3. กฏของเกาส์

1. 3. กฏของเกาส์ กฎของคูลอมบ์สามารถคำนวณหาสนามไฟฟ้าที่เกิดจากการกำหนดการกระจายของประจุ ในหัวข้อนี้เราจะอธิบายกฎของเกาส์และกระบวนการอื่น ที่ใช้ในการคำนวณหาสนามไฟฟ้า กฎของเกาส์ (Gauss’s law) จะสะดวกสำหรับใช้คำนวณหาสนามไฟฟ้าเนื่องมาจากการกระจายประจุอย่างมีสม่ำเสมอ กฏของเกาส์มีพื้นฐานอยู่บนความจริงที่ว่าแรงไฟฟ้าสถิตระหว่างประจุเป็นสัดส่วนกับระยะทางกำลังสอง

2. Area = A E ฟลักซ์ไฟฟ้า (Electric flux) ฟลักซ์ไฟฟ้า คือ จำนวนเส้นสนามไฟฟ้าที่พุ่งผ่านพื้นผิวที่ตั้งฉากผืนหนึ่ง พิจารณาสนามไฟฟ้าซึ่งมีความสมมาตรทั้งขนาดและทิศทางดังรูป เส้นสนามทะลุผ่านพื้นผิวสี่เหลี่ยมผืนผ้าพื้นที่ A ซึ่งตั้งฉากกับสนาม จำนวนของเส้นสนามต่อหนึ่งหน่วยพื้นที่ หรือเรียกว่า ความหนาแน่นเส้น (the line density) เป็นสัดส่วนโดยตรงกับสนามไฟฟ้า ดังนั้น จำนวนเส้นสนามทั้งหมดที่ทะลุผ่านพื้นผิวเป็นสัดส่วนโดยตรงกับผลคูณ EA ผลคูณของขนาดของสนามไฟฟ้า E และพื้นผิว A ซึ่งตั้งฉากกับสนามเรียกอีกอย่างว่าฟลักซ์ไฟฟ้า (the electric flux) รูป เส้นสนามแสดงสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอทะลุผ่านระนาบที่มีพื้นที่ A ฟลักซ์ไฟฟ้า ที่พุ่งผ่านมีค่าเท่ากับ EA โดย ฟลักซ์ไฟฟ้า มีหน่วย N.m2 /C

3. ตัวอย่าง Flux through a sphere ฟลักซ์ไฟฟ้าที่พุ่งผ่านทรงกลมรัศมี 1 เมตรซึ่งมีประจุ +1 C ที่ศูนย์กลางทรงกลมมีค่าเท่าไร วิธีทำ ขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ห่างจากประจุเป็นระยะ 1 เมตร มีขนาดเท่ากับ สนามจะมีทิศชี้ออกในแนวรัศมีและจะตั้งฉากกับพื้นผิวทรงกลมในทุกจุดโดยฟลักซ์ที่ผ่านทรงกลมคือ แบบฝึกหัด (ก) สนามไฟฟ้ามีค่าเท่าไร (ข) ฟลักซ์ที่พุ่งผ่านทรงกลมรัศมี 0.5 m มีค่าเท่าไร ตอบ (ก)3.6x104 N/C (ข) 1.13x105 N.m2/C

4. Normal A θ E ถ้าพื้นผิวที่พิจารณาไม่ตั้งฉากกับสนามไฟฟ้า ฟลักซ์ไฟฟ้าที่ทะลุผ่านจะมีค่าน้อยลง จากรูปสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ E ทำมุม กับพื้นที่ Aและตั้งฉากกับพื้นที่ A/โดยที่ A/= A cos  ดังนั้นสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอพุ่งผ่านพื้นที่ A จะมีค่าเท่ากับกับฟลักซ์ไฟฟ้าที่พุ่งผ่านพื้นที่ A/ ซึ่งจะมีค่าเท่ากับ จากสมการนี้จะเห็นว่า Eจะมีค่ามากที่สุดเท่ากับ EA เมื่อ  = 0o คือเส้นปกติขนานกับ Eและ Eจะมีค่าน้อยที่สุดเท่ากับ 0เมื่อ  = 90o คือเส้นปกติตั้งฉากกับ E

5. θ Ei รูป ส่วนเล็กๆ มีพื้นที่ผิว สนามไฟฟ้า Eiทำมุม θกับเวกเตอร์ โดยมีฟลักซ์พุ่งผ่านพื้นผิวเท่ากับ สมมติให้สนามไฟฟ้ามีค่าเปลี่ยนไปตามตำแหน่งต่างๆ ดังนั้นเราสามารถใช้สมการกับพื้นที่เล็กๆ พิจารณาในกรณีที่พื้นผิวถูกแบ่งเป็นชิ้นเล็กๆ จะถือว่าไม่มีการเปลี่ยนแปลงสนามไฟฟ้าในแต่ละพื้นที่ที่มีขนาดเล็กเพียงพอ เพื่อความสะดวกจะนิยามเวกเตอร์ ซึ่งขนาดของมันแสดงถึงพื้นที่ที่ i ของพื้นผิวแต่ละพื้นผิวและทิศของเวกเตอร์มีทิศตั้งฉากกับแต่ละพื้นผิวเล็กๆ นั้น ดังรูป ฟลักซ์ไฟฟ้า ที่ผ่านแต่ละพื้นที่เล็ก ๆ คือ

6. ถ้าเราใช้นิยามการคูณเวกเตอร์แบบสเกลาร์ (scalar product) • โดยการรวมองค์ประกอบของทุกๆ พื้นผิวจะได้ฟลักซ์รวมที่ผ่านพื้นผิว • ถ้าให้พื้นที่เล็กๆ แต่ละชิ้นมีค่าน้อยมากจนเข้าใกล้ศูนย์ พบว่าจำนวนพื้นที่เล็กๆ มีค่าเป็นอนันต์ และสามารถแทนผลรวมได้ด้วยการ อินทิเกรท ดังนั้น นิยามของฟลักซ์ไฟฟ้า คือ สมการนี้เป็นการอินทีเกรทเชิงพื้นผิว (surface integral) โดยทั่วไป ขึ้นอยู่กับรูปแบบของสนามและพื้นผิว

7. โดยทั่วไปจะสนใจการกระจายฟลักซ์บนพื้นผิวปิด (the closed surface) ซึ่งเป็นพื้นผิวที่แบ่ง space เป็นบริเวณด้านในและด้านนอก พิจารณาพื้นผิวปิดดังรูป เวกเตอร์ ของแต่ละพื้นผิวชี้ในทิศทางที่ต่าง ๆ กัน ในแต่ละจุดมันจะตั้งฉากกับพื้นผิวโดยมีทิศพุ่งออกเสมอ ที่จุด 1 เส้นสนามจะข้ามผ่านพื้นผิวโดยมีทิศจากด้านในมาด้านนอก ดังนั้น ฟลักซ์ที่ผ่านจุดนี้เป็นบวก ที่จุด 2 เส้นสนามพุ่งผ่านพื้นผิว (ตั้งฉากกับเวกเตอร์ ) ดังนั้น θ = 90oและฟลักซ์มีค่าเป็นศูนย์ ที่จุด 3 ที่เส้นสนามพุ่งผ่านจากด้านนอกเข้าด้านใน 180o> θ> 90oมีค่าเป็นลบเพราะว่า cosθ มีค่าเป็นลบ ฟลักซ์สุทธิที่พุ่งผ่านพื้นผิวทั้งหมดเป็นสัดส่วนตรงกับจำนวนเส้นสนามที่พุ่งอออกจากผิว (จำนวนสุทธิหมายถึงจำนวนเส้นสนามที่พุ่งออกลบด้วยจำนวนเส้นสนามที่พุ่งเข้าพื้นผิว) ถ้ามีเส้นสนามพุ่งออกมากกว่าพุ่งเข้าฟลักซ์สุทธิ์เป็นบวกแต่ถ้าเส้นสนามพุ่งเข้ามากกว่าพุ่งออกฟลักซ์เป็นลบ ดังนั้นจะได้ว่า รูปพื้นผิวปิดในสนามแม่เหล็กเวกเตอร์พื้นผิว ตั้งฉากกับพื้นผิวและมีทิศพุ่งออก ฟลักซ์ที่พุ่งผ่านผิวเล็กๆ อาจเป็น (1) บวก (2) เป็นศูนย์ หรือ (3) เป็นลบ เมื่อ En คือองค์ประกอบของสนามไฟฟ้าที่ตั้งฉากกับพื้นผิว

8. ตัวอย่าง Flux through a cube พิจารณาสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ E ที่พุ่งออกมาตามแนวแกน x ดังรูป จงหาฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิที่พุ่งผ่านลูกบาศก์ที่มีด้านยาว L ฟลักซ์สุทธิคือผลรวมของฟลักซ์ที่พุ่งออกมาจากทุกๆ ด้านของลูกบาศก์ โดยฟลักซ์ที่พุ่งผ่านผิวที่ 3 ,4 และผิวที่ไม่มีหมายเลขกำกับ (ด้านข้าง) มีค่าเป็นศูนย์ เพราะว่า E ตั้งฉากกับ dA บนพื้นผิวเหล่านี้ วิธีทำ L พื้นผิวแต่ละหน้าคือ A = L2 ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิที่พุ่งผ่านผิวที่ 1 คือ L L รูป พื้นผิวปิดรูปลูกบาศก์ในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอที่ขนานกับแกน x ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิที่ผ่านผิวปิดมีค่าเป็นศูนย์ ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิที่พุ่งผ่านผิวที่ 2 คือ ดังนั้น ฟลักซ์สุทธิที่พุ่งผ่านผิวทั้งหกด้านคือ

9. กฏของเกาส์ (Gauss’s law) ความสัมพันธ์โดยทั่วไประหว่างฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิที่พุ่งผ่านผิวปิด (ซึ่งมักเรียกว่า ผิวเกาส์เซียน) และประจุถูกปิดล้อมด้วยพื้นผิว ความสัมพันธ์นี้รู้จักในนามกฎของเกาส์ซึ่งมีความสำคัญสำหรับใช้หาสนามไฟฟ้า กฎของเกาส์กล่าวว่าฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิ ที่ผ่านผิวปิดของเกาส์จะเท่ากับประจุไฟฟ้าสุทธิภายในหารด้วย

10. พิจารณาจุดประจุบวก q อยู่ที่จุดศูนย์กลางของทรงกลมรัศมี Rดังรูป ขนาดของสนามไฟฟ้าทุกจุดบนผิวของทรงกลมคือ E = kq/r2 เส้นสนามจะชี้ออกตามแนวรัศมีทุกจุดบนพื้นผิว นั่นคือแต่ละจุดบนพื้นผิว E จะขนานไปกับเวกเตอร์ดังนั้น เราพบว่าฟลักซ์สุทธิที่ผ่านผิวเกาส์เซียนเมื่อ E มีความสม่ำเสมอและมีค่าคงที่ คือ …เรียกว่า กฏของเกาส์ รูป พื้นผิวเกาส์เซียนทรงกลมรัศมี r ล้อมรอบจุดประจุ q ที่อยู่ที่ศูนย์กลางของทรงกลมสนามไฟฟ้าตั้งฉากกับพื้นผิวในทุกๆ จุดและมีขนาดคงที่ เราพบว่าสูตรนี้ให้ฟลักซ์สุทธิเท่ากับผลที่ได้จากตัวอย่างที่แล้วคือ จากสมการนี้พบว่าประจุสุทธิที่ผ่านผิวทรงกลมเป็นสัดส่วนโดยตรงกับประจุภายในและฟลักซ์ไม่ขึ้นอยู่กับรัศมี r เพราะว่าพื้นที่ของทรงกลมเป็นสัดส่วนตรงกับ r2 ในขณะที่สนามไฟฟ้าเป็นสัดส่วนตรงกับ 1/r2 ผลคูณที่ได้ทำให้ r2 หายไป

11. พิจารณาพื้นผิวปิดใดๆที่ปิดล้อมประจุ q ดังรูปพื้นผิว S1เป็นทรงกลมพื้นผิว S2และ S3ไม่เป็นทรงกลม จากกฏของเกาส์ฟลักซ์ไฟฟ้าซึ่งผ่านผิว S1มีค่าเท่ากับ โดยฟลักซ์เป็นสัดส่วนตรงกับเส้นสนามไฟฟ้าที่พุ่งผ่านพื้นผิวแสดงโครงสร้างดังรูปซึ่งแสดงว่าจำนวนเส้นที่ผ่าน S1เท่ากับจำนวนของเส้นซึ่งผ่านพื้นผิวที่ไม่ใช่ทรงกลม S2 , S3 ดังนั้นสรุปได้ว่าฟลักซ์สุทธิที่ผ่านผิวปิดใดๆไม่ขึ้นอยู่กับรูปทรงของพื้นผิวฟลักซ์สุทธิที่ผ่านผิวปิดใดๆที่ล้อมรอบประจุ q มีค่าเท่ากับ รูป พื้นผิวปิดหลายรูปทรงปิดล้อมประจุ q ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิมีค่าเท่ากันทุกพื้นผิว

12. พิจารณาจุดประจุซึ่งอยู่ภายนอกพื้นผิวปิดรูปทรงใดๆพิจารณาจุดประจุซึ่งอยู่ภายนอกพื้นผิวปิดรูปทรงใดๆ ดังรูปจากโครงสร้างนี้พบว่าเส้นสนามไฟฟ้าจะพุ่งเข้าไปในพื้นผิวและพุ่งออกจากพื้นผิวที่จุดต่างๆโดยจำนวนเส้นสนามไฟฟ้าที่พุ่งเข้าจะเท่ากับที่พุ่งออก สรุปได้ว่า ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิที่พุ่งผ่านพื้นผิวปิดที่ไม่ได้ปิดล้อมประจุจะมีค่าเป็นศูนย์ รูปจุดประจุอยู่ภายนอกพื้นผิวปิด จำนวนเส้นสนามไฟฟ้าที่พุ่งเข้าพื้นผิวเท่ากับจำนวนเส้นสนามไฟฟ้าที่พุ่งออกพื้นผิว ถ้าเราประยุกต์ใช้ผลที่ได้กับตัวอย่างที่ผ่านมา เราจะพบว่าฟลักซ์สุทธิที่พุ่งผ่านรูปทรงลูกบาศก์มีค่าเป็นศูนย์เพราะว่าไม่มีประจุอยู่ในลูกบาศก์นั้น

13. ถ้ามีจุดประจุหลายจุดประจุและมีการกระจายของประจุอย่างต่อเนื่องถ้ามีจุดประจุหลายจุดประจุและมีการกระจายของประจุอย่างต่อเนื่อง สามารถใช้superposition principle ซึ่งแสดงสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุเหล่านั้นด้วยผลรวมแบบเวกเตอร์ของสนามไฟฟ้าเนื่องจากแต่ละจุดประจุ เมื่อ Eคือสนามไฟฟ้ารวมที่จุดใดๆบนพื้นผิวเนื่องจากการรวมเวกเตอร์ของสนามไฟฟ้าของประจุแต่ละตัว พิจารณาระบบดังรูป พื้นผิว S รอบประจุ q1ประจุสุทธิที่ผ่านผิวปิด S คือ ฟลักซ์เนื่องจากประจุ q2และ q3ที่อยู่ภายนอกผิวปิดมีค่าเป็นศูนย์เพราะว่าเส้นสนามไฟฟ้าที่พุ่งเข้าเท่ากับที่พุ่งออกจากพื้นผิว พื้นผิว S/ที่ล้อมรอบประจุ q2และ q3มีประจุสุทธิ ฟลักซ์ที่พุ่งผ่านพื้นผิว S//มีค่าเท่ากับศูนย์เนื่องจากฟลักซ์ที่พุ่งเข้าเท่ากับฟลักซ์ที่พุ่งออก รูปฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิที่ผ่านผิวปิดขึ้นอยู่กับประจุภายในพื้นผิว กฎของเกาส์โดยทั่วไปแสดงให้เห็นว่าฟลักซ์สุทธิที่พุ่งผ่านผิวปิดใดๆคือ เมื่อ qin คือประจุสุทธิภายในพื้นผิว และ E แสดงสนามไฟฟ้าที่จุดใดๆบนพื้นผิว

14. การประยุกต์ใช้กฎของเกาส์กับประจุในฉนวนการประยุกต์ใช้กฎของเกาส์กับประจุในฉนวน กฎของเกาส์ใช้ในการหาสนามไฟฟ้าเมื่อประจุมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ ตัวอย่างต่อไปจะแสดงการเลือกพื้นผิวเกาส์เซียนสำหรับการหาสนามไฟฟ้าโดยการอินทิเกรท ในการเลือกพื้นผิวเราจะใช้หลักการสมมาตร เพื่อที่จะให้ E มีค่าคงที่และนำออกจากเครื่องหมายอินทิเกรทได้จุดประสงค์สำหรับการคำนวณแบบนี้เพื่อหาพื้นผิวที่สอดคล้องกับสภาวะเหล่านี้ 1. สนามไฟฟ้ามีค่าคงที่ตลอดพื้นผิว 2. เมื่อEขนานกับ dA 3. เมื่อEตั้งฉากกับ dA 4. ฟลักซ์สามารถรวมกันเป็นศูนย์ได้ตลอดพื้นผิว

15. ตัวอย่าง สนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ จากกฎของเกาส์จงคำนวณหาสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุเดี่ยว q วิธีทำ เราเลือกผิวเกาส์เซียนแบบทรงกลมรัศมี r มีศูนย์กลางที่จุดประจุดังรูปสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุบวกมีทิศพุ่งออกตามแนวรัศมีและตั้งฉากกับพื้นผิวในทุกจุดจากสภาวะที่(2) Eขนานกับ dAดังนั้น กฎของเกาส์จะได้ว่า จากความสมมาตร E มีค่าคงที่ทุกๆจุดบนพื้นผิวและสอดคล้องกับสภาวะที่ (1) ดังนั้นสามารถดึง E ออกมานอกเครื่องหมายอินทิเกรทได้ รูปจุดประจุ q ที่ศูนย์กลางของพื้นผิวเกาส์เซียนแบบทรงกลมโดยEขนานกับ dA เนื่องจากพื้นผิวทรงกลมคือ 4r2ดังนั้น สนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุคือ

16. ตัวอย่าง การกระจายประจุสม่ำเสมอแบบทรงกลม ทรงกลมตันซึ่งเป็นฉนวนมีความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตรสม่ำเสมอเป็นประจุบวก Q (a) จงคำนวณหาขนาดของสนามไฟฟ้าที่จุดภายนอกทรงกลม (b) จงคำนวณหาขนาดของสนามไฟฟ้าที่จุดภายในทรงกลม วิธีทำ (a) เนื่องจากการกระจายประจุเป็นสมมาตรทรงกลม เราจึงเลือกพื้นผิวเกาส์เซียนแบบทรงกลมซึ่งมีจุด ศูนย์กลางเดียวกันกับทรงกลมตันดังนั้น รูปทรงกลมฉนวนมีประจุกระจายสม่ำเสมอมีประจุสุทธิ Q (a)ขนาดของสนามไฟฟ้าภายนอกคือ E = kQ/r2 (b)ขนาดของสนามไฟฟ้าภายในคือ E = kQr/a3 ผลที่ได้เหมือนกับกรณีจุดประจุสรุปได้ว่าทรงกลมประจุสนามบริเวณภายนอกทรงกลมมีค่าเท่ากับสนามเนื่องจากจุดประจุที่อยู่ในพื้นผิวเกาส์เซียนแบบทรงกลม (b) ในกรณีนี้เลือกผิวเกาส์เซียนแบบทรงกลมรัศมี r < a มีศูนย์กลางร่วมกับทรงกลมตันดังรูป(b) กำหนดให้ปริมาตรของทรงกลมเล็กเป็น V/ใช้กฎของเกาส์กับกรณีนี้โดยพบว่ามีประจุ qinอยู่ในปริมาตร V/ซึ่งน้อยกว่า Q ทำการคำนวณ qin • รูปกราฟระหว่าง E และ r • เมื่อ r < a สนามไฟฟ้าจะแปรผันแบบเชิงเส้นกับ r • เมื่อ r > a สนามไฟฟ้าจะแปรผันกับ 1/r2

17. จากหลักความสมมาตรขนาดของสนามไฟฟ้ามีค่าคงที่ทุกจุดในทรงกลมเกาส์เซียนและตั้งฉากกับพื้นผิวในทุกๆจุดและเนื่องจากมีความสอดคล้องกับสภาวะ (1) (2) จากกฎของเกาส์ เมื่อ r < a ดังนั้น และจาก เนื่องจาก ดังนั้น (เมื่อ r < a) ผลที่ได้สำหรับค่า E แตกต่างจากข้อ (a) โดยมันแสดงว่า E 0เมื่อ r  0นั่นคือ จะไม่เกิดปัญหาที่ตำแหน่ง r = 0 ซึ่งถ้าหาก E แปลผันกับ 1/r2ภายในทรงกลมเหมือนกับกรณีภายนอกทรงกลมซึ่งถ้า E  1/r2เมื่อ r < a สนามไฟฟ้าจะมีค่าเป็นอนันต์ที่ r = 0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ในทางฟิสิกส์โดยสูตรที่ได้จาก (a) และ (b) มีค่าเท่ากันที่ r = a

18. ตัวอย่าง สนามไฟฟ้าเนื่องจากเปลือกทรงกลมบาง เปลือกทรงกลมบางรัศมี a มีประจุสุทธิ Q กระจายอย่างสม่ำเสมอบนพื้นผิวดังรูป (a) จงหาสนามไฟฟ้าที่จุด (a) ภายนอก (b) ภายใน วิธีทำ คำนวณสนามภายนอกเปลือกทรงกลมบางเหมือนกับกรณีทรงกลมตัน (a) ถ้าทำการกำหนดพื้นผิวเกาส์เซียนทรงกลมรัศมี r > a มีศูนย์กลางเดียวกับเปลือกทรงกลมบางดังรูป 24.13b ประจุภายในพื้นผิวคือ Q ดังนั้นสนามที่จุดภายนอกเปลือกทรงกลมจะเท่ากับมีประจุ Q ที่จุดศูนย์กลาง รูปสนามไฟฟ้า (a) ภายในเปลือกทรงกลมมีประจุมีค่าเป็นศูนย์ (b) พื้นผิวเกาส์เซียนเมื่อ r>a (c) พื้นผิวเกาส์เซียนเมื่อ r>a (r > a) (b) สนามไฟฟ้าภายในเปลือกทรงกลมมีค่าเป็นศูนย์เนื่องจากประยุกต์กฎของเกาส์เข้ากับผิวของทรงกลมรัศมี r < a ซึ่งมีจุดศูนย์กลางเดียวกับเปลือกทรงกลมดังรูปc เพราะว่าประจุมีการกระจายแบบทรงกลมสม่ำเสมอและเพราะว่าประจุสุทธิภายในพื้นผิวเป็นศูนย์สอดคล้องกับสภาวะที่ (1) (2) และจากกฎของเกาส์ทำให้สรุปได้ว่า E = 0 เมื่อ r < a

19. ตัวอย่างการกระจายประจุอย่างสม่ำเสมอแบบทรงกระบอกตัวอย่างการกระจายประจุอย่างสม่ำเสมอแบบทรงกระบอก จงหาสนามไฟฟ้าที่ระยะ r ห่างจากเส้นของประจุบวกที่มีความยาวอนันต์และประจุต่อหนึ่งหน่วยความยาวมีค่าคงที่ วิธีทำ จากความสมมาตรในการกระจายประจุต้องอยู่ในสภาวะที่ E ตั้งฉากกับเส้นประจุและมีทิศทางพุ่งออกดังรูป a และ b เพื่อแสดงให้เห็นว่าการกระจายประจุมีความสมมาตรเราเลือกผิวเกาส์เซียนแบบทรงกระบอกมีรัศมี r ความยาว l มีศูนย์กลางเดียวกับเส้นประจุและมีความสอดคล้องกับสภาวะที่ (1) (2) และฟลักซ์ที่ผ่านปลายทั้งสองของผิวเกาส์เซียนเป็นศูนย์เนื่องจากEขนานกับพื้นผิวทำการอินทีเกรทกฎของเกาส์ตลอดผิวเกาส์เซียนในส่วนที่เป็นผิวทรงกระบอก (ไม่รวมปลายทั้งสอง) ประจุสุทธิภายในผิวเกาส์เซียนคือดังนั้นจะได้ว่า โดยผิวของทรงกระบอกมีค่าเป็น รูป(a) เส้นประจุมีความยาวอนันต์ล้อมรอบด้วยผิวเกาส์เซียนทรงกระบอกมีศูนย์กลางเดียวกันกับเส้นประจุ (b) end view แสดงว่าสนามไฟฟ้าที่ผิวทรงกระบอกมีขนาดคงที่และตั้งฉากกับพื้นผิว พบว่าสนามไฟฟ้าบนทรงกะบอกที่มีประจุกระจายอย่างสมมาตรแปรผันกับ 1/rในขณะที่การกระจายประจุอย่างสม่ำเสมอแบบทรงกลมสนามไฟฟ้าแปรผันตรงกับ 1/r2

20. 3. กฏของเกาส์ สรุป - ฟลักซ์ไฟฟ้า คือ จำนวนเส้นสนามไฟฟ้าที่พุ่งผ่านพื้นผิวที่ตั้งฉากผืนหนึ่ง ดังนั้น ฟลักซ์ไฟฟ้าเป็นสัดส่วนตรงกับจำนวนของเส้นสนามไฟฟ้าที่ตั้งฉากกับพื้นผิว - ถ้าสนามไฟฟ้าเอกรูป ทิศของสนามไฟฟ้าที่ทำมุม กับเส้นปกติของพื้นที่ผิว A แล้วฟลักซ์ไฟฟ้ามีค่าเท่ากับ - โดยทั่วไป ฟลักซ์ไฟฟ้าที่ผ่านพื้นผิวอันหนึ่ง จะมีค่าเท่ากับ - กฎของเกาส์กล่าวว่าฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิ ที่ผ่านผิวปิดของเกาส์จะเท่ากับประจุไฟฟ้าสุทธิภายในหารด้วย

21. ตาราง สูตรคำนวณสนามไฟฟ้าโดยใช้สูตรของเกาส์ การกระจาย สนามไฟฟ้า ตำแหน่ง ทรงกลมฉนวนรัศมี R มีประจุไฟฟ้รวม Q kEQ/r2 r > R และมีความหนาแน่นเอกรูป kEQr/R3 r < R ทรงกลมกลวงเปลือกบางรัศมี RkEQ/r2 r > R และมีประจุรวม Q 0 r < R เส้นประจุบนฉนวนยาวอนันต์ ภายนอกเส้นฉนวน มีความหนาแน่นประจุไฟฟ้าเชิงเส้น แผ่นฉนวนแบบราบบาง ใหญ่อนันต์ ทุกที่ภายนอกแผ่นฉนวน และมีความหนาแน่นประจุไฟฟ้าเชิงพื้นผิว แผ่นตัวนำราบบาง ใหญ่อนันต์ ภายนอกแผ่นตัวนำ ที่มีความหนาแน่นประจุไฟฟ้าเชิงพื้นผิว 0 ภายในตัวนำ

22. แบบฝึกหัด http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asp http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm

23. http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htmhttp://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm • จากรูปจงหาฟลักซ์ไฟฟ้าของพื้นที่ผิวปิดถ้า  q1 =  q4  = +3.1 nC   • q2  =  q5  =  -5.9 nC  และ  q3  =  -3.1 nC วิธีทำ

24. http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htmhttp://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm 2. ภาพแผ่นประจุคู่ขนานภายในมีจุดประจุบวกจงเรียงจากตำแหน่งที่มีสนามไฟฟ้ามากไปหาตำแหน่งที่มีสนามไฟฟ้าน้อย ตอบ3,4,2,1

25. http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htmhttp://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm 3. เครื่องวัดที่เห็นดังรูปชื่อว่าไกเกอร์เคาเตอร์ใช้สำหรับวัดการแผ่รังสีซึ่งเกิดจากการอิออไนเซชั่นของอะตอมอุปกรณ์ทำจากเส้นลวดประจุบวกล้อมรอบด้วยทรงกระบอกประจุลบเมื่อมีรังสีมากระทบกับทรงกระบอกรังสีจะกระแทกให้อิเล็กตรอนหลุดออกจากทรงกระบอกกลายเป็นอิเล็กตรอนอิสระ (e)  เพราะมีสนามไฟฟ้าระหว่างทรงกระบอกกับเส้นประจุอิเล็กตรอนอิสระนี้จะถูกเร่งให้มีความเร็วเเพิ่มขึ้นชนเข้ากับอนุภาคอากาศที่อยู่ภายในทรงกระบอกทำให้อะตอมของอากาศเกิดการอิออไนเซชั่นมีอิเล็กตรอนอิสระเกิดมากขึ้นก่อนจะมาถึงเส้นประจุปรากฎการณ์นี้เรียกว่าการอะวาลานซ์หรือการทลายตัวของหิมะซึ่งเกิดจากการเคลื่อนตัวของหิมะเพียงเล็กน้อยในตอนเริ่มต้นจนเกิดการทลายตัวหรือการเคลื่อนตัวครั้งใหญ่ในครั้งต่อไปเส้นประจุจะดีเทคอิเล็กตรอนเกิดเป็นสัญญาณทางไฟฟ้าส่งไปที่เครื่องแปรสัญญาณสมมติว่ารัศมีของเส้นลวดคือ  25  ไมโครเมตรรัศมีของทรงกระบอกคือ 1.4 เซนติเมตรและความยาวของทรงกระบอกเท่ากับ 16 เซนติเมตรถ้าสนามไฟฟ้าภายในทรงกระบอกคือ  2.9 x 104 N/C จงคำนวณหาประจุบวกทั้งหมดบนเส้นลวดประจุ ตอบ3.6  นาโนคูลอมบ์

26. เอกสารประกอบการค้นคว้าเอกสารประกอบการค้นคว้า ภาควิชาฟิสิกส์. เอกสารประกอบการสอนฟิสิกส์เบื้องต้น, คณะวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยนเรศวร ภาควิชาฟิสิกส์. ฟิสิกส์2, คณะวิทยาศาสตร์จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย D.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall, ISBN: 0-13-666769-4, 1991. D. Halliday, R.Resnick and K.S. Krane. Volume Two extended Version Physics, 4th ed., John Wiley & Sons, 1992. R.A.Serway, Physics for Scientists & Engineers with Modern Physics, 4th ed., 1996. http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/howstuffwork/electro-mag/electro-magthai1.htm http://www.skn.ac.th/skl/skn422/file/field.htm http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/tutorials.html http://www.thinkquest.org/library/site_sum.html?tname=10796&url=10796/index.html http://www.launc.tased.edu.au/online/sciences/physics/tutes1.html http://www.colorado.edu/physics/2000/index.pl http://www.dctech.com/physics/tutorials.php http://www.physics.sci.rit.ac.th http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm