1 / 100

Муниципальное общеобразовательное учреждение классическая гимназия №1 им. В.Г. Белинского

Муниципальное общеобразовательное учреждение классическая гимназия №1 им. В.Г. Белинского. XII научно – практическая конференция школьников г. Пензы. Интерактивная подготовка к олимпиаде. Пенза, 2008 г. Актуальность.

cybill
Download Presentation

Муниципальное общеобразовательное учреждение классическая гимназия №1 им. В.Г. Белинского

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Муниципальное общеобразовательное учреждение классическая гимназия №1 им. В.Г. Белинского XII научно – практическая конференция школьников г. Пензы Интерактивная подготовка к олимпиаде Пенза, 2008 г.

  2. Актуальность Актуальность работы: отсутствие специальной литературы для подготовки учащихся к дистанционным олимпиадам на фоне увеличения Центров творческих инициатив по проведению Интеллект-мероприятий.

  3. Цели и задачи Цель работы:1) проанализировать содержание современных олимпиадных заданий 2) подготовить электронное пособие для самостоятельной подготовки учащихся к математическим конкурсам и олимпиадам. Задачи: 1. Сделать подборку олимпиадных заданий, предлагаемых различными центрами творческого образования в последние годы и проанализировать их содержание; 2. Систематизировать задания, привести их решения; 3. Выделить теоретические разделы математики, которые используются при решении данных заданий; 4. Разработать электронное пособие. • Методы работы: теоретический и практический анализ.

  4. Современные олимпиады по математике: • «Авангард» - заочная олимпиада г. Москваhttp://www.avangard-school.nm.ru • «Обнинск» - заочная олимпиада г. Обнинскhttp://www.future4you.ru • МГУhttp://www.vzms@yandex.ru • МФТИhttp://www.mipt.ru • Развивающее Обучение - городская олимпиада г. Пензаhttp://gymn-1.pnzgu.ru • Nik-Snail - центр творческих инициатив г. Омскhttp://www.nic-snail.ru • Городские олимпиады города Пензы • «Кенгуру» - Международная конкурс-играhttp://www.kengyry.com • «Эрудиты планеты» - Всероссийская интернет-олимпиада г. Москваhttp://www.hgn.ru

  5. В данном версии сборника представлено 53 задачи для 7-11 классов.Сборник содержит 5 основных разделов: • Арифметические задания • Алгебраические задания • Геометрические задания • Логические задания • Поисково-эвристические задания Инструкция по пользованию программой: • Для перехода со слайда на слайд нужно пользоваться исключительно гиперссылками (пример: 2 слайд) • В нижнем правом углу есть значок «возврата», по средствам нажатия которого можно перейти на мы переходим на начальное меню • В каждом разделе в нижнем правом углу есть «справочник», с помощью которого вы можете узнать основную теорию данного раздела • При работе с программой нельзя пользоваться колесиком мышки, т.к последовательность кадров может быть нарушена

  6. Классификация задач по направленности Поисково-эвристические Арифметические Алгебраические Геометрические Логические

  7. Уважаемые пользователи!Вы познакомились с заданиями и с материалами данного пособия для того, чтобы: • углубить изучение различных тем по математике; овладеть способами решения задач; расширить математические познания; развить логическое мышление; добиться успехов в решении олимпиадных заданий. Ваши отзывы и предложения просим направлять на e-mail:http://www.gymn_1@sura.ruПриглашаем Вас к сотрудничеству в составлении электронного пособия по математике открытого типа. Выход из программы

  8. Самые часто употребляемыеарифметические задания • Принцип Дирихле • Запись чисел и цифр у других народов • Справочник

  9. Принцип Дирихле (в честь немецкого математика П.Г.Л. Дирихле). По традиции принцип Дирихле почему-то всегда объясняют на примере кроликов в клетках: если общее число кроликов больше числа клеток, в одной из клеток наверняка сидит более одного кролика. Этим принципом в неявном виде пользовался, например, Ферма в XVII веке; но широко применяться в доказательствах он стал лишь с прошлого века! Несмотря на свою простоту, это рассуждение оказалось чрезвычайно плодотворным. Вот только один пример. Если делить одно целое число на другое, например 1 на 7, что мы получим? Будем делить в столбик, получая всё новые и новые остатки. Но поскольку остатками от деления на 7 могут быть лишь числа 1,2,3,4,5,6 и 0, мы либо должны на каком-то шаге получить 0 и остановиться, либо после шестого деления один из остатков обязан повториться (клетки кончились, а кролики все прибывают!). Дальше делить нет смысла – этот остаток мы уже разделили на 7, и все результаты у нас перед глазами. Ясно, что деление будет продолжаться бесконечно, но мы будем получать снова и снова одну и ту же последовательность цифр – период. Выходит, при делении целого числа на целое мы получим либо конечную десятичную дробь, либо периодическую – и более ничего! ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ

  10. Самые часто употребляемыеалгебраические задания • Разложение на множители • Уравнения, функции • Алгебраическая прогрессия • Признаки делимости • Задачи с параметром • Уравнения и неравенства с модулем • Графическое решение задач с параметрами • Справочник

  11. Справочник к арифметическому блоку Теорема Безу Недесятичные системы счисления

  12. Теорема Безу Остаток от деления полинома Pn(x) на двучлен (x-a) равен значению этого полинома при x = a.Пусть: Pn(x) – данный многочлен степени n, двучлен (x-a) - его делитель, Qn-1(x) – частное от деления Pn(x) на x-a (многочлен степени n-1 ) , R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).Доказательство:Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать:Pn (x) = (x-a)Qn-1(x) + R.Отсюдапри x = a:Pn (a) = (a-a)Qn-1 (a) + R =0*Qn-1(a)+R=0+R=R . Значит , R = Pn (a) , т.е. остаток от деления полинома на (x-a) равен значению этого полинома при x=a , что и требовалось доказать. ТЕОРЕМА БЕЗУ

  13. Всё есть число», - говорили мудрецы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей. Изучив историю чисел, выяснили, что у каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буковки, другие - значки, третьи - закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами, а способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков это и есть Система счисления. Существуют два вида систем счисления: позиционная (десятичная, двоичная, восьмеричная) и непозиционная (унарная, древнекитайская, алфавитная, римская) НЕДЕСЯТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

  14. Самые часто употребляемыегеометрические задания • Вневписанная окружность • Геометрические задачи на местности • Измерение расстояний и углов на практике • Построение «иррациональных» отрезков • Различные доказательства теорема Пифагора • Задачи на разрезания • Справочник

  15. Справочник к геометрическому блоку Вневписанная окружность треугольника Полуинвариант Стомахион Теорема Птоломея

  16. ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА Окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. Знакомство с вневписанной окружностью зачастую ограничивается определением, нахождением ее центра и решением нескольких популярных задач. Но при более подробном знакомстве с вневписанной окружностью можно увидеть в ней скрытую красоту и силу, можно рассматривать ее как подспорье в решении геометрических задач. Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получаются еще три замечательных точки - центры вневписанных окружностей. Определение вневписанной окружности, ее центр и радиус.Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других. Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника. С другой стороны, центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

  17. ПОЛУИНВАРИАНТ Задачи на полуинварианты продолжают понятие инварианта. Предположим, что нам задан объект и описаны преобразования, которые разрешено над ним производить. При этом требуется доказать, что, как бы мы ни производили эти преобразования, через конечное число шагов обязательно получится объект вполне определённого вида; либо доказать, что мы можем прийти к объекту требуемого вида, специальным образом выбрав последовательность, в которой эти преобразования производятся. Инструментом доказательства служит такая числовая характеристика объекта, которая монотонно изменяется при заданной последовательности преобразований и может принимать лишь конечное число различных значений. Эта характеристика носит название полуинварианта.

  18. СТОМАХИОН Древние греки занимались геометрией, не только измеряя земельные участки и     расстояние до кораблей в море. Они любили геометрические игры. Одна из самых древних головоломок называлась «стомахион». В этой игре надо было из 14 частей квадрата складывать различные фигуры. Архимедова игра довольно сложна и предполагает некоторый опыт пространственного конструирования. Вместе с тем, эта игра - старинный способ подготовки к геометрии. Похожей игрой развлекались и древние китайцы. Только они разрезали квадрат, не на 14, а на 7 частей и называли свою игру «чи-чао-тю»(что означает хитроумный узор из семи частей) эту игру называют также «танграм».

  19. ТЕОРЕМА ПТОЛОМЕЯ Условие: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Доказать, что AB*CD + AD*BC = AC*BDСначала докажем такую лемму: ЛеммаПусть при инверсии относительно окружности с центром O и радиусом R точки A и B переходят в точки A' и B' соответственно. Тогда расстояние A'B' можно найти по формуле: Доказательство леммы OA*OA'=OB*OB' => OA/OB'=OB/OA' => треугольники OAB и OB'A' подобны => AB/A'B'=OA/OB'. Следовательно, A'B'=(AB*OB')/OA=AB*(R2/OB')/OA=(R2*AB)/(OA*OB). Вывод теоремы Птолемея из леммы Рассмотрим инверсию относительно окружности с центром в точке A и радиусом, равным квадратному корню из AB*AC*AD. Точки B', C' и D' будут лежать на одной прямой (так как точки A,B,C,D лежат на одной окружности), следовательно B'C'+C'D'=B'D'. Подставляя вместо длин отрезков B'C', C'D' и B'D' их выражения по лемме через стороны четырехугольника, получаем AB*CD+AD*BC=AC*BD, что и требовалось доказать.

  20. Самые часто употребляемыепоисково-эвристические задания • Различные системы счисления • История математики • Справочник

  21. SNAIL 2007 год II тур Математические термины встречаются нам повсюду. Без математики прожить просто не возможно.Предлагаем вам ответить на вопросы об окружающем нас мире, в основе которых математические термины.1) Какая цифра широко известна в мировой политике? (7)2) Какая дробь находится между каникулами? (1/4)3) Какую формулу прославили Фанхио, Лауда, Сена, Прост? (Формулу-I)4) Название какого государства скрывается в математическом выражении А3? (Куба)5) Составление карты какой страны получило название «великое тригонометрическое исследование»? (для создания карты Индии Джорджем Эверестом было произведено Великое тригонометрическое измерение, после которого высочайшая горная вершина мира стала носить имя этого геодезиста.)6) Как назвать стакан на языке математики? (полый Цилиндр)7) На какой фигуре основана форма любой снежинки? (Шестиугольник)8) Какие мужские имена имеют «математическое» происхождение? (Константин - постоянный)

  22. НЕДЕСЯТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Всё есть число», - говорили мудрецы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в жизни людей. Изучив историю чисел, выяснили, что у каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буковки, другие - значки, третьи - закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами, а способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков это и есть Система счисления. Существуют два вида систем счисления: позиционная (десятичная, двоичная, восьмеричная) и непозиционная (унарная, древнекитайская, алфавитная, римская)

  23. Самые часто употребляемыелогические задания • Шифровки • Теория игр

  24. В данной задаче я воспользовался принципом Дирихле (в честь немецкого математика П.Г.Л. Дирихле). По традиции принцип Дирихле почему-то всегда объясняют на примере кроликов в клетках: если общее число кроликов больше числа клеток, в одной из клеток наверняка сидит более одного кролика. Этим принципом в неявном виде пользовался, например, Ферма в XVII веке; но широко применяться в доказательствах он стал лишь с прошлого века! Несмотря на свою простоту, это рассуждение оказалось чрезвычайно плодотворным. Вот только один пример. Если делить одно целое число на другое, например 1 на 7, что мы получим? Будем делить в столбик, получая всё новые и новые остатки. Но поскольку остатками от деления на 7 могут быть лишь числа 1,2,3,4,5,6 и 0, мы либо должны на каком-то шаге получить 0 и остановиться, либо после шестого деления один из остатков обязан повториться (клетки кончились, а кролики все прибывают!). Дальше делить нет смысла – этот остаток мы уже разделили на 7, и все результаты у нас перед глазами. Ясно, что деление будет продолжаться бесконечно, но мы будем получать снова и снова одну и ту же последовательность цифр – период. Выходит, при делении целого числа на целое мы получим либо конечную десятичную дробь, либо периодическую – и более ничего!

  25. Обнинск 2 тур 2006 года • Москва лицей «Авангард» 2006 год • МГУ олимпиада 2006 год

  26. Задача (Обнинск 2 тур 2006 года)Пять участников школьной олимпиады получили I,II,III премии, которые давались набравшим 15,14,13 баллов соответственно. Сколько участников завоевало каждую премию, если вместе они набрали 69 баллов?Решение:По крайней мере, по три ученика получили I, II, III премии и вместе они набрали 15 + 14 + 13 = 42 балла.Значит, остальные два ученика набрали 69 – 42 = 27 баллов, и остались только два ученика, получившие II и III премии (14 + 13 = 27). В данной задаче я воспользовался принципом Дирихле (в честь немецкого математика П.Г.Л. Дирихле). По традиции принцип Дирихле почему-то всегда объясняют на примере кроликов в клетках: если общее число кроликов больше числа клеток, в одной из клеток наверняка сидит более одного кролика.Ответ: Один – I премия, двое – II премия, трое – III премия.

  27. Задача (Москва лицей «Авангард» 2006 год)В классе 15 учеников. Найдется ли месяц, в котором отмечают свои дни рождения не меньше, чем два ученика этого класса?Решение: да, так как месяцев всего 12, значит рассаживаем 15 учеников-«кроликов» по 12 «клеткам»-месяцам, но так как число учеников больше числа месяцев, значит найдётся хотя бы один месяц в котором будет больше одного дня рождения!

  28. Задача (МГУ олимпиада 2006 год)В пионерском отряде 22 пионера. Можно ли утверждать, что среди пионеров найдутся хотя бы два, имена которых начинаются с одной и той же буквы?Решение: Какие же у них могут бы имена? Андрей, Боря, Вова, Гена, Дима, Ева, Ё-?, Жанна, Зина, Ира, Йорик, Коля, Лена, Марина, Наташа, Оля, Петя, Света, Таня, Устин, Яедя, Хосе, Цыля, Честер, Шура, Щ-?, Ы-?, Эдик, Юра, Яша. Итак нашлись 26 (как минимум) имен, начинающихся на разные буквы. Так что в отряде из 22 пионеров вполне может оказаться, что у всех имена начинаются на разные буквы.

  29. Обнинск 2 тур 2006 год

  30. (Обнинск 2 тур 2006 год) ПРОДОЛЖИТЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ: А)V-4, X-8, L-47, C-96, D-495, M-? А) Перед нами римские цифры, узнаем, что же они означают: V – пять, X – десять, L – пятьдесят, C – сто, D – пятьсот, M – тысяча. V – 4, значит от «значения» числа отняли его порядковый номер: 5 – 1 = 4. Тоже самое и с другими числами: X – 10, 10 – 2 = 8; L – 50, 50 – 3 = 47; C – 100, 100 – 4 = 96; D – 500, 500 – 5 = 495. Значит M – 1000, 1000 – 6 = 994. Ответ:M - 994

  31. Москва лицей «Авангард» 2006 год • SNAIL 2007 год III этап • МФТИ 2006 год 9 класс • МГУ 2005 год 10 класс

  32. МГУ 2005 год 10 класс Задача.Джо знает, что для перевода из фунтов в килограммы нужно разделить массу в фунтах на 2 и полученное число уменьшить на 10%. Отсюда Джо сделал вывод, что для перевода из килограммов в фунты нужно массу в килограммах умножить на 2 и полученное число увеличить на 10%. На сколько процентов от правильного значения массы в фунтах он ошибется? Решение. Из условия: количество килограммов равно 45% от количества фунтов. (Пусть было k килограммов. После деления k на 2 получается 0,5k, а 10% от 0,5k - это 0,1 * 0,0k = 0,05k. Итого получается 0,5k - 0,05k = 0,45k, то есть 45% от k). При этом Джо считает, что количество фунтов есть 220% количества килограммов. (Пусть ƒ - количество фунтов. После умножения на 2 получается 2ƒ, а 10% от 2ƒ - это 0,1 * 2ƒ = 0,2ƒ. Итого у Джо получится 2ƒ + 0,2ƒ = 2,2ƒ, то есть 220% от ƒ.) Пусть x - количество фунтов. Переведем сначала фунты в килограммы в соответствии с правильным способом: это 45% от x, то есть 0,45x килограмм. Затем «переведем» килограммы обратно в фунты в соответствии с неправильным способом Джо. Это будет 220% от 0,45x, то есть 2,20 * 0,45x = 0,99 x, или 99% от первоначального количества фунтов x. То есть Джо ошибется на 1% в меньшую сторону. Ответ. Джо ошибется на 1% (полученное им значение массы в фунтах будет на 1% меньше правильного значения массы в фунтах).

  33. МФТИ 2006 год 9 класс Задача. На столе лежало 100 яблок, 99 апельсинов и груши. К столу подходили ребята. Первый взял яблоко, второй - грушу, третий - апельсин, следующий опять яблоко, следующий за ним - грушу, за ним - апельсин. Далее ребята разобрали фрукты в таком порядке до тех пор, пока стол не опустел. Сколько могла быть груш? Объясните свой ответ. Решение. Поскольку на каждом круге апельсины берут в последнюю очередь, прошло 99 полных кругов «яблоко-груша-апельсин» (то есть фруктов каждого вида было как минимум 99). Но на следующем круге апельсинов уже не было, а яблоко еще оставалось. После этого круга стол опустел, значит груш было или 99 (если последним взяли яблоко) или 100 (если последней взяли грушу). Ответ. Могло быть 99 или 100 груш.

  34. SNAIL 2007 год III этап Задача : По кругу выписаны в некотором порядке все натуральные числа от 1 до N (N ≥ 2) так, что у любых двух соседних чисел есть одинаковая цифра. Найдите наименьшее возможное значение N. Решение: Ответ: 29. Поскольку однозначные числа не имеют общих цифр, то N > 9. А так как числа, соседние с числом 9, должны содержать девятку в своей записи, то меньшее из них не может быть меньше, чем 19, а большее — меньше, чем 29. Следовательно, N ≥ 29. Равенство N = 29 возможно, поскольку условиям задачи удовлетворяет, например, такой порядок расстановки чисел от 1 до 29 по кругу: 1, 11, 10, 20, 21, 12, 2, 22, 23, 3, 13, 14, 4, 24, 25, 5, 15, 16, 6, 26, 27, 7, 17, 18, 8, 28, 29, 9, 19.

  35. ( Москва лицей «Авангард» 2006 год) Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько в доме этаже, если всего 105 квартир? Составим неравенство, данное по условию задачи: число этажей>числа квартир на этаже>числа подъездов>1 Всего число квартир = число этажей * число квартир на этаже * число подъездов Разложим число 105 на простые множители: 105 = 7 * 5 * 3 Теперь расположим эти числа в порядке возрастания: 7>5>3 Значит, число этажей-7, число квартир на этаже-5, числа подъездов-3

  36. Городская олимпиада 2007 год МГУ(1) Зональная олимпиада «Snail» 2006 год Региональная интернет-олимпиада «Snail» 2006 год Авангард 2005 год 10 класс МФТИ 2007 год МФТИ 2006 год 9 класс Региональная олимпиада SNAIL 2007 год 10 класс

  37. Региональная олимпиада SNAIL 2007 год 10 класс Задача: Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трехчлена f = x² + ax + b: Петя на 1, Коля — на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трехчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети? Решение: Ответ: Верно. Решение 1. Вначале Коля будет изменять коэффициент b до тех пор, пока b не попадет в промежуток [ – 2,0]. Петя ходами в 1 не сможет помешать ему сделать это. Теперь если 1) b = 0, то Коля выиграл (трехчлен f = x² + ax имеет целые корни); 2) b =  – 1, то Петя, чтобы не проиграть, должен получить b =  – 2, так как если он оставит b =  – 1, то следующим ходом Коля сделает b = 0. Итак, получен коэффициент b =  – 2 и Петя не может изменять его, так как коэффициент b =  – 1 или b =  – 3 Коля своим ходом сразу превратит в 0. Далее Коля будет изменять на 3 коэффициент a до тех пор, пока тот не попадет в промежуток  – 1,1. Если a =  ± 1, то он выиграл: трехчлен f = x² ± x – 2 имеет целые корни. Если же a = 0, то следующим ходом уже Петя получит такой трехчлен. Решение 2. Покажем, что Коля всегда может получить трехчлен, один из корней которого равен 2. Тогда из теоремы Виета (x1 + x2 =  – a) будет следовать, что и второй корень — целый. Для этого ему нужно добиться равенства: f(2) = 4 + 2a + b = 0, т.е. 2a + b =  – 4. Но Петя может изменять выражение A = 2a + b на  ± 2 (изменив a), либо на  ± 1, изменив b, а Коля — на  ± 2,  ± 6,  ± 1,  ± 3. Изменяя b на  ± 3, Коля может получить A ∈ [ – 3, – 5]. Из A =  – 3 Петя получит A =  – 5,  – 1 ,  – 4 (проигрыш),  – 2 и следующим ходом Коля получит A =  – 4. Из A =  – 5 Петя получит A =  – 3,  – 7,  – 4 (проигрыш),  – 6 и Коля получает A =  – 4.

  38. МФТИ 2006 год 9 класс Задача: Каждый голосующий на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии n кандидатов. На избирательном участке находится n + 1 урна. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит по крайней мере один бюллетень и при всяком выборе (n + 1)-го бюллетеня по одному из каждой урны найдётся кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата. Решение: Предположим, что утверждение задачи не выполнено. Это означает, что какие бы урну и кандидата ни взять, во взятой урне найдется бюллетень, не содержащий фамилии взятого кандидата. Выберем произвольный бюллетень из произвольной урны и занумеруем кандидатов, фамилии которых встречаются в этом бюллетене, числами от 1 до n. Этими же числами занумеруем n оставшихся урн. Тогда в k-й урне (k = 1, … ,n) найдётся бюллетень, не содержащий фамилии k-го кандидата. Набор этих бюллетеней вместе с бюллетенем, взятым вначале, противоречит условию задачи.

  39. МФТИ 2007 год ЗАДАЧА: Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство x² + y³ ≥ x³ + y4. Докажите, что x³ + y³ ≤ 2. Решение: Вначале докажем, что x + y² ≤ x² + y³. Допустим противное: x + y² < x² + y³, тогда, складывая это неравенство с неравенством x³ + y4 ≤ x² + y³, получим (x + x³) + (y² + y4) < 2x² + 2y³, что противоречит неравенствам x + x³ ≥ 2x² и y² + y4 ≥ y³. Из доказанного неравенства получаем x + y² ≥ x² + y³ ≥ x³ + y4, откуда 2x + 2y² ≥ x² + y³ + x³ + y4. Замечая, что (1 + x²) + (1 + y4) ≥ 2x + 2y² ≥ x² + y³ + x³ + y4, получаем неравенство 2 + x² + y4 ≥ x² + y³ + x4 + y4, равносильное требуемому.

  40. Авангард 2005 год 10 класс ЗАДАЧА: Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n? Решение: Заметим, что 44n есть сумма 4 экземпляров числа n и 4 экземпляров числа 10n. Если складывать эти числа поразрядно, то в каждом разряде окажется сумма учетверённой цифры из этого же разряда числа n и учетверённой цифры из следующего разряда. Если при этом не происходит никаких переносов, то каждая цифра числа n складывается 8 раз, и сумма цифр во всех разрядах оказывается равной 800. При переносах же сумма цифр, очевидно, уменьшается (так как из одного разряда вычитается 10, а к другому прибавляется только 1). Поэтому в ситуации условия задачи переносов не происходит. Это означает, в частности, что любая цифра числа n не превосходит 2. Тогда при умножении n на 3 просто умножается на 3 каждая его цифра, а, значит, и сумма цифр. Поэтому сумма цифр числа 3n равна 300

  41. Региональная интернет-олимпиада «Snail» 2006 год ЗАДАЧА: На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролик и Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые номера до начала игры определяются жребием. При этом Винни может добавлять орех только в первую или вторую банку, Кролик – только во вторую или третью, а Пятачок – в первую или третью. Тот, после чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов, проигрывает. Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть так, чтобы Кролик проиграл. Решение: Пусть Винни и Пятачок вначале кладут свои орехи во вторую и третью банки, несмотря на ходы Кролика, до тех пор, пока в одной из банок не станет 1998 орехов. После этого тот, кто должен класть орехи в эту банку (пусть, например, это Винни) начинает класть их в I. При этом он уже положил во II банку не менее 999 орехов, значит, в III орехов тоже не менее 999 (туда их клал Пятачок). После этого Пятачок продолжает класть в III банку орехи, пока там не станет 1998 – это произойдёт не более, чем через 500 ходов, так как в III банку также приходится класть орехи Кролику, чтобы не проиграть. После этого Пятачок также может класть орехи в I банку, так как там не более 500 орехов, положенных Винни, а Кролик вынужден будет положить орех во II или III, где их уже по 1998.

  42. Зональная олимпиада «Snail» 2006 год ЗАДАЧА: В микросхеме 2000 контактов, первоначально любые два контакта соединены отдельным проводом. Хулиганы Вася и Петя по очереди перерезают провода, причем Вася (он начинает) за ход режет один провод, а Петя – либо один, либо три провода. Хулиган, отрезающий последний провод от какого-либо контакта, проигрывает. Кто из них выигрывает при правильной игре? Решение: Докажем, что выигрывает Петя. Мысленно разобьем контакты на четыре одинаковых группы A, B, C и D. В каждой группе пронумеруем контакты числами от 1 до 500. Петя будет отвечать на любой ход Васи так, чтобы для каждого номера k от контактов Ak, Bk, Ck и Dk отходило поровну проводов. До начала игры это условие, очевидно, выполняется. Именно благодаря этому условию у Пети всегда будет возможность ответить на ход Васи. Теперь подробнее опишем Петину стратегию. Если Вася перерезает провод между контактами одной группы, например, провод AiAj, то Петя перережет провода BjBj, CiCj и DjDj. Если Вася перерезает провод между проводами из разных групп и с разными номерами, например, провод AiBj, то Петя в ответ перережет провода AjBi, CiDj и CjDi. Если же Вася перерезал провод между контактами из разных групп с одинаковыми номерами, например, провод AkBk, то Петя перережет провод CkDk. Заметим, что из описанной стратегии Пети следует, что провода, которые он собирается резать, не будут отрезаны до его хода. Такие ходы Петя может сделать, так как из возможности отрезать один провод от некоторого контакта следует возможность отрезать по одному проводу от контактов с таким же номером. Отметим, что каждый раз после хода Пети от контактов Ak, Bk, Ck и Dk отходит поровну проводов. Значит, Петя всегда сможет сделать ход, и, так как количество проводов конечно, проиграет Вася.

  43. Городская олимпиада 2007 год Задание 1: На доске написаны числа a, b и c. Их стерли, а взамен записали числа a4-2b2, B4-2c2, c4-2a2. После этого оказалось, что на доске записаны те же числа, что и в начале (возможно в другом порядке). Найдите числаa, b, c, если известно, что их сумма равна -3. Решение: 1) составим систему из двух уравнений: (a2*2-2a2+1)-1+ (b2*2-2b2+1)-1+ (c2*2-2c2+1)-1 = -3 (a2-1)2 + (b2-1)2 + (c2-1)2 = 0 a2 – 1 = 0 a2 = 1 a = +- 1 b2 – 1 = 0 b2 = 1 b = +- 1 c2 – 1 = 0 c2 = 1 c = +- 1 Ответ:a = -1, b = -1, c = -1.

  44. МГУ (1) Задание 1: Впишите в клетки квадрата 3*3 чмсла так, что если в качестве коэффициэнтов a, b, c(a≠0)квадратичного уравнения ax2 + bx + c = 0 взять числа из любой строки (слева направо), столбца или диагонали (сверху вниз) квадрата, то у получившегося уравнения будет хотя бы один корень. Решение: Конечно можно попытаться просто подобрать числа Например так: Однако лучше найти способ, который бы позволил без явного подбора и угадывания обеспечить построение решения задачи. Заметим, что если у квадратичного уравнения ax2 + bx + c = 0 коэффициент b много больше и a и c, то дискриминантD = b2 – 4ac заведомо положительный, а значит, уравнение имеет корни. Попробуем поставить числа в квадрате, так, чтобы обеспечить выполнение данного условия.

  45. 1) Числа «в уголках» могут быть только первыми и третьими коэффициентами. Поставим в углы число 1. 2) Поставим в середины сторон число много больше 1, например 10. Таким образом, условие задачи выполнено для сторон квадрата 3) Поставим в центр квадрата число многое больше всех, уже поставленных, например 100. Условие будет выполнено и для диагоналей, и для среднего столбца и для средней строки квадрата.

  46. Приведем еще один вариант построения примера. У уравнения ax2 + bx + c = 0 точно есть корень (x = 0). Поставим нули так, чтобы много уравнений имело именно такой вид: Теперь осталось «урегулировать» только первую строку, первый столбец и одну диагональ. Поставим сначала в строчку и столбец какие-нибудь известные квадратичные трехчлены, имеющие корень: Осталась проблема с диагональю, на которой стоят 1 0 1. поменяем знак у одной из единиц:

  47. Ответ. Примеры правильных вариантов ответа:

  48. Городская олимпиада РО • Город 2005 год 9 класс • МФТИ 2006 год 9 класс • SNAIL 2007 год II тур

  49. SNAIL 2007 год II тур ЗАДАЧА. Футбольный мяч представляет собой многогранник с 32 гранями, 20 из которых - белые правильные шести угольники, а 12 - черные правильные пятиугольники. Сколько вершин у такого многоугольника? Решение. Так как между ребрами, гранями и вершинами выпуклого многогранника есть связь, выражаемая формулой Эйлера: В + Г - Р = 2, где В - число вершин, Г - число граней, Р - число ребер, то В = Р + 2 - Г. Граней у данного многогранника 32. Число ребер будет равно Тогда В = 90 + 2 - 32 = 60. Таким образом, многоугольник имеет 60 вершин. Ответ: 60 вершин.

More Related