ruang vektor berdimensi n l.
Download
Skip this Video
Download Presentation
Ruang Vektor berdimensi - n

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 54

Ruang Vektor berdimensi - n - PowerPoint PPT Presentation


  • 393 Views
  • Uploaded on

Ruang Vektor berdimensi - n. Untuk n = 1, 2 atau 3 : suatu vektor dapat digambarkan, namun vektor tidak mungkin dapat digambarkan bila berada di ruang- n > 3 karena keterbatasan dari ruang.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Ruang Vektor berdimensi - n' - cliff


Download Now An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
ruang vektor berdimensi n
Ruang Vektor berdimensi - n
  • Untuk n= 1, 2 atau 3 : suatu vektor dapat digambarkan, namun vektor tidak mungkin dapat digambarkan bila berada di ruang-n > 3 karena keterbatasan dari ruang.
  • Dengan adanya definisi vektor yang diperluas, maka suatu matrik dan fungsi dapat diklasifikasikan sebagai vektor
ruang vektor riel
Ruang Vektor riel
  • SuatuobjekdidalamruangvektorVdisebut : vektor
  • Vdikatakansebagairuangvektorbilamemenuhi 10 aksiomaberikut :
  • JikaudanvdidalamV,makau + vjugaharusdidalamV
  • u + v = v + u
  • u + (v + w) = (u + v) + w
  • Di dalamruangvektorVadaobjek 0, yang disebutsebagaivektor 0 sedemikiansehingga 0 + u = u + 0 = u, untuksemuaudidalamvektorV
  • UntuksetiapudidalamV, adaobjek yang disebutsebagai –udidalamV, yang disebutsebagainegatipu, sehinggau + (-u) = (-u) + u = 0
slide3

Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah objek di dalam ruang vektor V, maka ku juga ada di dalam ruang vektor V

  • k(u+v) = ku + kv
  • (k + m)u = ku + mu
  • k(mu) = (km)u
  • 1.u = u
slide5

Contohsoal :

1. Tunjukkanbahwakumpulanmatrik 2 x 2 dengankomponen riel adalahsebuahruangvektorjikaberlakupenjumlahandanperkalianskalar.

Jawab :

Dalamkasusinimungkinakanlebihmudahbiladibuktikandenganaksioma yang urutannyasebagaiberikut : 1, 6, 2, 3, 7, 8, 9, 4, 5 dan 10

Misalkan :

dan

slide6

Untuk membuktikan bahwa matrik memenuhi aksioma 1, maka u + v di dalam ruang V atau merupakan matrik 2 x 2

  • Demikian juga dengan aksioma 6, untuk semua bilangan riel k :

ku juga merupakan matrik 2 x 2, maka ku di dalam V

slide7

Aksioma 2, 3 merupakan konsekuesi dari aksioma 1, sedangkan aksioma 7, 8 dan 9 terpenuhi karena aksioma 6.

  • Untuk membuktikan aksioma 4, harus dapat ditemukan objek 0 di dalam ruang V, yakni :

sehingga : u+0=0+u =

  • Sedangkan untuk aksioma 5, harus dapat ditemukan

–u untuk setiap u yang ada di dalam ruang vektor V sehingga –u + u = 0

slide8

2. MisalV = R2danoperasipenjumlahansertaperkaliandariu = (u1,u2) danv = (v1,v2) adalahsebagaiberikut:

u + v = (u1+v1, u2+v2) danbilakadalahelemenbilangan riel, makaku =(ku1,0)

TentukanapakahV adalahruangvektor ?

Jawab :

  • Operasipenjumlahandalamruanginiadalahstandarpenjumlahansehinggapastimemenuhiaksioma yang mengandungpenjumlahanyaituaksioma 1 s/d 5.
  • Sedangkanuntukperkalian, operasiinitidakstandarsehinggatidakmemenuhiaksioma yang mengandungperkalianterutamaaksioma 10 : 1.u= 1.(u1,u2) = (u1,0)≠u
  • Jikaadasatusajadari 10 aksiomaada yang tidakdipenuhi, makaVadalahbukanruangvektor
slide9

Sub-Ruangvektor

  • Sub ruangvektoradalahsebenarnyaruangvekctorjuga, namundengansyarat-syaratkhusus
  • JikaWadalahsekumpulandarisatuvektorataulebihdariruangvektorV, makaW disebutsebagai sub ruangV, jikadanhanyajikakeduakondisidibawahiniberlaku :
  • JikaudanvadalahvektordiWmakau+vjugaadadiW
  • JikakadalahsembarangskalardanuadalahsembarangvektordiW, makakujugaadadiW
slide11

Contohsoal:

TentukanapakahW yang merupakankumpulantitiktitik (x,y) diruangR2denganx ≥ 0 dany ≥ 0 adalah sub ruangvektorR2

Jawab :

  • Kondisi 1 memangterpenuhi
  • Namunkondisi 2 terpenuhiterpenuhi

Jikau=(1,2) beradadidalamruangvektorVdan

k = -1, makaku=(-1,-2) tidakberadadidalamruangvektorV

  • OlehsebabituWbukanmerupakan sub ruangdariV
slide12

Contoh sub ruangdari R2adalah :

1 {0}

2. Garis yang melaluititik (0,0)

3. R2itusendiri

  • Contoh sub ruangdari R3adalah :

1 {0}

2. Garis yang melaluititik (0,0,0)

3. Bidang yang melaluititik (0,0,0)

4. R3itusendiri

kombinasi linier dan span
Kombinasi Linier dan Span
  • Sebuahvektorwdikatakanmerupakansuatukombinasi linier darivektor-vektorv1, v2 ……vnjikavektor w dapatdituliskansebagai :

w = a1v1 + a2v2 + ……..+ anvn

dengana1, a2 ……anadalahsembarangskalar yang memenuhipersamaan.

  • Jikadalamsistempersamaan linier homogen (Ax=0) denganppersamaandannvariabel, makakumpulandarisolusinyaadalah sub ruangvektorRn
slide15

Contohsoal:

Jikaterdapatsistempersamaan linier berikut :

Tunjukkanbahwasolusidari system persamaanadalah sub ruangvektor R3

Jawab :

Dapatdibuktikanbahwasolusidaripersamaanadalah : x-2y+3z =0. Hasilinimenunjukkansuatubidang yang melaluititik (0,0,0) yang merupakan sub ruang R3

slide16

Jikaterdapatvektoru=(-1,1,2) danv=(2,-3,0) diruangR3, tentukanapakahvektor-vektorberikutiniadalahkombinasi linier dariudanv : a) (-4,5,4) dan (1,-2,0)

Jawab :

Untukmengetahuisuatuvektoradalahkombinasi linier darivektor yang lainnya, dibuatpenulisanpersamaanvektorsebagaiberikut : w = a1u + a2v

-4 = -a1 + 2a2; 5 = a1- 3a2; 4 = 2a1

Jadi : a1 = 2 dan a2= -1

slide17

JikaS={v1,v2,……,vr) adalahhimpunanvektordidalamruangvektorV, maka sub ruangWdariV yang memuatsemuakombinasi linier darivektor-vektor yang adadiSdisebutsebagaispaced spanneddariv1,v2,……,vrdandapatdikatakanbahwav1,v2,……,vradalahspan W. Biasanyadiatulisdengannotasi : W=span (S) atauW = span { v1,v2,……,vr}

Contohsoal :

Tentukanapakahv1=(-2,1,2), v2=(0,1,3), v3=(-1,0,1) spandariruangvektorR3

slide18

Jawab :

UntukmenentukanspandiruangvektorR3, makadicarikemungkinansetiapvektordiruangR3adalahkombina-si linier dariv1, v2danv3. Misalkanvektora=(a1,a2,a3) diruangvektorR3, makaadapatditulissebagaikombinasi linier dariv1,v2,dan v3

Agar supayaadanilaik1,k2dank3, makamatrik 3 x 3 tersebutharusmempunyaiinversataudeterminantidakbolehsamadengan nol. Karenadeterminanmatriktersebutadalah -3, makak1,k2dank3didapatkan. Jadidisimpulkanbahwav1,v2danv3merupakanspandariruangvektorR3

bebas linier dan bergantung linier
Bebas linier dan bergantung linier
  • Jika terdapat sekumpulan vektor H={v1, v2, ….. vn}, maka persamaan linier homogen yang mengandung vektor-vektor tersebut yakni a1v1+a2v2+ …..+anvn=0 mempunyai jawaban minimal satu yaitu ketika setiap koefisiennya (a1,a2,….. an)sama dengan nol (0) sehingga H disebut sebagai kumpulan bebas linier (linearly independent).
  • Jika ditemukan jawaban yang lain, maka H disebut sebagai kumpulan bergantung linier (linearly dependent).
slide21

Contohsoal:

1. Apakahvektor-vektorberikutv1=(1,0,1), v2=(2,-1,3) danv3=(-3,1,-4) salingbebasataubergantung linier?

Jawab :

Untukmengecekkebergantungan linier, langkah yang dilakukanadalahdenganmenuliskanpersamaanhomogen yang mengandungvektor-vektortersebutyakni : a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0

a1(1,0,1) + a2(2,-1,3) +a3(-3,1,-4) = 0

Diperolehpersamaan : a1+ 2a2 – 3a3=0; -a2 + a3 = 0 dana1+ 3 a2 – 4 a3 = 0, didapatkan : a1= a2 = a3= 1

Jadivektorv1, v2danv3adalahbergantung linier.

slide22

2. Apakahpolinomial-polinomialberikutinibebas linier ?

p1 = 1 – 2x + 3 x2

p2 = 5 + 6x – x2

p3 = 3 + 2x + x2

Jawab :

Untukmenguji polynomial bebasataubergantung linier, langkah yang dilakukanadalahdenganmenuliskanpersamaanhomogensebagaiberikut :

a1p1 + a2p2 + a3p3 = 0

slide23

Agar supayaa1, a2dana3memilikinilai, makadeterminandarimatrik 3 x 3 harusnol (0).

Hasilperhitungandeterminanmatrik 3 x 3 adalah 0, jadinilaia1, a2dana3ada.

Dengandemikianpolinomial-polinomialtersebutadalahbergantung linier.

slide24

Beberapacatatan :

  • Sebuahkumpulanvektor yang adadidalamS, maka
  • Salingbergantung linier jikadanhanyajika paling sedikitada 1 vektordidalamS yang dapatdinyatakansebagaikombinasi linier darivektor yang lain yang jugadidalamS
  • Salingbebas linier jikadanhanyajikatidakadavektordidalamS yang dapatdinyatakansebagaikombinasi linier darivektorlainnyadidalamS.
  • Sekumpulanvektorberjumlahberhingga yang memuatvektornol (0) adalahsalingbergantung linier.
  • JikaS ={v1, v2, v3, …. vn} adalahsekumpulanvektordiruangRm. Apabila n>m, makahimpunanSadalahsalingbergantung linier.
basis dan dimensi
Basis dan dimensi
  • Basis : suatuukurantertentu yang menyatakankomponendarisebuah vector.
  • Dimensibiasanyadihubungkandenganruang, misalnyagarisadalahruangdengandimensi 1, bidangadalahuangdengandimensi 2 danseterusnya.
  • Definisi basis secaraumumadalahsebagaiberikut :

JikaV adalahruangvektordanS = {v1, v2, v3, ….., vn} adalahkumpulanvektordidalamV, makaSdisebutsebagaibasisdariruangvektorVjika 2 syaratberikutinidipenuhi : 1. Ssalingbebas linier

  • SspandariV
slide27

Perludiingat: representasi basis ituunik.

Jikamempunyaivektor basis v1, v2, v3, ….., vn, makasembarangvektor yang memiliki basis tersebut :

V = a1v1 + a2v2 + ……+ anvn , mempunyainilaia1, a2, a3, ….., an yang unik (hanyamemilikisatukemungkinan)

slide28

Contoh :

VektorV(3,4) didalamkoordinatkartesianditulissebagaiV = 3 i + 4 j, tidakmungkinVdipresentasikansebagai yang lainnya.

Kesimpulan :standar basis dalamruang 2 dan 3 adalahsebagaiberikut :

  • Ruang 2 : i(1,0) j(0,1)
  • Ruang 3 : i(1,0,0) j(0,1,0) k(0,0,1)
slide29

Contohsoal:

1. JikaV1=(1,2,1), V2=(2,9,0) danV3=(3,3,,4).

ApakahS={V1, V2, V3} adalah basis diR3?

Jawab :

  • Syaratsebagai basis adalahspandanbebas linier, makalangkah yang harusdilakukanadalahmengujikeduasyarattersebut.
  • Jika span, makaharusadavektor lain yang merupakankombinasi linier V1, V2dan V3

Supayaadasolusi, makamatrik 3 x 3 memilikiinvers.

slide30

Dari hasil perhitung diperoleh nilai determinan = 1, yang menandakan bahwa matrik memiliki invers. Dengan demikian setiap nilai b1, b2 dan b3 akan menghasilkan nilai a1, a2 dan a3.

  • Dapat dikatakan bahwa S adalah span dari R3.
  • Jika nilai b1= b2 = b3 = 0, maka a1= a2 = a3= 0 sehingga ketiga vector saling bebas linier.
  • Kesimpulannya : S={V1, V2, V3} adalah himpunan dari vektor basis di R3
slide31

2. JikaterdapatvektorA=(5, -1, 9) ingindirepresentasikandalam basis S padasoal 1, bagaimanapenulisannya ?

Jawab :

Penulisandalam basis SadalahA = (a1, a2, a3)s yang mempunyaiarti :

Diperolehhasila1=1, a2 = -1 dana3 = 2

JadiAbiladitulisdalam basis Sadalah (A)s = (1, -1, 2)

slide32

Ruang vektor V yang bukan nol (0) disebut dimensi terbatas (finite dimensional), yaitu mengandung kumpulan vektor yang membentuk baris {v1, v2, v3, ……, vn}

  • Jika tidak ada kumpulan vektor yang membentuk basis, maka V disebut sebagai dimensi tak terbatas (infinite dimensional)
  • Catatan : ruang vektor nol disebut finite dimensional
  • Dimensi dari ruang vektor V yang berdimensi terbatas didefinisikan sebagai jumlah vektor yang membentuk basis di dalam ruang vektor V.
  • Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.
slide33

Contohsoal:

Tentukan basis dandimensisertasolusidari system persamaan linier homogenberikutini :

x1 + 2x2 + 2x3 – x4 + 3x5 = 0

x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 0

3x1 + 6x2 + 8x3 + x4 + 5x5 = 0

Jawab :

Harusdicarisolusi SPL denganmenggunakaneliminasi Gauss-Jordan :

slide34

x3 = –2x4 + 2x5

x1 = – 2x2 + 5x4 – 7x5

x3 + 2x4 – 2x5 = 0

x1 + 2x2 – 5x4 + 7x5 = 0

Solusinya :

Maka yang menjadi basisnya adalah :

Sedangkan dimensinya adalah 3 (karena basisnya ada 3)

row space column space dan null space
Row space, Column space dan Null space

Jika A adalah suatu matrik dengan ordo mxn :

Maka vektor baris adalah r1=[a11a12 …….. a1n],

r2=[a21a22 …….. a2n] dan seterusnya.

Vektor kolom adalah dan seterusnya

slide36

Vektor-vektorbarisr1, r2, ….., rmdisebut : row spacedari A

  • Vektor-vektorkolomc1, c2, ….., cndisebut : column spacedari A
  • Ruangsolusi SPL homogen Ax = 0 yang merupakan sub ruangRndisebut : null space
  • Sistem linier Ax = bdisebutkonsistenjikadanhanyajikabadalahcolumn spacedari A
  • Jikax0adalahsalahsatusolusidarisistempersamaan linier Ax = bdankumpulansolusidari Ax=0 yaitu

v1, v2, ……., vnmerupakan basis untuknull spacedari A, makasetiapsolusidari Ax = bdapatditulissebagaiberikut : x = x0 + a1v1 + a2v2 + …. + anvn

slide37

Solusi dari Ax = b adalah x0 yang disebut sebagai solusi khusus (particular solution)

dan x0 + a1v1 + a2v2 + …. + anvn disebut solusi umum (general solution).

  • Solusi umum dari Ax = 0 adalah

a1v1 + a2v2 + …. + anvn, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa solusi lengkap dari Ax = b adalah solusi khusus ditambah solusi umum dari Ax=0

slide40

Contohsoal :

1. Carilahsolusidari system persamaan linier berikutini :

x1 + 2x2 – x3 + 3x4 – 4x5 = – 1

2x1 + 4x2 – 2x3 – x4 + 5x5 = 2

2x1 + 4x2 – 2x3 + 4x4 – 2x5 = 0

Jawab :

Denganmenggunakaneliminasi Gauss-Jordan diperoleh :

x4 = 1/8

x5 = 3/8

x1 = -2x2 + x3 + 1/8

slide41

Solusikhususnyaadalah :

Maka :

Solusiumumnyaadalah :

dan

Bagaimanacaramencari basis darinull space ?

Ruangsolusidari SPL homogen Ax=0 adalahnull space.

Jadiuntukmencari basis darinull spaceadalahdenganmengang-gap ada SPL homogen

slide42

2. Tentukan basis darinull space A =

Jawab :

Null space dari A adalahsolusidari SPL homogendari :

2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0

– x1 – x2 + 2x3 – 3x4+ x5 = 0

x1 + x2 – 2x3 – x5 = 0

x3 + x4+ x5 = 0

slide43

dan

Jadi basis darinull space adalah :

Jikasuatumatrikdidalambentukrow-reduced echelon, makavektorbaris (row vector) dengan 1 (satu) sebagaileading entry menjadi basis darirow-space darimatriktersebutdanvektorkolom (column vector) dengan 1 (satu) sebagaileading entry menjadi basis daricolumn space darimatriktersebut

slide44

3. Tentukan basis darirow space dancolumn space darimatrikberikutini :

Jawab :

Basis darirow space adalah : r1 = [1 0 -1 2 1]

r2 = [0 1 0 1 2]

r3 = [0 0 0 1 3]

slide45

Basis daricolumn space adalah :

Jikaduamatrik A dan B saling row-equivalent, maka :

  • Kumpulan vector kolom A salingbebas linier jikadanhanyajikakolomvektro B yang berkorespondensiletaknyajugasalingbebas linier.
  • Kumpulan vector kolom A membentuk basis dari column space (ruangkolom) A jikadanhanyajika vector B yang letaknyasamadengan A jugamembentuk basis untukruangkolom B
slide46

3. Tentukan basis darirow space dancolumn space darimatrikberikut :

Jawab :

Karena OBE tidakmengubahrow-spacedarisuatumatrik, makamatrik A dapatdiubahkedalambentukrow-reducedechelonmenjadi :

slide47

Sehingga basis danrow space darimatrik A adalah :

r1 = [1 0 -5 -6 -1]

r2 = [0 1 1 2 -1]

Untukmencaricolumn space agaksedikitberbedakarena A dan B mungkintidakmemilikicolumn space yang sama, sehinggatidakdapatmengambil basis dari B untukmenjadi basis dari A. Dari pernyataan 2 dikatakanbahwauntukmencari basis daricolumn space A dapatdicaridari B.

Basis column space dari B adalah :

Sehingga basis daricolumn space dari A adalah :

dan

dan

rank dan nullity
Rank dan Nullity

Padasuatumatrik A dan AT, terdapat 6 ruangvektoryaitu

Row space A Row space AT

Column space A Column space AT

Null space A Null space AT

Namun row space AT = column space A, begitujugadengan column space AT = row space A.

Olehsebabitutinggal 4 ruangvektor yang perludiperhatikanyaitu row space A, column space A, null space A dan null space AT.

Inisemuadisebutsebagai fundamental matrix space dari A.

Bagaimanahubunganantaradimensidarikeempatruang vector tersebut ?

slide49

Dapatdisimpulkanbahwadimensidarirow space dancolumn spacesuatumatrikadalahsama. Dimensidari row space dan column space suatumatrikdisbutdenganistilah “rank”, sedangkandimensidari null space disebutdenganistilah “nullity”

Contohsoal :

Tentukan rank dan nullity dari :

Jawab : Ubahmatrik A kedalambentuk reduce-row echelon form menjadi :

slide50

Terdapat 3 yang mengandung leading entry ‘satu’ sehingga dimensi dari row space dan column space adalah 3. Jadi rank (A) = 3.

Untuk mencari nullity, harus dicari solusi Ax=0 lebih dulu sehingga dari bentuk reduce row-echelon A diperoleh :

Karena barisnya ada 3, maka nullity (A) = 3. Bukan suatu kebetulan bahwa rank (A)+ nullity (A) = n, dengan n adalah jumlah kolom dari A. Jadi, rank (A) + nullity (A) selalu sama dengan jumlah kolom dari matrik.

beberapa hal yang berhubungan antara spl dengan column space row space dan lain lain
Beberapahal yang berhubunganantara SPL dengan column space, row space dan lain-lain :
  • Jika Ax = b adalah SPL dengan p persamaandan v variabel, makapernyataandibawahiniadalahsama :
  • Ax = b adalahkonsisten
  • b adadidalamcolumn spacedari A
  • matrikkoefisiendari A danmatrik augmented mempunyainilairank yang sama.
  • Jika Ax = b adalah SPL dengan p persamaandan v variabel, makapernyataandibawahiniadalahsama :
  • Ax = b adalahkonsistenuntuksetiap p x 1 matrik b
  • Vektorkolomdari A adalahspan RP
  • Rank (A) = P
  • Jika Ax = b adalah SPL dengan p persamaandan v variabel, danjika rank (A) = r, makasolusiumumdari SPL mempunyai parameter sebanyak v - r
slide52

4. Jika A adalahmatrik m x n, makapernyataanberikutadalahsama :

a. Ax = 0 hanyamempunyaisolusi trivial

b. Vektorkolomdari A salingbebas linier

c. Ax = b mempunyai paling banyak 1 solusiuntuksetiap m x 1 matrik b

5. Jika A adalahmatrik n x n danjika TA : RnRnadalahmatriktransformasidengancaramengalikandengan A, makapernyataan-pernyataanberikutadalahsama :

a. A mempunyaiinvers

b. Ax = 0 hanyamempunyaisolusi yang trivial

c. Vektorkolom A salingbebas linier

d. Vector baris A salingbebas linier

e. Vektorkolom A adalah span diRp

f. Vector baris A adalah span diRp

g. Vektorkolom A menjadibarisdiRn

h. Vector baris A menjadibarisdiRn

i. Rank (A) = n

j. Nullity (A) = 0

slide53

Soallatihan :

  • Diketahuivektor-vektora=(1,2), b=(-2,-3) danc = (1,3).

Apakahcmerupakankombinasi linier dariadanb ?

  • DiketahuiUadalahhimpunanvektor-vektor yang berbentuk (a,b,c) dengana = b – c – 1 beradapadaRdenganoperasistandarR3.

TunjukkanapakahUmerupakan sub-ruangR3ataubukan !

slide54

Apakahs(x) = - 6 x2merupakankombinasi linier darip(x) = 1 + 2x + x2, q(x) = -x + 2x2danr(x) = 1 –x2?

  • Tentukanapakah

merupakan basis M22 ?

  • Diketahui SPL homogen Ax = 0 dengantentukan nullity A dan rank A!