 7. Elveszett forgalom Az [i] állapot tartóssága Improvement function Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

21. Engset eloszlás 8. A nagy S és n esetében fellépő számítási nehézségek miatt többféle rekurziós eljárást dolgoztak ki. n szerinti rekurzió: Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

22. Engset eloszlás 9. Sszerinti rekurzió: (Részletes levezetés és számítási problémák a jegyzetben.) Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

23. Engset eloszlás 10. n és Sszerinti rekurzió: Az előbbi két számítás alapján Értékelés: A paraméter növekvő értékére az n szerinti és az n és S szerinti rekurzió egyaránt jók, de nem jók csökkenő irányban. Az S szerinti rekurzió csökkenő irányban megfelelő. Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

24. Engset eloszlás 11. E, B és C kapcsolata Jelölés: Már volt Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

25. Pascal eloszlás (Negatív binomiális eloszlás) n∞ érkezési intenzitás: állapotvalószínűségek, csak, ha: ahol Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

26. Csonkított Pascal eloszlás 1. (Csonkított negatív binomiális eloszlás) A feltételre nincs szükség. állapotvalószínűségek: ahol Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.

27. Csonkított Pascal eloszlás 2. Az eloszlás tetszőleges tartásidő eloszlás esetében érvényes. Számításokhoz alkalmazhatók az Engset eloszlás esetében kapott képletek az alábbi helyettesítéssel: Minden összefüggésre érvényes ! Távközlő rendszerek forgalmi elemzése – 2009. 03. 03.