1 / 55

Les mouvements sur la Sphère

Les mouvements sur la Sphère. Définitions: le Grand-Cercle. = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère. Définitions: le Grand-Cercle. = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère. Définitions: le Petit-Cercle.

Download Presentation

Les mouvements sur la Sphère

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Les mouvements sur la Sphère

  2. Définitions: le Grand-Cercle = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère

  3. Définitions: le Grand-Cercle = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère

  4. Définitions: le Petit-Cercle = intersection d’un cône de révolution dont l’apex est situé au centre de la sphère...

  5. Définitions: le Petit-Cercle ... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère

  6. Définitions: le Petit-Cercle Définitions: le Petit-Cercle ... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère

  7. Définitions: le Repère Géocentrique La position de tout point P dans le repère géocentrique est définie par: - r: distance au centre de la Terre rayon moyen de la Terre: 6371 km. - l: la latitude = angle entre le vecteur position du   point et le plan équatorial. - f: la longitude = angle que fait le grand-cercle passant par P et le pôle nord avec un grand-cercle arbitraire passant par les pôles N et S. Pôle Nord (r,l,F) -90° ou 270° 90° (E) 0° f: compté de 0° (méridien de Greenwich) à 360° vers l’Est l: compté de 0° (Equateur) à +90° vers le nord, et à – 90° vers le sud N.B.: q est la colatitude, comptée de 0° (pôle nord) à 180° (pôle sud)

  8. Quelques outils

  9. Trigonométrie Sphérique

  10. Trigonométrie Sphérique

  11. Trigonométrie Sphérique Nota: la somme a + b + g est toujours supérieure à 180°

  12. Trigonométrie Sphérique Formule des sinus:

  13. Trigonométrie Sphérique Formule des cosinus:

  14. Trigonométrie Sphérique Aire du triangle sphérique e Soit par les angles au sommet: Soit par les longueurs des côtés: Nota:l’aire e est un angle solide qui s’exprime en stéradian. La surface dans le système métrique S s’obtient par S = e.r2, où r est le rayon de la sphère.

  15. Trigonométrie Sphérique - Applications 1. Quelle est la distance entre Paris (48° 51’ N, 2° 21’ E) et San Francisco (37° 46’ N, 122° 25’W) ? 2. Quel cap doit prendre un avion après le décollage de Paris pour se rendre à San Francisco ? 3. Ce cap reste-t-il constant tout le long du voyage ?

  16. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

  17. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

  18. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

  19. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

  20. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W d = 80.6° ≈ 8960 km d Formule des cosinus:

  21. Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W d = 80.6° ≈ 8960 km d Az Az = 41.2° (W) Formule des sinus:

  22. Chemin le plus court = arc de grand-cercle = Orthodromie Chemin à cap constant = chemin le plus long = Loxodromie http://fr.wikipedia.org/wiki/Orthodromie

  23. Orthodromie http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html

  24. Loxodromie http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html

  25. Produit Scalaire r

  26. Produit Scalaire Vecteur position a r

  27. Produit Scalaire Vecteur position a Vecteur position b r

  28. Produit Scalaire Vecteur position a Vecteur position b r Produit scalaire a.b d’où:

  29. Produit Vectoriel Vecteur position a Vecteur position b Produit vectoriel a L b (ou a xb)

  30. Déplacement sur la sphère Comment décrire un mouvement d’un point A à un point B sur une sphère ? B A

  31. Déplacement sur la sphère Ce mouvement peut-il être rectiligne ? ?? B A

  32. Tout déplacement sur une sphère est une rotation B B A A En aucune manière... il s’agit d’une rotation.

  33. Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler Angle d’Euler B A C’est une rotation eulérienne, du nom de Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse.

  34. Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler Angle d’Euler B ?? • Remarques: • la rotation d’Euler est une rotation finie • elle décrit le mouvement le plus court de A à B • elle ne permet pas de décrire la trajectoire de A à B (pour cela, il faut des paramètres de rotation finie intermédiaires...). A

  35. Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

  36. Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

  37. Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

  38. Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)

  39. Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13=                 "                  "                "         Z lij=cosaij Ox y z x’l11l12l13 Que l’on peut réécrire:

  40. Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13=                 "                  "                "         Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 =                 "                  "                "         Y l23 =                 "                  "                "         Z lij=cosaij Ox y z x’l11l12l13 y’l21l22l23 Que l’on peut réécrire:

  41. Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13=                 "                  "                "         Z l21= cosinus directeur de l’axe Y’avec l’axe X l22=                 "                  "                "         Y l23=                 "                  "                "         Z l31= cosinus directeur de l’axe Z’avec l’axe X l32=                 "                  "                "         Y l33=                 "                  "                "         Z lij=cosaij Ox y z x’l11l12l13 y’l21l22l23 z’l31l32l33 Que l’on peut réécrire:

  42. Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13=                 "                  "                "         Z l21= cosinus directeur de l’axe Y’avec l’axe X l22=                 "                  "                "         Y l23=                 "                  "                "         Z l31= cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X l32=                 "                  "                "         Y l33=                 "                  "                "         Z Ox y z x’l11l12l13 y’l21l22l23 z’l31l32l33 Que l’on peut réécrire: C’est la matrice de transformation [TM]

  43. Changement de repère Le point P, de coordonnées (x,y,z) dans l’ancien repère (X,Y,Z) aura pour coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’): ou: ou: P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)

  44. Changement de repère On retrouve les coordonnées d’origine (x,y,z) de P dans l’ancien repère (X,Y,Z) à partir des coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’) à l’aide de la matrice transposée: et: P(x,y,z) = [TM]T * P(x’,y’,z’) À noter:

  45. Rotation 2D

  46. Rotation 3D Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

  47. Rotation 3D – règle du trièdre direct Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

  48. Rotation 3D Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’ Rz(q) est donc la matrice de rotation autour de l’axe Z

  49. Rotation 3D à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes correspondent à des rotations autour des axes X,Y et Z (respectivement) : Rx(q)tourne l'axe Yvers l'axe Z, Ry(q)tourne l'axe Zvers l'axe Xet Rz(q)tourne l'axe Xvers l'axe Y.

  50. Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes q

More Related