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Le Isometrie nel piano. FASE A : INTRODUZIONE ESEMPI REALI. si stimolano gli studenti all’ osservazione Le simmetrie hanno sempre interessato l’uomo, sin dall’ antichità nella pittura di cui Escher (1898-1972) è il maggior esponente

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Presentation Transcript
fase a introduzione esempi reali
FASE A: INTRODUZIONE ESEMPI REALI
  • si stimolano gli studenti all’osservazione
  • Le simmetrie hanno sempre interessato l’uomo, sin dall’antichità
  • nella pittura di cui Escher (1898-1972) è il maggior esponente
  • Spesso le trasformazioni geometriche vengono riscontrate nella realtà di tutti i giorni (ad esempio quando viene aperta una porta essa ruota attorno al suo cardine ma le sue dimensioni non variano; lo stesso si può dire quando si aprono le pagine di un libro, quando si vede una giostra che gira)
  • Le simmetrie si trovano anche nella natura (ad esempio le molecole, fiori, stelle marine, insetti)
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In tale fase si chiede agli alunni di descrivere le figure per vedere quali proprietà vengono individuate e con quali trasformazioni geometriche hanno già familiarità
  • L’introduzione del piano cartesiano, che verrà ripreso ampiamente per la rappresentazione di fenomeni, potrebbe suggerire un nuovo approccio e aiutare l’allievo a passare da un livello intuitivo a uno più razionale.
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LAVORO DI GRUPPO

Propongo un’attività a piccoli gruppi che abbia la finalità di giungere all’individuazione delle trasformazioni “di oggetti” nella realtà.

  • FASE 1: Consegna della scheda
  • FASE 2: Un’esponente del gruppo presenta cosa il gruppo ha individuato come “trasformazione”.
  • FASE 3: si scrivono alla lavagna i risultati
  • FASE 4: si determinano gli invarianti e i varianti delle trasformazioni individuate.
fase 1 scheda
FASE 1: SCHEDA

Relatore:____________

Individuate come nella realtà gli oggetti possono subire delle trasformazioni:

Es: Se consideriamo un oggetto reale e lo fotografo, l’immagine che otteniamo è la stessa dell’oggetto solo che è rimpicciolita. Prova a trovare altri esempi.

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fase b generalita sulle trasformazioni geometriche nel piano
FASE B: GENERALITA’ SULLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

trasformazione geometrica: corrispondenza biunivoca che associa punti del piano a punti del piano stesso (vale anche per i segmenti, angoli, rette e figure geometriche).

NB. Assegnare una trasformazione del piano significa, concretamente, definire un procedimento mediante il quale si possono trasformare tutti i suoi punti in altri punti dello stesso piano.

trasformazione identica o identità è una trasformazione che associa ad ogni punto se stesso.

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Quindi non sempre le caratteristiche di una figura in una trasformazione restano immutate;

  • in tal caso si dicono varianti,
  • nel caso contrarioinvarianti.
altre definizioni
Altre definizioni:
  • elementi uniti di una trasformazione geometrica sono gli elementi del piano che hanno per trasformati se stessi.
  • involutoria: una trasformazione che, applicata 2 volte, coincide con la trasformazione identica.
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ISOMETRIA:

  • la trasformazione geometrica che ad ogni coppia di punti A e B di un piano associa i punti A’ e B’ dello stesso piano, in modo che il segmento AB sia congruente a A’B’ (cioè è una trasformazione del piano che conserva la distanza tra due punti).

isometrie: dal greco (isos = uguale ; metron = misura) che hanno come invarianti la misura ossia la distanza tra due punti.

Proprietà dell’isometria:

le isometrie trasformano segmenti in segmenti, rette in rette, rette parallele in rette parallele, rette incidenti in rette incidenti, angoli in angoli a esso congruenti, figure in figure congruenti.

fase c le isometrie
Fase C: LE ISOMETRIE

La classe abile nel costruire con riga e compasso molti oggetti geometrici, può conoscere metodologie capaci di riprodurre molte delle proprietà ad essi associate, anche se si possono riscontrare alcuni dubbi sulla vera consapevolezza nel merito. Quindi è attraverso la costruzione di oggetti già noti come segmenti, rette, angoli e triangoli, che verranno introdotti i concetti relativi alle isometrie. Sul piano metodologico ritengo quindi conveniente presentare le isometrie secondo un’impostazione sperimentale, evitando di appesantire la trattazione con dimostrazioni, che a volte risultano anche molto impegnative. In tale fase, alla presentazione di ogni singola isometria seguirà un’analisi delle proprietà specifiche di ciascuna; questo avverrà mediante quesiti posti alla classe, che condurranno gradualmente alla scoperta delle proprietà in questione e tramite l’assegnazione di esercizi da svolgere sia singolarmente sia alla lavagna.

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Simmetria assiale

di retta σ è la trasformazione geometrica che associa ad ogni punto P di un piano il punto P’, in modo che σ sia l’asse del segmento PP’

propriet
Proprietà:

i punti che appartengono alla retta r (asse di simmetria) sono punti uniti;

una retta a incidente in un punto Q su r che forma con essa un angolo α, ha per trasformata una retta a’ che passa ancora per Q e che forma un angolo congruente ad α ;

una retta a perpendicolare ad r ha per trasformata se stessa (retta unita) (a non è una retta di punti uniti, perché ciascun punto della retta non ha per trasformato se stesso);

propriet continua
Proprietà (continua):

una retta a parallela ad r ha per trasformata una retta a’ ancora parallela ad r;

se il punto A’ è il trasformato di A, il trasformato di A’ è ancora A (carattere involutorio);

se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ si susseguono in senso antiorario (isometria inversa); inoltre i due triangoli, in generale 2 figure, sono congruenti (invarianti).

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SIMMETRIE NOTEVOLI IN FIGURE GEOMETRICHE PIANE:Se una figura è trasformata in se stessa nella simmetria assiale di retta r, allora tale retta è detta asse di simmetria della figura (es. angolo, rettangolo, rombo, quadrato, cerchio, poligono regolare, triangolo isoscele, segmento, striscia definita da 2 rette parallele)

equazioni rispetto agli assi cartesiani
Equazioni rispetto agli assi cartesiani:

se x è l’asse di simmetria del punto A(x;y), allora avrà come trasformato il punto A’(x;-y) (fig. sotto); analogamente se y è l’asse di simmetria del punto B(x;y), allora avrà come trasformato il punto B’(-x;y).

Quindi:

x’ = x

y’ = - y

oppure:

x’ = -x

y’ = y

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Simmetria centrale

di centro O è la trasformazione geometrica che associa ad ogni punto P di un piano il punto P’, in modo che il segmento PP’ ha come punto medio O

propriet1
Proprietà:

ha solo il punto O come punto unito, mentre tutte quelle che passano per il centro sono infinite rette unite (non sono rette di punti uniti);

se il punto A’ è il trasformato di A, il trasformato di A’ è ancora A (carattere involutorio);

se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ ancora si susseguono in senso orario (isometria diretta); inoltre i due triangoli, in generale 2 figure, sono congruenti (invarianti);

a ogni retta corrisponde una retta parallela; a ogni segmento corrisponde un segmento, ad ogni angolo corrisponde un angolo congruente.

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SIMMETRIE NOTEVOLI IN FIGURE GEOMETRICHE PIANE:Se una figura è trasformata in se stessa nella simmetria centrale di centro O, allora il punto O è detto centro di simmetria della figura (es. segmento, parallelogrammo, cerchio, poligono regolare con nr lati pari, striscia definita da 2 rette parallele)

equazioni rispetto agli assi cartesiani1
Equazioni rispetto agli assi cartesiani:

Si è detto che se x è l’asse di simmetria del punto P(x;y), allora avrà come trasformato il punto P’(x;-y) e analogamente se y è l’asse di simmetria del punto P’(x;-y), allora avrà come trasformato il punto

P’’(-x;-y), per cui:

Quindi:

x’=-x

y’=-y

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Traslazione

di vettore v (segmento orientato individuato da una direzione, verso e modulo) è la trasformazione geometrica che associa ad ogni punto P di un piano il punto P’, in modo che il vettore PP’ sia congruente a v (cioè sia equipollente)

propriet2
Proprietà:

non ha nessun punto unito, mentre le infinite rette che hanno la stessa direzione del vettore v sono rette unite (non sono rette di punti uniti);

se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ ancora si susseguono in senso orario (isometria diretta); inoltre i due triangoli, in generale 2 figure, sono congruenti (invarianti);.

a ogni retta corrisponde una retta parallela; a ogni segmento orientato corrisponde un segmento equipollente; a ogni angolo corrisponde un angolo congruente con i lati rispettivamente paralleli.

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Per traslare una figura, si deve traslare ogni suo punto del vettore v; allora il vettore v è detto vettore di traslazione(es. segmento, retta, triangolo)

equazioni rispetto agli assi cartesiani2
Equazioni rispetto agli assi cartesiani:

Dato il punto P(x;y) e il vettore v di componenti (a,b), il suo trasformato P’(x’;y’) avrà a e b come le proiezioni di PP’ sugli assi, per cui:

Quindi:

x’ = x+a

y’ = y+b

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Rotazione

di centro O e angolo orientato α (presuppone sia un’ampiezza che un verso di rotazione) è la trasformazione geometrica che associa ad ogni punto P di un piano il punto P’, in modo che il OP è congruente a OP’ e l’angolo POP’ è congruente a α

propriet3
Proprietà:

ha solo il punto O come punto unito, mentre le rette che passano per O e che hanno un angolo orientato piatto sono rette unite;

solo la rotazione pari ad un angolo giro coincide con la trasformazione identica;

se i vertici del triangolo ABC si susseguono in senso orario, i loro corrispondenti A’B’C’ ancora si susseguono in senso orario (isometria diretta); inoltre i due triangoli, in generale 2 figure, sono congruenti (invarianti).

a ogni retta corrisponde una retta

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Per ruotare una figura, si deve considerare sia il punto O detto centro di rotazione, sia l’angolo α detto ampiezza della rotazione (es. triangolo)

NB. una simmetria centrale di centro O è una rotazione con centro di rotazione O e ampiezza della rotazione di 180° .

equazioni rispetto agli assi cartesiani3
Equazioni rispetto agli assi cartesiani:

Consideriamo una rotazione antioraria di ampiezza  e centro nell’origine degli assi che faccia corrispondere al punto P(x;y) il punto P’(x’;y’).

Dalla figura x’ = OR = OP’ cos(+) = OP(coscos - sensen), quindi x’ = xcos - ysen.

Analogamente y’ = RP’ = OP’ sen(+) = OP(sencos + cossen), per cui: y’ = xsen + ycos

Quindi:

x’ = xcos - ysen

y’ = xsen + ycos

in laboratorio
In Laboratorio

Un ulteriore contributo sarà dato dall’utilizzo di Cabrì Geometre®, il quale possiede un menù chiamato Trasformazioni, contenente le 4 isometrie che verranno considerate di seguito, cioè:simmetria assiale, simmetria centrale, traslazione, rotazione.Queste particolari trasformazione sono importanti, perché ogni altra isometria può essere ottenuta come combinazione di queste 4 fondamentali.