Teoria de Planck para a Radiação de Cavidade

1. Teoria de Planckpara a Radiação de Cavidade Radiação de Corpo Negro

2. Teoria Clássica para a Radiação de CavidadeCálculo de Rayleigh-Jeans • Cavidade Radiante (V=a3) • com ondas estacionárias: • E(x,t)= E0sen(2 x/)sen(2 t) • onde  c/ • contando ondas no intervalo  e d: • N()d (8 a3/c3)2d (1) • De acordo com a lei de equipartição de energia, • por onda <Etotal>= kT (2) • onde k é a cte. de Boltzmann • Densidade de Energia • T()d= (<Etotal> N()d)/V • energia por unidade de volume, contida em uma cavidade, no intervalo  e d. • Ou em termos da radiânciaRT(): • Resultado que ficou conhecido como a Catástrofe do ultravioleta!

3. Teoria Clássica para a Radiação de CavidadeResultado Clássico X Experiência • Espectro em frequências • Espectro em comp. onda

4. Teoria de Planck para a Radiação de CavidadeOrigem da Lei de Equipartição de Energia • Distribuição de Boltzmann • tal que P(E)dE seja probabilidade de se encontrar um elemento do sistema, em equilíbrio à temperatura T, com energia entre EeEdE • Calculando a Energia média:

5. Teoria de Planck para Radiação de CavidadeA proposta de Planck • Para baixas frequências • A teoria clássica prevê resultados coerentes, e podemos esperar que: • <E>  kT ( 0) • Para altas frequências • A discrepância poderia ser removida se, por hipótese: • <E>  0 ( ) Planck imaginou que, para as circunstâncias que prevalecem no caso da radiação de corpo negro, a energia média das ondas estacionárias fosse função da frequência:<E>= f () . Isto viola a lei de equipartição de energia?

6. Teoria de Planck para Radiação de CavidadeEnergia: variável contínua X discreta • Sendo E uma variável discreta • Assume apenas valores discretos igualmente distribuídos, ou seja: • E= 0, E, 2E, 3E, 4E ... Como consequência, o cálculo da energia média passa ser feito por somas ao contrário de integrais, como apresentado anteriormente! • Comparação qualitativa • com E << kT E  kT • com E  kT E < kT • com E >> kTE << kT Observa-se que o resultado satisfaz as condições esperadas para os mesmos limites de frequência!E a Lei não é violada.

7. Teoria de Planck para a Radiação de CavidadeHipótese e resultados • Definindo a relação entre E e  • Função proporcionalidade simples: • E  h. (sendo h uma cte.) Satisfaz as exigências da proposta nos limites: (0) E 0 E kT (clássico) () E  E 0 • Recalculando a energia média: • para E n h. (n= 0, 1, 2, 3 ...) Ver a dedução completa no exemplo 1.4 • Resultado de Planck para <E> • E tomando o resultado já conhecido para a contagem N()d , temos: • Resultado de Planck para a radiação do corpo negro, em função das frequências. • Ou, para: RT(ν)dν = (c/4).ρT(ν)dν

8. Teoria de Planck para a Radiação de CavidadeO resultado da teoria comparado à experiência • Calculando em função de : • T() é definida de forma que: • T()d = - T() d Ver demonstração no exemplo 1.5. Resultados experimentais em completa concordância com a previsão da teoria para o espectro de corpo negro em qualquer T. Planck não alterou a distribuição de Boltzmann. Apenas tratou a energia das ondas eletromagnéticas estacionárias na cavidade radiante como uma variável discreta.

9. Teoria de Planck para Radiação de CavidadeCálculo da constante de Planck • Demonstração das leis empíricas • Lei de Stefan-Boltzman • RT= T4, = 5,6710-8 W/m2.K4 • Lei de Wien • maxT= CW , CW= 2,89810-3 m.K • Resultados de Planck (1901)1 • h= 6,5510-27 erg.s • k= 1,34610-16 erg/grau • Valores atualmente aceitos: • h= 6,62610-34 J.s • k= 1,38110-23 J/K • 1M. Planck, Ann. d. Phys. 4 (1901), p. 553

10. Teoria de Planck para Radiação de CavidadeO Postulado de Planck • Toda entidade física com apenas um grau de liberdade, cuja “coordenada” seja uma função senoidal do tempo (tipo OHS), tem a energia total quantizada. • Ou seja, a energia total (E) deve satisfazer a relação: • E= n.h n= 0, 1, 2, 3 ... • sendo  a frequência de oscilação, • e h a constante de Planck.