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TRIGONOMETRÍA (Primera parte). Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés. INTRODUCCIÓN. Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos .

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
trigonometr a primera parte

TRIGONOMETRÍA(Primera parte)

Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

slide2

INTRODUCCIÓN

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

slide3
NOCIONES PREVIAS
  • SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
  • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO.
  • R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.
  • RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
  • R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
  • CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
nociones previas

NOCIONES PREVIAS

a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza

b.TEOREMA DE TALES

2. TEOREMA DE PITÁGORAS

1 a proporcionalidad de segmentos y semejanza

H

h

S. árbolpequeño (s)

A

Sombra del árbol grande (S)

B

H

h

O

A’

s

B’

S

1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza

Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

1 b teorema de tales

r

E’

D’

E’’

C’

D’’

B’

C’’

A’

B’’

O

A

C

B

D

E

r’

O

A’

A

B’

B

1.b. TEOREMA DE TALES

Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten

TEOREMA DE TALES:

Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.

medida de ngulos
Medida de ángulos

Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:

Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)

Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)

Radianes (En la calculadora MODE RAD)

razones trigonom tricas r t

B

B`

B”

C

A

A`

A”

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)

Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son

semejantes

porque

tienen los ángulos iguales.

proporcionales :

En consecuencia los lados son

razones trigonom tricas r t de un ngulo agudo

B

Cateto opuesto de C

a

c

C

Cateto adyacente o contiguo a C

A

b

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO

Sea ABC un triángulo rectánguloen A.

Se definen seis razones trigonométricas

relaci n entre las razones trigonom tricas de un ngulo
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

B

Cateto opuesto de C

a

c

C

Cateto adyacente o contiguo a C

A

b

Sea ABC un triángulo rectánguloen A.

valores que pueden tomar las razones trigonometricas de un angulo agudo
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO

B

a

C

C

A

b

En todo triángulo rectángulolos catetos son menores que la hipotenusa.

Es decir: 0<c<a 0<b<a

En consecuencia:

razones trigonom tricas de 30 45 y 60

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º y 60º

R.T. DE 30º y 60º

R.T. DE 45º

r t de los ngulos 30 y 60 1

C

l

B

H

R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)

C

Sea ABC un triángulo equilátero

l

Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide

60º

l

Trazamos una altura CH

A

B

H

En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide

l

60º

y el ángulo C mide

30º

El lado BH mide

l/2

Podemos calcular x en función de l, aplicando el

Tª de Pitágoras

30º

x

60º

l/2

r t de los ngulos 30 y 60 2

30º

60º

C

l/2

l

B

H

R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)

Observa que:

sen 60º = cos 30º

cos 60º = sen 30º

tg 60º = cotg 30º

cotg60º = tg 30º

sec 60º =cosec30º

Cosec 60º =sec30º

razones trigonom tricas de 45 1

C

D

A

B

C

l

A

B

l

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)

Sea ABCD un cuadrado

90º

Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide

l

Trazamos la diagonal AC

l

En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide

45º

y el ángulo C mide

45º

Podemos calcular x en función de l, aplicando el

Tª de Pitágoras

45º

x

45º

razones trigonom tricas de 45 2

45º

45º

C

l

A

B

l

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)

Observa que:

sen 45º = cos 45º

tg 45º = cotg 45º

sec 45º =cosec45º

r t de ngulos complementarios

C

a

b

B

c

A

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A

Si el ángulo B mide α grados,

el ángulo C mide

α

r t de ngulos complementarios1

C

a

b

α

B

c

A

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A

Si el ángulo B mide α radianes,

el ángulo C mide

relaci n fundamental de trigonometr a

C

a

b

α

B

c

A

RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

Si dividimos la expresión anterior por a2

Expresándolo de otra forma:

O lo que es lo mismo:

Que normalmente expresaremos de la forma:

slide22

C

a

b

α

B

c

A

OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2

Expresándolo de otra forma:

r t de los ngulos 0 y 90

Y

P(x,y)

1

a

X

O

radio=1

R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º

Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto

sen 90º = 1

A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0

cos 90º = 0

Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir,

sen 0º = 0

cos 0º = 1

sen a

sen a

sen a

1

sen a

sen a

cos a

circunferencia goniom trica

Circunferencia goniométrica

R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA

VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN ÁNGULO

VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA COTANGENTE

R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º

R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS

circunferencia goniom trica1

Y

O

X

CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA

Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas

Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda

a

1

A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremoscircunferencia goniométrica.

razones trigonom tricas de un ngulo cualquiera

Y

O

X

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

Q(x’,y’)

P(x,y)

a

1

r

A partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 (Circunferencia goniométrica)

seno y coseno de un ngulo cualquiera valores y signo

Y

1

B

A

sen a

-1 0 1

b

g

a

-1

1

O

X

d

C

D

-1

SIGNO DEL SENO

SIGNO DEL COSENO

SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.

El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1

sen b

cos b

cos a

cos g

cos d

sen g

sen d

_

+

+

+

_

_

_

+

tangente y cotangente de un ngulo cualquiera valores y signo

Y

B

A

b

g

a

1

O

X

d

C

D

TANGENTE Y COTANGENTE

TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.

cotgd

cotgb

cotgg

cotga

tgg

tga

tgd

_

+

_

tg b

+

La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor .

razones trigonom tricas de 120

Y

1

120º

60º

60º

-1

1

O

X

-1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º

En la circunferencia goniométrica dibujamos120º (quitamos 60º a 180º)

A

A’

Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.

y

y

-x

x

razones trigonom tricas de 135

Y

1

y

y

135º

45º

45º

-x

x

-1

1

O

X

-1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135º

En la circunferencia goniométrica dibujamos135º (quitamos 45º a 180º)

A’

A

Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.

razones trigonom tricas de 150

Y

1

A’

A

y

y

150º

30º

30º

-x

x

-1

1

O

X

-1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150º

En la circunferencia goniométrica dibujamos150º (quitamos 30º a 180º)

Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.

relaci n entre las razones trigonom tricas de ngulos suplementarios

Y

1

180º-a

a

a

-1

1

O

X

-1

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

a y 180º- a

a yp-a

En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º- a

A

A’

y

y

-x

x

razones trigonom tricas de 210

Y

1

A

210º

y

30º

-x

30º

x

-y

-1

1

O

X

A’

-1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º

En la circunferencia goniométrica dibujamos210º (añadimos 30º a 180º).

Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.

razones trigonom tricas de 225

Y

1

225º

45º

-x

45º

-1

1

-y

O

X

-1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225º

En la circunferencia goniométrica dibujamos225º (añadimos 45º a 180º).

Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.

razones trigonom tricas de 240

Y

1

240º

-1

1

O

X

-1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240º

En la circunferencia goniométrica dibujamos240º (añadimos 60º a 180º).

Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.

relaci n entre las razones trigonom tricas de ngulos que difieren en 180

Y

1

180º+a

a

a

-1

1

O

X

-1

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

a y 180º+ a

a yp+a

En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º+a

A

y

-x

x

-y

A’

razones trigonom tricas de 300

Y

1

300º

-1

1

O

X

-1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º

En la circunferencia goniométrica dibujamos300º (quitamos 60º a 360º).

razones trigonom tricas de 315

Y

1

315º

-1

1

O

X

-1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º

En la circunferencia goniométrica dibujamos315º (quitamos 45º a 360º).

razones trigonom tricas de 330 las mismas que las de 30

Y

1

-1

1

O

X

-1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º (las mismas que las de –30º)

En la circunferencia goniométrica dibujamos330º (quitamos 30º a 360º).

relaci n entre las razones trigonom tricas de ngulos que suman 360

Y

1

360º-a

a

a

-1

1

O

X

-1

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º

a y 360º-a

a y 2 p-a

En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 360º- a

A

y

x

-y

A’

relaci n entre las razones trigonom tricas de ngulos opuestos

Y

1

a

-a

-1

1

O

X

-1

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS

a y - a

En la circunferencia goniométrica dibujamos a y - a

A

y

x

-y

A’

razones trigonom tricas de un ngulo mayor de una circunferencia

Y

1

2p+a

a

-1

1

O

X

-1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIA

Las razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia ( a+360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del ángulo a

A

y

x

relaci n entre las razones trigonom tricas de ngulos que difieren en 270

Y

1

270º+a

a

-1

1

O

X

a

-1

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º

a y 270º+a

En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 270º+ a

A

y

y

x

-x

A’

relaci n entre las razones trigonom tricas de ngulos complementarios

Y

1

90º-a

a

-1

1

O

X

a

-1

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

a y 90º - a

A’

En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 90º- a

x

A

y

y

x

seno de 0 90 180 270 y 360

1

Y

-1

1

O

X

-1

SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1.

sen 0º = 0 sen 90º = 1

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0.

sen 180º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1.

sen 270º = -1

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.

sen 360º = 0

coseno de 0 90 180 270 y 360

1

Y

-1

1

O

X

-1

COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0.

cosen 0º = 1cosen 90º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1.

cosen 180º = -1

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0.

cosen 270º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.

cosen 360º = 1

tangente de 0 90 180 270 y 360

1

Y

-1

1

O

X

-1

TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.

tg 0º = 0 tg 90º + ∞.

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la tangente va creciendo, de - ∞. a 0.

tg 90º - ∞ tg 180º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el tangente va creciendo, de 0 a +∞. .

tg 270º  +∞.

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de - ∞ a 0.

tg 270º  -∞tg 360º = 0

cotangente de 0 90 180 270 y 360

1

Y

-1

1

O

X

-1

COTANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0

cotg 0º + ∞ cotg 90º =0

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la cotangente va creciendo, de 0 a - ∞

cotg 180º - ∞

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º la cotangente va decreciendo, de + ∞a0

cotg 180º + ∞ cotg 270º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de 0 a - ∞ cotg 360º - ∞

valores y signo que toman las razones trigonometricas de un angulo
VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO

SIGNO DE LA TANGENTE Y COTANGENTE

SIGNO DEL COSENO Y DE LA SECANTE

SIGNO DEL SENO Y DE LA COSECANTE

_

_

+

+

+

+

_

_

_

_

+

+

funciones trigonom tricas

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIÓN SENO

FUNCIÓN COSENO

FUNCIÓN TANGENTE

FUNCIÓN COTANGENTE

FUNCIÓN SECANTE

FUNCIÓN COSECANTE

trigonometr a segunda parte

TRIGONOMETRÍA(Segunda parte)

Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

slide64

INTRODUCCIÓN

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

slide65

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS

  • R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
  • R.T. DEL ÁNGULO MITAD
  • TEOREMA DEL SENO
  • TEOREMA DEL COSENO
  • ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE HERON
seno de la suma de dos ngulos
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

Y

a

a+b

b

a

X

O

Dibujamos el ángulo ay a continuación el ángulo b.

M

B

Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.

Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.

A

P

N

coseno de la suma de dos ngulos
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

Y

a

a+b

b

a

X

O

B

Dibujamos el ángulo ay a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.

M

Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.

A

P

N

tangente de la suma de dos ngulos
TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

Si dividimos numerador y denominador por cosa.cosb

Simplifi-

cando

slide70
R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

1

teorema del seno teorema del coseno
Teorema del seno

Teorema del coseno

teorema del seno

C

b

a

A

B

c

TEOREMA DEL SENO

Los lados de un triángulo son proporcionales a

los senos de los

ángulos opuestos.

El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos.

Consideremos un triángulo ABC.

Trazamos la altura correspondiente al vértice C.

Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:

hC

hA

H

Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:

medida de los ngulos en una circunferencia
Medida de los ángulos en una circunferencia

a+b

a

O

b

180º-2b

a

g

2 g

  • Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente

A

2(a+b)

180º-2 a

O

2(a+b)

B

b

C

360º-(180º-2 a+180º-2 b)= =360º-360º+2 a+2 b= = 2a+2 b=2(a+ b)

medida de los ngulos en una circunferencia1
Medida de los ángulos en una circunferencia

g

g

g

g

2g

  • Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

90º

180º

  • Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.
consecuencia del teorema del seno

A

B

a

A’

C

Consecuencia del TEOREMA DEL SENO

Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto).

Los ángulos A y A’ son iguales(Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego:

La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

consecuencia del teorema del seno rea de un tri ngulo

C

b

a

hC

A

B

c

H

Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo

Lasuperficiedel triángulo ABC es:

En el triángulo AHC :

Sustituyendo en la primera expresión:

consecuencia del teorema del seno rea de un tri ngulo1

C

b

a

R

A

B

c

Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo

Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.

Lasuperficiedel triángulo ABC es:

Por el Teorema del seno :

Sustituyendo en la primera expresión:

teorema del coseno

C

(en AHC)

b

a

A

B

c

TEOREMA DEL COSENO

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente

Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:

h

m

c-m

H

(Como en AHC m = b . cos A)

Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:

slide82

C

b

a

A

B

c

C

a

b

C

A

B

c

a

b

B

A

c

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOClasificación de triángulos

En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que:

Si A < 90º 

cos A >0 

Si A = 90º 

cos A = 0 

( Teorema de Pitágoras )

Si A > 90º 

cos A < 0 

consecuencias del teorema del coseno rea de un tri ngulo f rmula de her n

C

b

a

hC

A

B

c

H

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de Herón

Lasuperficiedel triángulo ABC es:

Por el Tª del coseno

consecuencias del teorema del coseno rea de un tri ngulo f rmula de her n1

C

b

a

hC

A

B

c

H

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de Herón

Lasuperficiedel triángulo ABC es:

...

FÓRMULA DE HERÓN

Si a+b+c=2p

(p será el semiperímetro)

 b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....

slide85

Trigonometríaes la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.

La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.

Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...

La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.

La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.

p ginas web
PÁGINAS WEB

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm

http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyej

http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htm

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTM

http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm

http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html

http://descartes.cnice.mecd.es/

http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm

http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm