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TRIGONOMETRÍA (Primera parte) - PowerPoint PPT Presentation
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TRIGONOMETRÍA (Primera parte). Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés. INTRODUCCIÓN. Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos .
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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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TRIGONOMETRÍA(Primera parte)
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
NOCIONES PREVIAS
- SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO.
- R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.
- RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
- R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
- CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
NOCIONES PREVIAS
a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza
b.TEOREMA DE TALES
2. TEOREMA DE PITÁGORAS
h
S. árbolpequeño (s)
A
Sombra del árbol grande (S)
B
H
h
O
A’
s
B’
S
1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanzaLas sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
E’
D’
E’’
C’
D’’
B’
C’’
A’
B’’
O
A
C
B
D
E
r’
O
A’
A
B’
B
1.b. TEOREMA DE TALESSi varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.
Medida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
B`
B”
C
A
A`
A”
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son
semejantes
porque
tienen los ángulos iguales.
proporcionales :
En consecuencia los lados son
Cateto opuesto de C
a
c
C
Cateto adyacente o contiguo a C
A
b
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDOSea ABC un triángulo rectánguloen A.
Se definen seis razones trigonométricas
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
B
Cateto opuesto de C
a
c
C
Cateto adyacente o contiguo a C
A
b
Sea ABC un triángulo rectánguloen A.
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
B
a
C
C
A
b
En todo triángulo rectángulolos catetos son menores que la hipotenusa.
Es decir: 0<c<a 0<b<a
En consecuencia:
l
B
H
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)C
Sea ABC un triángulo equilátero
l
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
60º
l
Trazamos una altura CH
A
B
H
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide
l
60º
y el ángulo C mide
30º
El lado BH mide
l/2
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
Tª de Pitágoras
30º
x
60º
l/2
60º
C
l/2
l
B
H
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)Observa que:
sen 60º = cos 30º
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º
D
A
B
C
l
A
B
l
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)Sea ABCD un cuadrado
90º
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide
l
Trazamos la diagonal AC
l
En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide
45º
y el ángulo C mide
45º
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
Tª de Pitágoras
45º
x
45º
45º
C
l
A
B
l
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)Observa que:
sen 45º = cos 45º
tg 45º = cotg 45º
sec 45º =cosec45º
a
b
B
c
A
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSSea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α grados,
el ángulo C mide
α
a
b
α
B
c
A
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSSea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α radianes,
el ángulo C mide
a
b
α
B
c
A
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍASi en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:
Si dividimos la expresión anterior por a2
Expresándolo de otra forma:
O lo que es lo mismo:
Que normalmente expresaremos de la forma:
a
b
α
B
c
A
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:
Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2
Expresándolo de otra forma:
P(x,y)
1
a
X
O
radio=1
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90ºObserva que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
cos 90º = 0
Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir,
sen 0º = 0
cos 0º = 1
sen a
sen a
sen a
1
sen a
sen a
cos a
Circunferencia goniométrica
R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA
VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN ÁNGULO
VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA COTANGENTE
R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
O
X
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICATrazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas
Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda
a
1
A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremoscircunferencia goniométrica.
O
X
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERAQ(x’,y’)
P(x,y)
a
1
r
A partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 (Circunferencia goniométrica)
1
B
A
sen a
-1 0 1
b
g
a
-1
1
O
X
d
C
D
-1
SIGNO DEL SENO
SIGNO DEL COSENO
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1
sen b
cos b
cos a
cos g
cos d
sen g
sen d
_
+
+
+
_
_
_
+
B
A
b
g
a
1
O
X
d
C
D
TANGENTE Y COTANGENTE
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.cotgd
cotgb
cotgg
cotga
tgg
tga
tgd
_
+
_
tg b
+
La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor .
1
120º
60º
60º
-1
1
O
X
-1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120ºEn la circunferencia goniométrica dibujamos120º (quitamos 60º a 180º)
A
A’
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
y
y
-x
x
1
y
y
135º
45º
45º
-x
x
-1
1
O
X
-1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135ºEn la circunferencia goniométrica dibujamos135º (quitamos 45º a 180º)
A’
A
Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
1
A’
A
y
y
150º
30º
30º
-x
x
-1
1
O
X
-1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150ºEn la circunferencia goniométrica dibujamos150º (quitamos 30º a 180º)
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
1
180º-a
a
a
-1
1
O
X
-1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSa y 180º- a
a yp-a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º- a
A
A’
y
y
-x
x
1
A
210º
y
30º
-x
30º
x
-y
-1
1
O
X
A’
-1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210ºEn la circunferencia goniométrica dibujamos210º (añadimos 30º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
1
225º
45º
-x
45º
-1
1
-y
O
X
-1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225ºEn la circunferencia goniométrica dibujamos225º (añadimos 45º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
1
240º
-1
1
O
X
-1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240ºEn la circunferencia goniométrica dibujamos240º (añadimos 60º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.
1
180º+a
a
a
-1
1
O
X
-1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180ºa y 180º+ a
a yp+a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º+a
A
y
-x
x
-y
A’
1
300º
-1
1
O
X
-1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300ºEn la circunferencia goniométrica dibujamos300º (quitamos 60º a 360º).
1
315º
-1
1
O
X
-1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315ºEn la circunferencia goniométrica dibujamos315º (quitamos 45º a 360º).
1
-1
1
O
X
-1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º (las mismas que las de –30º)En la circunferencia goniométrica dibujamos330º (quitamos 30º a 360º).
1
360º-a
a
a
-1
1
O
X
-1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360ºa y 360º-a
a y 2 p-a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 360º- a
A
y
x
-y
A’
1
a
-a
-1
1
O
X
-1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOSa y - a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y - a
A
y
x
-y
A’
1
2p+a
a
-1
1
O
X
-1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIALas razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia ( a+360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del ángulo a
A
y
x
1
270º+a
a
-1
1
O
X
a
-1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270ºa y 270º+a
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 270º+ a
A
y
y
x
-x
A’
1
90º-a
a
-1
1
O
X
a
-1
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSa y 90º - a
A’
En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 90º- a
x
A
y
y
x
Y
-1
1
O
X
-1
SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360ºObserva que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1.
sen 0º = 0 sen 90º = 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0.
sen 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1.
sen 270º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.
sen 360º = 0
Y
-1
1
O
X
-1
COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360ºObserva que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0.
cosen 0º = 1cosen 90º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1.
cosen 180º = -1
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0.
cosen 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.
cosen 360º = 1
Y
-1
1
O
X
-1
TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360ºObserva que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.
tg 0º = 0 tg 90º + ∞.
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la tangente va creciendo, de - ∞. a 0.
tg 90º - ∞ tg 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el tangente va creciendo, de 0 a +∞. .
tg 270º +∞.
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de - ∞ a 0.
tg 270º -∞tg 360º = 0
Y
-1
1
O
X
-1
COTANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360ºObserva que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 0º + ∞ cotg 90º =0
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la cotangente va creciendo, de 0 a - ∞
cotg 180º - ∞
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º la cotangente va decreciendo, de + ∞a0
cotg 180º + ∞ cotg 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de 0 a - ∞ cotg 360º - ∞
VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO
SIGNO DE LA TANGENTE Y COTANGENTE
SIGNO DEL COSENO Y DE LA SECANTE
SIGNO DEL SENO Y DE LA COSECANTE
_
_
+
+
+
+
_
_
_
_
+
+
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIÓN SENO
FUNCIÓN COSENO
FUNCIÓN TANGENTE
FUNCIÓN COTANGENTE
FUNCIÓN SECANTE
FUNCIÓN COSECANTE
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x
TRIGONOMETRÍA(Segunda parte)
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
- R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
- R.T. DEL ÁNGULO MITAD
- TEOREMA DEL SENO
- TEOREMA DEL COSENO
- ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE HERON
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Y
a
a+b
b
a
X
O
Dibujamos el ángulo ay a continuación el ángulo b.
M
B
Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.
A
P
N
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Y
a
a+b
b
a
X
O
B
Dibujamos el ángulo ay a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.
M
Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.
A
P
N
R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
1
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)
R.T. DEL ÁNGULO MITAD(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)
Teorema del seno
Teorema del coseno
b
a
A
B
c
TEOREMA DEL SENOLos lados de un triángulo son proporcionales a
los senos de los
ángulos opuestos.
El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos.
Consideremos un triángulo ABC.
Trazamos la altura correspondiente al vértice C.
Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:
hC
hA
H
Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:
Medida de los ángulos en una circunferencia
a+b
a
O
b
180º-2b
a
g
2 g
- Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente
A
2(a+b)
180º-2 a
O
2(a+b)
B
b
C
360º-(180º-2 a+180º-2 b)= =360º-360º+2 a+2 b= = 2a+2 b=2(a+ b)
Medida de los ángulos en una circunferencia
g
g
g
g
2g
- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales
90º
180º
- Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.
B
a
A’
C
Consecuencia del TEOREMA DEL SENOConsideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto).
Los ángulos A y A’ son iguales(Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego:
La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
b
a
hC
A
B
c
H
Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triánguloLasuperficiedel triángulo ABC es:
En el triángulo AHC :
Sustituyendo en la primera expresión:
b
a
R
A
B
c
Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triánguloSea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.
Lasuperficiedel triángulo ABC es:
Por el Teorema del seno :
Sustituyendo en la primera expresión:
(en AHC)
b
a
A
B
c
TEOREMA DEL COSENOEl cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente
Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:
h
m
c-m
H
(Como en AHC m = b . cos A)
Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:
b
a
A
B
c
C
a
b
C
A
B
c
a
b
B
A
c
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOClasificación de triángulos
En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que:
Si A < 90º
cos A >0
Si A = 90º
cos A = 0
( Teorema de Pitágoras )
Si A > 90º
cos A < 0
b
a
hC
A
B
c
H
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de HerónLasuperficiedel triángulo ABC es:
Por el Tª del coseno
b
a
hC
A
B
c
H
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de HerónLasuperficiedel triángulo ABC es:
...
FÓRMULA DE HERÓN
Si a+b+c=2p
(p será el semiperímetro)
b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....
Trigonometríaes la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo.
La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.
Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...
La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.
La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.
PÁGINAS WEB
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm
http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyej
http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htm
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTM
http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm
http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm
http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html
http://descartes.cnice.mecd.es/
http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm
http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm
