1 / 16

Vsebina

Diskretni problemi Grafi, drevesa Osnovna pravila kombinatorike Izbori Porazdelitve Metoda tirov Pravilo vključitev in izključitev Rodovne funkcije Trdnjavski polinomi Rekurzivne enačbe. Eulerjeva in Möbiusova funkcija Operatorji Polinomska zaporedja. Vsebina. Operatorji.

chava
Download Presentation

Vsebina

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Diskretni problemi Grafi, drevesa Osnovna pravila kombinatorike Izbori Porazdelitve Metoda tirov Pravilo vključitev in izključitev Rodovne funkcije Trdnjavski polinomi Rekurzivne enačbe Eulerjeva in Möbiusova funkcija Operatorji Polinomska zaporedja Vsebina Kombinatorika 2002

  2. Operatorji • Operator je funkcija, ki ima za argumente funkcije. Če je A operator in f funkcija (operand) bomo z A f označili rezultat aplikacije operatorja A na funkciji f. Pri vsakem operatorju moramo podati tudi razred funkcij, na katerih ga definiramo. • Zgledi: • C – kubiranje. C f = f3, C: f(x) ↦ f(x)f(x)f(x) • D – odvajanje. D f = df/dx, C: f(x) ↦ f’(x) • k – množenje z k: k f = k.f, k: f(x) ↦ k f(x) • S – vsota po deliteljih (glej prejšnjo prosojnico) Kombinatorika 2002

  3. Nekaj definicij v zvezi z operatorji • Enakost: A = B, če za vsak f velja Af = Bf. • Enota: I. Zanjo velja I f = f, za vsak f. • Ničelni operator: O. O f = o, O: f(x) ↦ o(x), o(x)=0 • Vsota in razlika operatorjev: • (A+B) f = Af + Bf • (A-B) f = Af – Bf • Produkt (kompozitum) operatorjev: • (A.B) f = (AB)f = A(B f) • Linearni operator • A(a f + b g) = a A f + b A g • Inverzni operator • B = A-1, če za vsak par funkcij f in g velja Bf = g, če in samo če je Ag = f. Kombinatorika 2002

  4. Möbiusova inverzija • Spoznali smo operator S, ki deluje na funkcijah nad naravnimi števili. Operator ima zanimiv inverz: • Izrek: Naj bo f = Sg, tedaj je g = m*f. Pri tem je m Möbiusova funkcija. • Definirajmo Möbiusov operator M takole: Mf = m*f. Izrek pravi, da je M inverz operatorja S. Kombinatorika 2002

  5. Eulerjeva in Möbiusova funkcija • Naj bo 1 funkcija identitete: 1(n) = n. • Izrek: Med Eulerjevo in Möbiusovo funkcijo velja zveza: f = m*1. • V luči Möbiusove inverzije je to ekvivalentno trditvi: • Trditev: 1 = S f Kombinatorika 2002

  6. Množica deliteljev • Množico {1,2,..., n} označimo krajše z [1...n]. Naj [1|||n] označuje množico deliteljev števila n. Množica [1...n] je za relacijo  linearno urejena. Množica [1|||n] je za relacijo | delno urejena. • Izkaže se, da je mogoče pojma Möbiusove funkcije in Möbiusiove inverzije smiselno posplošiti na poljubne delno urejene množice. Kombinatorika 2002

  7. Mreža deliteljev • Delitelji danega števila sestavljajo mrežo. Na levi vidimo diagram mreže deliteljev števila 60. Kombinatorika 2002

  8. Diferenčni operator  • Naj bo f(x) funkcija in h pozitivna konstanta. • Operator • f(x) = f(x+h) – f(x) • se imenuje razlika ali diferenčni operator. • Očitno je: • x = x+h – x = h Kombinatorika 2002

  9. Operator premika E • Preprostejši je operator premika: • Ef(x) = f(x+h) • Veljajo tele zveze: • E = 1 +  • Za polinom P(x) stopnje d velja: d+1(P(x))=0 • E = ehD. Pri tem je D operator odvajanja. • Operator 1 – E-1 označimo z . Dokaži, da velja: f(x) = f(x) – f(x-h). Kombinatorika 2002

  10. Še en diferenčni operator d • Naj bo f(x) funkcija in h pozitivna konstanta. Pogosto vzamemo h = 1. • Operator d definiramo takole: • df(x) = f(x+h/2) – f(x-h/2) • Veljajo zveze: •  = DE-1. • d = DE-1/2 = E1/2 = E1/2 - E-1/2 Kombinatorika 2002

  11. Operatorja povprečja M in m • Operator m definiramo takole: • mf(x) = [f(x+h/2) + f(x-h/2)]/2 • Operator M pa takole: • Mf(x) = [f(x+h) + f(x)]/2 • Velja: • M = (1 + E)/2 = 1 + D/2 • m = (E1/2 + E-1/2)/2 Kombinatorika 2002

  12. Uporaba pri rekurzivnih enačbah • Iščemo posebno rešitev enačbe: • an+2 + an+1 + an = n2 + n + 1 • (E2 + E + 1) an = n2 + n + 1, pri tem je h = 1. • an = 1/(E2 + E + 1)(n2 + n + 1), • (E2 + E + 1) = (D2 + 3D + 3) = 3 (1 + D + D2 /3) • (1 + D + D2 /3)-1 = 1 - D + 2D2 /3 + D3(...)) • Dn2 = 2n + 1,D2 n2 = 2, Dn = 1, ... • an = (1 + D + D2 /3)-1 (n2 + n + 1)/3 = (n2 - n + 1/3)/3 Kombinatorika 2002

  13. Naraščajoče in padajoče potence • Naraščajoče potence: • x[k] = x[k-1] (x+k-1), k > 0 • x[0] = 1 • x[k] = x(x+1) ...(x + k - 1) • Padajoče potence: • x[k] = x[k-1] (x-k+1), k > 0 • x[0] = 1 • x[k] = x(x-1) ...(x – k + 1) • Običajne potence: • xk = xk-1 x, k > 0 • x0 = 1 • xk = x x ... x (k faktorjev) Kombinatorika 2002

  14. Potence in operatorji • Naraščajoče potence: • x[k] = k x[k-1] • Padajoče potence: • Dx[k] = k x[k-1] • Običajne potence: • Dxk = k xk-1 Kombinatorika 2002

  15. Polinomska zaporedja • Zaporedje polinomov (Pn(x)), n = 0,1, ... Imenujemo polinomsko zaporedje, če je degPn(x) = n. • Izrek: Vsako polinomsko zaporedje je baza vektorskega prostora polinomov R[x]. Kombinatorika 2002

  16. Vezni koeficienti • Polinomski zaporedji (Pn(x)) in (Qn(x)) povezujejo vezni koeficienti: • Pn(x) = a(n,0) Q0(x)+ a(n,1) Q1(x)+...+ a(n,n) Qn(x) • Qn(x) = b(n,0) P0(x)+ b(n,1) P1(x)+...+ b(n,n) Pn(x) • Izrek: Naj bosta polinomski zaporedji (Pn(x)) in (Qn(x)) povezani z zgornjimi veznimi koeficienti. Tedaj za poljubni zaporedji (un) in (vn) velja: • un = a(n,0) v0 + a(n,1) v1 +...+ a(n,n) vn • če in samo če • vn = b(n,0) u0 + b(n,1) u1 +...+ b(n,n) un Kombinatorika 2002

More Related