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3. Membranen, Platten und Schalen

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3. Membranen, Platten und Schalen - PowerPoint PPT Presentation


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1-D-System 2-D-System ideale Saite ideale Membran steife Saite steife Membran Stab Platte gekrümmter Stab Schale, Glocke. Knotenpunkt Knotenlinie.

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Presentation Transcript
slide1

1-D-System 2-D-System

ideale Saite ideale Membran

steife Saite steife Membran

Stab Platte

gekrümmter Stab Schale, Glocke

Knotenpunkt Knotenlinie

3. Membranen, Platten und Schalen

Analogien:

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide2

Einspannung

y

z

x

Massendichte:

Spannung:Tds= Spannkraft senkrecht zu Rand jedes Flächenelements

= (konstante) Oberflächenspannung der Membran

Kleine Auslenkung (  lineare Näherung ):

Kreismembran

Rechteckmembran

3.1. Membranen

2-D-Wellengleichung:Koordinatenwahl  Form der Einspannung

(Transversalschwingung)

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide3

F

θ

Tds

Statische Auslenkung:

= 0 für Angriffspunkt

Membran widersteht keiner Kraft mit Angriffspunkt

Saite

Membran

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide4

Lx

y

z

Ly

x

Schwingungsmoden von Rechteckmembranen:

m = 1 n = 1

m = 2 n = 1

m = 1 n = 2

m = 2 n = 2

  • Quadratische Membran Lx = Ly
  • Entartung ωmn = ωnm
  • Modenüberlagerung möglich

m = 3 n = 1

m = 3 n = 2

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide5

y

z

x

Schwingungsmoden von Kreismembranen:

2R

m = 0 n = 1

m = 1 n = 1

ξmn = n-te Nullstelle der Besselfunktion Jm

m = 2 n = 1

m = 3 n = 1

m = 0 n = 2

m = 3 n = 2

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide6

Frequenzfolge bei idealen Kreismembranen:

Vortrag Perkussionsinstrumente

kreismembran applet
Kreismembran Applet
  • http://www.falstad.com/mathphysics.html

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide8

frei / einfach unterstützt / eingespannt

y

z

h

Massendichte:

x

„Unendliches“ Medium (rel. zu λ)

„Dünne“ (rel. zu λ) Balken / Platten

3.2. Dünne isotrope Platten

a) Longitudinale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide9

frei / einfach unterstützt / eingespannt

y

z

h

Massendichte:

x

„Unendliches“ Medium oder „unendlich große“, „flache“ Platten (rel. zu λ)

b) Transversale Wellen: nicht-dispersiv; keine signifikante Schallabstrahlung

(zweidimensionales Analogon zu Torsionsschwingungen von Stäben)

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide10

frei / einfach unterstützt / eingespannt

y

z

h

Massendichte:

x

Wellengleichung:

Dispersionsrelation: (nichtlinear)

Phasengeschwindigkeit:

Gruppengeschwindigkeit:

c) Biege/Verformungs-Wellen: dispersiv; signifikante Schallabstrahlung

(zweidimensionale Verallgemeinerung der Balken-Biegeschwingung)

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide11

z

Ly

Beispiel: Die dünne Rechteckplatte

Lx

h

Freie Platte:

( i.A. schwieriges Problem )

(x,y) – Kopplung

  • Einfache Unterstützung: Knotenlinien (m,n) wie Membran
  • Andere Randbedingungen: Gekrümmte Knotenlinien durch Mischung der (m,n) und (n,m) Membranmoden für |m – n| = 2,4,6,...

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide12

Ringmode

Diagonal-Mode (X-Mode)

Messung an freier Aluminiumplatte

(x,y) – Kopplung bei Lx  Ly:

Modenaustausch

Lx = const.

Lx / Ly

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide13

frei (ν=0,3)

einfach unterstützt

eingespannt

Fundamentalmoden quadratischer Platten:

(1,1)

(0,0)

(0,0)

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide14

frei (ν=0,3)

eingespannt

Moden quadratischer Platten:

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide15

Strahlung einer Kreismembran in einer Schallwand

m = 0 n = 1

  • Qualitativ wie starre Kreisplatte
  • Effizienter Strahler
  • Quantitativ unterschiedlich: u(r')  J0(k r')

Fundamentalmode

m = 0 n = 2

  • m = 0 Moden:
  • Verbleibende Netto-Monopolkomponente
  • Schwache Strahler

m = 2 n = 1

m = 3 n = 1

  • m > 0 Moden:
  • Keine Monopolkomponente
  • Völlig ineffiziente Strahler

m = 1 n = 1

m = 3 n = 2

Vortrag Perkussionsinstrumente

perkussionsinstrumente trommeln
Perkussionsinstrumente -Trommeln

Vortrag Perkussionsinstrumente

perkussionsinstrumente trommeln geschichte
Perkussionsinstrumente -Trommeln: Geschichte
  • Trommeln sind praktisch so alt wie die Menschheit. Ausgenommen die menschliche Stimme stellen Sie die ältesten Musikinstrumente dar!
  • Die ersten Trommel waren wahrscheinlich Holzstücke über Erdlöchern und etwas später hohle Baumstümpfe!
  • Die ältesten bekannten Trommeln mit Membranen sind 5000 Jahre alt. Die Membran bestand aus Fischhaut oder Wildleder.
  • In der Kulturgeschichte des Menschen spielten Trommeln in der Musik allgemein vor allem aber in religiösen Ritualen und Festen eine wichtige Rolle!

Vortrag Perkussionsinstrumente

perkussionsinstrumente trommeln kategorisierung
Perkussionsinstrumente -Trommeln : Kategorisierung
  • Alle Trommeln lassen sich grob in 2 Hauptkategorien einteilen: Solche die ein gutes Gefühl für die Tonhöhe vermitteln und solche, die das nicht tun.
  • Zur ersten Gruppe gehören z.B. kettledrums und tabla.
  • Zur zweiten Gruppe gehören bass drum, snare drum, tom-toms, bongos, congas…
  • Als schwingungsfähige Systeme unterteilt man Trommeln in 3 Gruppen: solche mit von der Membran abgeschlossenem Resonanzkörper (kettledrums), solche mit Luft zu beiden Seiten der Membran (tom-toms, Tambourine) und solche mit einem durch 2 Membranen isolierten Hohlraum (bass drum und snare drum).

Vortrag Perkussionsinstrumente

perkussionsinstrumente trommeln19
Perkussionsinstrumente -Trommeln
  • kettledrums oder timpani sind die wichtigsten Trommeln in modernen Orchestern. Ihre Bedeutung resultiert vor allem aus den Einstellungsmöglichkeiten.
  • Eine timpani kann in etwa eine Quinte (5 Töne) je nach Membranspannung abdecken. Über die Pedale kann der Spieler einen weiteren Ton hinzufügen.
  • Die Moden einer idealen Membran sind nicht harmonisch. Eine gut eingestellte timpani einen Grundton und nur 2 oder 3 Obertöne. Der Grundton stammt dabei von der 1,1 mode.

Vortrag Perkussionsinstrumente

slide20

Aufbau einer Kesselpauke

Aufsicht

Seitenansicht

Vortrag Perkussionsinstrumente

energieverlust
Energieverlust
  • Es gibt vier hauptsächliche Ursachen für den Energieverlust einer Membran in einer Trommel:
  • Schallabstrahlung
  • Mechanische Verluste in der Membran
  • Wärmeverlust der eingeschlossenen Luft
  • Mechanische Verluste in den Außenwänden

Vortrag Perkussionsinstrumente

schallabstrahlung
Schallabstrahlung

Vortrag Perkussionsinstrumente

schallabstrahlung23
Schallabstrahlung

Vortrag Perkussionsinstrumente

das schlagzeug
Das Schlagzeug

Toms

Hi Hat

Crashbecken

Snare

Bass-Drum

Vortrag Perkussionsinstrumente

elektronisches drumset
Elektronisches Drumset

Vortrag Perkussionsinstrumente

bass drums
Bass Drums
  • Erzeugt die höchste Leistung aller Instrumente in einem Orchester (bis zu 20W)
  • Normaler Durchmesser 80-100cm
  • Meist 2 Membranen, unterschiedlich stark gespannt
  • Mylarmembranen (Polyester), manchmal auch Kalbsfell für große Konzertbassdrums
  • Schlagfell (batter) ist stärker gespannt als das Resonanzfell (carry) (Unterschied von bis zu 75%),
  • Sound erscheint verstärkt und klingt schneller ab
  • Für Soli wird auch das Gegenteil empfohlen, bzw. beide auf gleiche Spannung

Vortrag Perkussionsinstrumente

bass drums28
Bass Drums
  • Moden sind überraschend nahe einer harmonischen Serie
  • Ab 200Hz entstehen viele unharmonische Anteile (ca. 160)
  • Interessante Kopplungseffekte für die niedrigsten Moden
  • Bei gleicher Spannung  0,1 einfacher 2-Massen-Oszillator mit:
  • f1=f0
  • f2=sqrt(f0^2+2fc^2)
  • fc: Kopplungsfrequenz, die von der Beschaffenheit des Luftvolumens und der Membranmassen abhängt
  • fc= 67 Hz für 0,1

Vortrag Perkussionsinstrumente

bass drums29
Bass Drums
  • Entfernt man das Resonanzfell, ändert sich nur wenig gegenüber den Frequenzen bei Carry auf kleinerer Spannung
  • Abklingraten ca. 3-9 dB/s
  • Steigt auf 6-11 dB/s, wenn man Spannungen von Carry und Batter angleicht
  • Ohne Carry: 3-8 dB/s
  • Oberflächenspannung einer Membran steigt beim Schwingen mit einer endlichen Amplitude
  • ΔT ~ d2
  • f ~ √(T0+ΔT) ~ √(T0+ d2)
  •  daher hat jede Mode eine höhere Frequenz, im Moment des Anschlags, die dann mit Abklingen der Amplitude kleiner wird
  • Typische Amplitude 6mm  Frequenz – Shift von 10%, was ungefähr einem ganzen Ton entspricht

Vortrag Perkussionsinstrumente

snare drums
Snare Drums
  • Typische Maße: 35cm Durchmesser, 13-25cm Tiefe
  • An der unteren Membran befinden sich gespannte Metalldrähte  ergeben typischen Snaresound
  • Bei Anschlag der oberen Membran, schwingen die Snareseiten gegen die Membran
  • Kopplungen der Membranen wie bei Bass
  • Eingeschlossene Luft und/oder das Gehäuse  Paare von Moden

Vortrag Perkussionsinstrumente

snare drum
Snare Drum
  • Bei ersten beiden Moden schwingen Batter und Snare gleich oder entgegen (kann wiederum mit einem simplem 2-Massen Modell beschrieben werden)
  • Bei Mode 3 und 4 sind Berechnungen wesentlich komplizierter
  • Offensichtlich muss die Luft jedoch bei Mode 3 einen größeren Weg zurück legen als bei Mode 4, was den Frequenzunterschied erklärt

Vortrag Perkussionsinstrumente

snare drum32
Snare Drum

Vortrag Perkussionsinstrumente

snare action
Snare Action
  • Kopplung zwischen Snare und Membran hängt von der Masse der Federkonstante der Snares
  • Bei genügend großer Anschlagamplitude lösen sich die Snares von der Membran ab einem bestimmten Zeitpunkt im Schwingungszyklus und schwingen die Membran zurück charakteristischer Snare Sound
  • Je größer die Spannung der Snares, umso größer ist die dazu benötigte Amplitude
  • Zu Beginn verhält sich die Geschwindigkeit der Snare sinusförmig, wobei Periodendauer größer als die der Membran ist
  • Dadurch kehrt die Membran erst ihre Richtung um und verliert dann den Kontakt zur Snare
  • Anschließend schlagen beide stark zusammen bei der Rückwärtsbewegung  charakteristischer Snare Sound

Vortrag Perkussionsinstrumente

snare action34
Snare Action

Vortrag Perkussionsinstrumente

snare action35
Snare Action

Vortrag Perkussionsinstrumente

tom toms
Tom Toms
  • Durchmesser 20-45cm, 20-50cm Tiefe
  • Eine oder zwei Membranen
  • Toms mit Verstärkung im Zentrum geben klarere Töne, was daran liegt, dass die niedrigen Frequenzen harmonischer liegen
  • Außerdem vergrößern die Verstärkungen die Abklingzeiten aller Moden
  • Wie bei Bass Drum erzeugen 2 Membranen wieder 2 Frequenzen in der (0,1)-Mode
  • Wieder Effekt der Tonerhöhung bei starkem Anschlag

Vortrag Perkussionsinstrumente

tom toms37
Tom Toms

Vortrag Perkussionsinstrumente

onset und decay
Onset und Decay
  • Wird die Membran zentral angespielt  größter Teil der Energie geht in kreissymmetrische Moden (0,1) und (0,2)
  • Zum Ende der 1. Sekunde enthält das Spektrum viele weitere Moden über die Kopplung zu (0,1) und (0,2)
  • Abklingzeit:
    • Art der Membran
    • Spannung
    • Kesselgewicht und –material
    • Halterung des Toms
  • Bsp.: Die Änderung der Länge des Armes, der das Tom hält, kann die Zerfallszeit von 5.5s auf 0.6 ändern

Vortrag Perkussionsinstrumente

onset und decay39
Onset und Decay

Vortrag Perkussionsinstrumente

perkussionsinstrumente trommeln indian drums
Perkussionsinstrumente -Trommeln: Indian Drums
  • Die beiden wichtigsten Trommeln aus Indian sind die Tabla:

Vortrag Perkussionsinstrumente

indian drums
Indian Drums
  • und die mrdanga aus Nord- und Südindien:

Vortrag Perkussionsinstrumente

indian drums42
Indian Drums
  • Beide Trommeln produzieren harmonische Obertöne durch Verwendung bestimmter Materialien, wie Gummi oder Speisestärke im Trommelkopf (Paste).
  • Der Kopf der Tabla besteht aus drei Lagen Tierhäuten, die an den Enden zusammen geflochten sind und durch einen Lederring befestigt sind.
  • Die Spannung kann durch die Position kleiner Holzzylinder auf der Oberfläche der Außenwände variiert werden.
  • Mittels eines Hammers kann der Lederring nach oben oder unten verschoben werden, was eine noch feinere Einstellung erlaubt.

Vortrag Perkussionsinstrumente

indian drums43
Indian Drums
  • Im Zentrum der Membran befindet sich ein runder schwarzer Fleck einer aus Reis und Eisenoxid hergestellten Paste, welche die Dichte erhöhen soll. (*)
  • Die ersten vier Obertöne der Tabla sind harmonische über der Fundamentalen, welche von (0,1) mode erzeugt wird.
  • Die Obertöne werden durch unterschiedliche Mode, welche dieselbe Frequenz erzeugen produziert.
  • Zweite (1,1); Dritte (2,1) und (0,2); Vierte (3,1) und (1,2);

Fünfte (4,1), (0,3) und (2,2)

Vortrag Perkussionsinstrumente

indian drums44
Indian Drums

Vortrag Perkussionsinstrumente

indian drums45
Indian Drums
  • Abb 18.15 (Verschiedene Moden produzieren gleiche Frequenzen)

Die meiste Energie ist eingeschlossen im Trommelkopf.

Vortrag Perkussionsinstrumente

indian drums46
Indian Drums
  • Der Trommelkopf ist im wesentlichen in drei konzentrische Bereiche aufgeteilt, die es dem Spieler ermöglichen drei deutlich unterschiedlich Töne hervorzubringen.
  • „tun“  Mitte; „tin“  nicht gedämpfter Bereich und „na“

 Rand.

  • Erwähnenswert ist auch noch, dass die verschiedenen Moden umso eher gleiche Frequenzen erzeugen je größer die Anzahl dünner Schichten an Paste ist.

Vortrag Perkussionsinstrumente

abb 18 16
Abb. 18.16Indian Drums

Vortrag Perkussionsinstrumente

japanese drums
Japanese Drums
  • Viele verschiedene Trommeln wie die O-daiko,

turi daiko und die kotodumi. (Abb. 18.18)

Vortrag Perkussionsinstrumente

japanese drums49
Japanese Drums

Vortrag Perkussionsinstrumente

japanese drums50
Japanese Drums
  • Die o-daiko besteht aus einem Holzzylinder von ca. 50-100cm Durchmesser über dessen Enden eine Membran aus Kuhhaut gespannt ist.
  • Sie wird mit großen, fellüberzogenen Schlägern angeschlagen und produziert eine tiefen, donnernden Ton. Ihr ursprünglicher Einsatzzweck waren religiöse Feste in Tempeln und bei heiligen Schreinen.
  • Die Moden der o-daiko sind denen der bass drum sehr ähnlich.
  • Dämpfung durch Luft wichtig bei großen Membranen. Die Frequenzen der o-daiko stimmen sehr gut mit den theoretischen Werten ohne Luft überein  die Membranspannung und Masse sind groß!

Vortrag Perkussionsinstrumente

japanese drums51
Japanese Drums
  • Die turi-daiko ist eine kleine Hängetrommel, die im klassischen japanischen Theater und Orchester verwendet wird.
  • Der Trommelkörper besteht aus einem ausgehöhlten Baumstamm. Durchmesser ca. 30 cm  Länge 7 cm.
  • Die (0,1) mode liefert eine Frequenz von 195 Hz welche sich verringert, wenn man die Länge der Trommel erhöht.

Vortrag Perkussionsinstrumente

japanese drums52
Japanese Drums
  • Die kotodumi besteht aus einem Holzkörper an dessen Enden Eisenringe befestigt sind, über die eine Membran gespannt ist. Hanfseile erlauben es dem Spieler die Spannung der Membran zu variieren.
  • Die kotodumi produziert vier verschiedene Klänge: `ta`, `ti`, `pu` und `po`, abhängig von der gewählten Spannung.
  • `ta` und `ti` Klänge beruhen auf hoher Membran-spannung. `pu und `po` Klänge werden erzeugt in dem bei hoher Membranspannung angeschlagen wird und unmittelbar nach dem Schlag die Spannung der Membran verringert wird, was den Klang zu tieferen Frequenzen hin verschiebt.

Vortrag Perkussionsinstrumente

latin american drums
Latin American Drums

Vortrag Perkussionsinstrumente

latin american drums54
Latin American Drums
  • Die Wurzeln dieser Trommeln liegen Afrika.
  • In heutigen Tanz Orchestern und Jazz Ensembles findet man hauptsächlich bongos, congas und timbales.
  • Die Trommelkörper der Congavorläufer bestand aus einem ausgehöhlten Baumstamm. Heute wird die Conga aus Holzleisten zusammengesetzt (Durchmesser ca. 23-30cm).
  • Die Tonhöhe variiert von 131 Hz – 262 Hz.
  • Unterschiedliche Klänge werden hauptsächlich durch die Schlagposition und Technik bestimmt.

Vortrag Perkussionsinstrumente

latin american drums55
Latin American Drums
  • Bongos produzieren die höchsten Frequenzen unter den Lateinamerikanischen Trommeln (Durchmesser 15-25cm).Die Außenhaut besitzt konische Gestalt.
  • Ursprünglich wurde die Membran festgenagelt, heute werden aber Schrauben zum Regulieren der Spannung angebracht.
  • Timbales waren ursprünglich aus Holz werden heute aber aus Metall gefertigt (Durchmesser ca. 30-35 cm).
  • Die Außenhaut ist entweder am Boden offen oder es existiert nur eine handgroße Öffnung. Gespielt werden timbales mit Holzschlägern, mit denen unter um Umständen auch die Außenhaut angeschlagen wird.

Vortrag Perkussionsinstrumente

das xylophon
Das Xylophon
  • Beispiel einer quadratischen Platte siehe Theorieteil.
  • Das Wort „Xylophon“ leitet sich aus dem Griechischen ab und bedeutet soviel wie „Holzklang“.
  • Decken in etwa 3- 3 1/2 Oktaven ab f=349-4186 Hz).
  • An der Unterseite bogenförmig angeschnitten.
  • Grund: Dies verändert (verringert) die Frequenzen, welche von den Moden erzeugt werden, die das Torsionsmodul beanspruchen.
  • Der erste Oberton liegt in der Frequenz in etwa dreimal höher als die Fundamentalfrequenz (Grundton).
  • Das Holz wirkt auf diesen Oberton wie ein Resonator was den Klang „verbreitert“  siehe Fig.5.6.

Vortrag Perkussionsinstrumente

das xylophon57
Das Xylophon
  • Manchmal wird dem ganzen Instrument noch ein Resonator zugefügt. Oder die Xylophonhölzer (bars) werden über einem kastenartigen Hohlraum montiert, der den Klang „dehnt“, indem er Interferenz reduziert, die aus Schallabstrahlung der Hölzerenden resultiert.

Vortrag Perkussionsinstrumente

quellen
Quellen
  • Skript Physik der Musikinstrumente (Vorlesung SS 2007)
  • „The Physics of Musical Instruments“ (Springer Verlag, 2000)
  • google
  • Wikipedia
  • http://home.comcast.net/~scottxs/piezogyro/applet/index.html

Vortrag Perkussionsinstrumente