P O H O N

1. Bab IX P O H O N

2. Graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit disebut pohon. akar cabang daun

3. a b c d f e G1 1. DEFINISI POHON • Pohon adalah graf yang khusus. • Pohon adalah graf tak berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. b a d b a c d c f e e G4 G2 G3 Gambar 9.1 bukan pohon pohon

4. B b ● ● C A a c ● ● ● ● D d ● ● Pohon penyebaran gosip istri suami Gambar 9.2

5. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Beberapa pohon dapat membentuk hutan. Hutan (forest) adalah kumpulan pohon yang saling lepas. Gambar 9.3 Hutan yang terdiri dari tiga pohon

6. 2. Sifat-sifat Pohon • G adalah pohon. • Setiap pasang simpul di dalam Gterhubung dengan lintasan tunggal. • G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi. • Gtidak mengandung sirkuit. • Penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya 1 sirkuit. • G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan (jembatan adalah sisi yang bila dihapus menyebabkan graf terpecah menjadi dua komponen).

7. Contoh 9.1 : Sebuah pohon mempunyai 2n buah simpul berderajat 1, 3n buah simpul berderajat 2, dan n buah simpul berderajat 3. Tentukan banyaknya simpul dan sisi di dalam pohon itu.

8. Menurut Lemma Jabat Tangan, jumlah derajat semua simpul di dalam graf adalah 2 kali jumlah sisi di dalam graf tersebut. Jadi, Menurut teorema 9.1, jumlah sisi pada sebuah pohon adalah jumlah simpul minus satu, jadi Jadi jumlah simpul pada pohon = 6n = 6x2 = 12 dan jumlah sisi = 6n-1 = 11

9. 3. Pewarnaan Pohon Ditinjau dari teori pewarnaan graf, maka pohon mempunyai bilangan kromatik 2. Dengan kata lain, dua buah warna sudah cukup mewarnai simpul-simpul di pohon sedemikian sehingga tidak ada dua buah simpul bertetangga mempunyai warna sama.

10. a b c d f e G1 Pewarnaan pohon T dilakukan dengan cara berikut : • Petakan warna pertama pada sembarang simpul. • Petakan warna kedua pada simpul-simpul yang bertetangga dengan simpul pertama. • Petakan kembali warna pertama pada semua simpul yang bertetangga dengan simpul-simpul yang telah diberi warna kedua. • Ulangi proses, sampai semua simpul diwarnai.

11. 4. Pohon Merentang Disebut pohon merentang karena semua simpul pada pohon Tsama dengan semua simpul pada graf G • Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang. • Graf yang tidak mengandung sirkuit adalah pohon merentang itu sendiri. • Pada graf yang mempunyai sirkuit, pohon merentangnya diperoleh dengan cara memutuskan sirkuit yang ada.

12. T1 G • Cabang adalah sisi pada pohon merentang, merupakan sisi dari graf semula. • Tali hubung dari pohon adalah sisi dari graf yang tidak terdapat di dalam pohon merentang. cabang tali-hubung

13. T1 T2 G T3 T4 Contoh Graf lengkap G dengan beberapa pohon merentangnyaT Gambar 9.4 Aplikasi pohon merentang misalnya pada pemeliharaan Jalan raya. Graf G gbr 9.4 adalah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan 4 buah kota. Karena dana pemeliharaan terbatas, pemerintah daerah hanya memelihara jalan-jalan sesedikit mungkin sedemikian sehingga ke 4 kota masih tetap terhubung satu sama lain.

14. ● ● ● ● ● ● ● ● Gambar 9.5 subnetwork router (b) Pohon merentang multicast (a) Jaringan komputer

15. Menghitung jumlah cabang dan tali hubung • Untuk graf terhubung dengan n buah simpul dan m buah sisi : Jumlah cabang = n – 1 Jumlah tali hubung = m – n + 1 • Untuk graf tidak terhubung dengan k komponen, m buah sisi dan n buah simpul : Jumlah cabang = n – k Jumlah tali hubung m – n + k

16. Pohon Merentang Minimum. • Di antara semua pohon merentang di G, pohon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum yang merupakan pohon merentang yang paling penting. • Terdapat 2 buah algoritma membangun pohon merentang minimum, yaitu : Algoritma Prim. Algoritma Kruskal.

17. Graf yang menyatakan jaringan jalur rel kereta api. Bobot pada tiap sisi • menyatakan panjang rel KA (x 100 km). • (b) Pohon merentang yang mempunyai jumlah jarak minimum. a a 45 d d 30 30 55 h h 25 25 ● ● c c b b 50 40 40 20 20 15 15 5 5 g g e e 35 10 10 f f (b) (a) Gambar 9.6

18. 3.1. Algoritma Prim • Algoritma Prim membentuk pohon merentang minimum langkah per langkah. • Pada setiap langkah diambil sisi dari graf G yang mempunyai bobot minimum namun terhubung dengan pohon merentang minimum T yang telah terbentuk.

19. Langkah-langkah Algoritma Prim • Ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T. • Pilih sisi (u, v), yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T. • Ulangi langkah ke 2 sebanyak n – 2 kali. Jumlah langkah seluruhnya di dalam Algoritma Prim adalah : 1 + (n – 2) = n – 1, yaitu sebanyak jumlah sisi di dalam pohon merentang dengan n buah simpul.

20. 10 1 2 3 35 25 4 5 20 15 10 1 2 50 6 40 3 45 35 35 4 5 55 20 15 6 Contoh 9.2 : Bobot pohon merentang minimum adalah : 10+25+15+20+35 = 105 25 Gambar 9.7

21. 10 1 2 25 6 10 1 2 1(1,2) 10 2(2,6) 25 10 1 2 3 25 3(3,6) 15 15 6

22. 10 1 2 3 35 25 4 5 20 15 6 10 1 2 4(4,6) 20 3 25 ● 4 5 20 15 6 5(3,5) 35

23. Contoh 9.3 :

24. 3.2. Algoritma Kruskal • Pada Algoritma Kruskal, sisi-sisi graf diurutkan terlebih dahulu berdasarkan bobotnya dari kecil ke besar. Perbedaan prinsip antara algoritma Prim dan Kruskal adalah : • Jika pada algoritma Prim, sisi yang dimasukkan ke dalam T harus bersisian dengan sebuah simpul di T, maka pada algoritma Kruskal sisi yang dipilih tidak perlu bersisian dengan sebuah simpul di T asalkan penambahan sisi tersebut tidak membentuk sirkuit.

25. Langkah-langkah Algoritma Kruskal Sisi-sisi dari graf diurutkan menaik berdasarkan bobotnya, dari bobot kecil ke bobot besar. • T masih kosong. • Pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T. • Ulangi langkah ke 2 sebanyak n – 1 kali.

26. 10 1 2 50 40 3 45 35 35 4 5 55 20 15 6 Contoh 9.4 : Sisi-sisi graf diurut menaik berdasarkan bobotnya : Bobot pohon merentang minimum adalah : 10+25+15+20+35 = 105

27. ● ● 1 2 ● ● ● ● ● 1 2 3 4 5 ● 6 ● ● ● ● 1 2 3 5 4 ● 6 ● ● ● ● ● ● 1 2 3 4 5 6 0 1(1,2) 10 2(3,6) 15 3(4,6) 20

28. ● ● ● ● 1 2 3 5 4 ● 6 4(2,6) 25 5(1,4) 30 ditolak ● ● 1 2 ● 6(3,5) 35 3 ● 5 4 ● 6

29. Pohon Berakar

30. 5. Pohon Berakar • Definisi : Pohon yang sebuah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan sisi-sisinya diberi arah menjauh dari akar dinamakan pohon berakar (rooted tree). • Akar mempunyai derajat masuk sama dengan nol dan simpul-simpul lainnya berderajat masuk sama dengan satu. akar a cabang b d c daun e f g daun h i j daun

31. Simpul yang mempunyai derajat keluar sama dengan nol disebut daun atau simpul terminal. • Simpul yang mempunyai derajat keluar tidak sama dengan nol disebut simpul dalam atau simpul cabang. • Setiap simpul di pohon dapat dapat dicapai dari akar dengan sebuah lintasan tunggal.

32. Sembarang pohon tak berakar dapat diubah menjadi pohon berakar dengan memilih sebuah simpul sebagai akar. • Pemilihan simpul yang berbeda akan menghasilkan pohon berakar yang berbeda. • Arah sisi di dalam pohon dapat dibuang, karena setiap simpul di pohon harus dicapai dari akar, maka lintasan di dalam pohon berakar selalu dari atas ke bawah.

33. a e f b d g c h b e d d a c f b e g h g h f a c b sebagai akar e sebagai akar

34. Terminologi pada Pohon Berakar x Orang tua Anak dan Orang tua. Misalkan x adalah simpul di dalam pohon berakar, simpul y dikatakan anak simpul x jika ada sisi dari simpul x ke simpul y dan simpul x disebut orang tua simpul y. y anak Saudara kandung

35. Lintasan (path) • Lintasan dari simpul v1 ke simpul vk adalah runtunan simpul-simpul v1, v2, v3,…., vk sedemikian sehingga vi adalah orangtua dari vi+1 untuk 1  i  k. • Panjang lintasan adalah jumlah sisi yang dilalui dalam suatu lintasan, yaitu k – 1.

36. Keturunan dan Leluhur Jika terdapat lintasan dari simpul x ke simpul y di dalam pohon, maka x adalah leluhur dari simpul y, dan y adalah keturunan simpul x. Saudara Kandung Simpul yang berorangtua sama adalah saudara kandung satu sama lain.

37. Upapohon (Subtree) Pohon T dengan upapohon T’ pada bagian yang dilingkari. a b Pohon T dengan akar a dan upapohon T’ dengan akar b.

38. Derajat (degree) a • Derajat sebuah simpul pada pohon berakar adalah jumlah upapohon atau jumlah anak pada simpul tersebut • Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. b aberderajat 3 b berderajat 2

39. Aras (level) atau Tingkat • Akar mempunyai aras 0, sedangkan aras simpul lainnya = 1 + panjang lintasan dari akar ke simpul tersebut. 0 1 2 3 4

40. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth) Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman, atau tinggi pohon adalah panjang maksimum lintasan dari akar ke daun.

41. 7. Pohon Berakar Terurut • Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut (ordered tree). • Pada pohon terurut, urutan anak-anak dari simpul-dalam dispesifikasikan dari kirikekanan.

42. Sebagai contoh, 2 buah pohon pada gambar 9.14 Urutan anak dari simpul 1 gbr 9.14a adalah 2, 3, 4 Sedangkan urutan anak dari simpul 1 gbr 9.14b adalah 3, 4, 2 Perbedaan ini menjadi penting bila kita merepresentasikan pohon di dalam komputer, karena penelusuran 2 buah pohon terurut yang berbeda akan menghasilkan urutan simpul yang berbeda pula.

43. 1 1 4 2 4 2 3 3 5 6 7 8 9 8 9 6 5 7 (a) 10 (b) 10 Gambar 9.14

44. Sistem yang universal dalam peng-alamat-an simpul-simpul pada pohon terurut adalah dengan memberi nomor setiap simpulnya seperti penomoran bab (beserta upababnya) di dalam sebuah buku. Gambar 9.15

45. 0 1 2 3 2.2 1.1 1.2 2.1 2.3 3.1 3.2 3.3 3.4 Gambar 9.15 2.2.1 2.2.2

46. 8. Pohon n-ary • Pohon berakar yang setiap simpul cabangnyamempunyai paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary. • Jika n=2, pohon disebut pohon biner (binary tree). • Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat n buah anak (gambar 9.18).

47. Pohon n-ary biner Pohon 3-ary penuh

48. Contoh 9.5 : Pohon n-ary digunakan untuk merepresentasikan struktur kalimat dalam bahasa alami (natural language) maupun dalam bahasa pemrograman. Pohon penurunan kalimat itu disebut pohon parsing (parse tree). Gambar 9.16 memperlihatkan cara penurunan kalimat dalam Bahasa Inggris yang berbunyi A tall boy wears a red hat

49. Contoh 9.5 : sentence verb object subject article noun phrase article noun phrase wears adjective noun adjective noun Gambar 9.16 A tall boy a red hat

50. Contoh 9.6 : Dalam sistem pengarsipan komputer (computer file system), arsip-arsip di dalam media penyimpanan sekunder (seperti floppy disk, compact disk, hard disk), disusun dalam bentuk direktori. Struktur direktori dimodelkan dalam pohon n-ary. Disini akar menyatakan sistem arsip keseluruhan, simpul dalam menyatakan upa-direktori, dan daun menyatakan arsip atau direktori kosong.