Diciassettesima Lezione

1. Diciassettesima Lezione Potenziali ritardati e dipolo Hertziano

2. Riassunto della lezione precedente • Potenze • Vettore di Poynting in campo complesso • Coefficiente di trasmissione, ROS • Calcoli con le linee • Onde piane e linee • Onde piane in mezzi stratificati

3. Radiazione: condizioni al contorno nel tempo • Cosa succede quando la regione S in cui si risolvono le eq di Maxwell è all’infinito? • Campi e variazioni, nonché le interazioni si propagano con velocità finita • Quindi la condizione al contorno su un contorno infinito, nel tempo, è che il campo all’infinito sia sempre nullo

4. Radiazione: condizioni al contorno in frequenza • In frequenza all’infinito vale la condizione di radiazione di Sommerfield • Sostituisce le condizioni su S fissando un flusso di potenza reale attraverso S all’infinito • Stabilisce che E ed H vadano a zero almeno come 1/r • Stabilisce che E ed H all’infinito approssimino un’onda piana

5. Uso del potenziale vettore • Abbiamo già introdotto e studiato il potenziale vettore: vediamo come usarlo nei problemi di radiazione • Avevamo visto infatti che essendo • E’ possibile scrivere • e che il potenziale vettore può essere definito a meno del gradiente di un campo scalare (potenziale) • Sostituiamo nell’equazione di Faraday • Quindi due grandezze con ugual rotore sono uguali a meno di un gradiente, per cui

6. Uso del potenziale vettore • Ora usiamo tale espressione nella legge di Gauss • Quindi • Ora sostituiamo nella legge di Ampère • D’altro canto sappiamo che • e che la divergenza del potenziale vettore è un nostro grado di libertà (lezione 10). Quindi scegliamo Ludvig Valentine Lorenz, matematico danese, da non confondere con Hendrik Antoon Lorentzil fisico olandese delle trasformate di Lorentz, premio Nobel 1902 con Pieter Zeeman • Scelta (o Gauge) di Lorenz (..non Lorentz)

7. Uso del potenziale vettore • Con tale scelta, il potenziale vettore soddisfa ad un’equazione d’onda, come la conosciamo • Ed anche l’eq per il potenziale scalare diventa • Nota: la scelta di Lorenz non solo semplifica i conti, ma ha un significato fisico: esprime in modo diverso la continuità della carica

8. Soluzione del potenziale vettore: statico • Nel caso statico abbiamo già visto come fare; vediamo cosa succede con le formule attuali • Come ci aspettavamo. Queste le abbiamo risolte (sempre lezione 10, anche se con notazione lievemente diversa)

9. P r-r’ r dV r r’ V Soluzione del potenziale vettore: Dinamico • Usiamo un approccio euristico: sappiamo che la differenza principale tra caso statico e dinamico è che le interazioni si propagano in tempo finito • Proviamo a determinare le soluzioni considerando solo questo fatto: quindi sostituendo alle equazioni possiamo verificare che funziona. Avremo allora • essendo v uno sulla radice di me, r il punto di osservazione ed r’ la variabile di integrazione

10. va sottinteso Soluzione del potenziale vettore: Dinamico sinusoidale • Le funzioni del tempo divengono semplicemente • per cui

11. Il dipolo Hertziano • E’ il più semplice esempio di radiatore: ideato da Heinrich Rudolf Hertz ed utilizzato nel suo esperimento del 1887 • Ricevitore 1857-1894 • Trasmettitore

13. Il dipolo Hertziano • In modo più schematico • Ricevitore • Trasmettitore

14. h Il dipolo Hertziano • Supponiamo di avere una corrente filiforme orientata lungo z, di lunghezza piccola rispetto alla lunghezza d’onda (lunghezza h), e costante nello spazio. Immaginiamo che sia sinusoidale nel tempo (usiamo i fasori) • La continuità della carica impone che agli estremi vi siano due cariche uguali ed opposte, anch’esse variabili nel tempo • Vista l’ipotesi di elemento “corto” l’integrale diventa semplicemente I0h, e l’unica componente non nulla è lungo z

15. Il dipolo Hertziano • quindi abbiamo già tutto…l’unica difficoltà è passare alle coordinate sferiche • non c’è componente angolare lungo j vista la simmetria cilindrica • A questo punto basta calcolare i campi

16. Il dipolo Hertziano • Quindi B (ed H) ha solo componente lungo j • Considerazioni: in condizioni statiche k=0: il secondo termine, che rimane, è quello statico: ci potete riconoscere la formula di Laplace • in cui • Quindi: il termine statico decresce come 1/r2, quello dinamico come 1/r

17. Il dipolo Hertziano • Calcoliamo il campo elettrico (un po’ di conti…) • Vedete un termine che decresce come r3, che è quello del dipolo elettrostatico in cui I0/jw è proprio la carica (per continuità) • A grande distanza dominano solo i termini in 1/r (quindi Er è trascurabile); quindi a grande distanza

18. Il dipolo Hertziano • a grande distanza • come un’onda piana!

19. Il dipolo Hertziano • I campi di un dipolo hertziano, posto all’incrocio dei piani

20. I grafici calcolati da Hertz!