제 1 장 Relativity

1. 제 1장 Relativity Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

2. Out line 1.1 특수 상대론의 가설 ( SPECIAL RELATIVITY ) 1.2 시간의 늘어남 ( TIME DILATION ) 1.3 도플러 효과 ( DOPPLER EFFECT ) 1.4 길이의 수축 ( LENGTH CONTRACTION ) 1.5 쌍둥이 역설 ( TWIN PARADOX ) 1.6 전기와 자기 ( ELECTRICITY AND MAGNETISM ) 1.7 상대론적 운동량 ( RELATIVITY OF MOMENTUM ) 1.8 질량과 에너지 ( MASS AND ENERGY ) 1.9 에너지와 운동량 (ENERGY AND MOMENTUM) 1.10 일반 상대성이론 ( GENERAL RELATIVITY ) Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

3. 1.1 SPECIAL RELATIVITY 1. Relativity 상대성 원리 + 양자 역학 상대성 원리 : Einstein 양자역학 : 많은 과학자 ( Schrodinger, Heisenberg, Max Frank……) 상대성 이론 : 관측자와 대상물 사이의 상대적 운동이 공간 (space) 과 시간 측정에 어떠한 영향을 끼치는가? Relativity Connects space & time, matter & energy, electricity & magnetism are crucial to our understanding of the physical universe. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

4. The first step is to clarify what we mean by motion 어떤 물체가 운동 한다는 것 그 물체가 위치가 다른 물체에 대해 변하고 있음 1.1 SPECIAL RELATIVITY 모든 운동은 상대적이다. 자유 공간에서 빛의 속력은 모두 관측자에게 동일하다. Elementary physics 에서 length, time, mass 는 어떻게 측정하든지 물리량의 표준단위가 있어서 same result. No question of finding the length of airplane ( 지상에서 움직이지 않을 때 ) But what if the airplane is in flight and we are on the ground? Moving airplane is shorter Frames of Reference Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

5. A passenger moves relative to an airplane The airplane moves relative to the earth The earth moves relative to the sun The sun moves relative to the galaxy of stars …………….. 어떤 물체의 운동을 설명하려면 frame of reference(기준계)가 필요 물체가 움직인다는 것은 항상 특정의 기준계가 있다는 것임. 1.1 SPECIAL RELATIVITY Inertial frame of reference ( 관성기준계) Newton의 운동 제1법칙이 성립하는 계(정지한 물체는 계속 정지하고 있고 물체에 힘이 작용하지 않는 한 일정한 속도로 계속 운동하는 계) “ 관성기준계는 다른 기준계에 대하여 일정한 방향, 일정한 속도로 움직이고 있는 기준계” In this frame : an object at rest remains at rest, an object in motion continues to move at constant velocity Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

6. 1.1 SPECIAL RELATIVITY 모든 관성기준계는 동등하다 Suppose we see something changing its position with respect to us at constant velocity. Is it moving or are we moving ? Suppose we are in a closed lab. In which Newton’s 1st law holds Is the lab. Moving or is it at rest ? 이 두 문제는 meaningless because all constant velocity motion is relative. There is No universal frame of reference that can be used everywhere, no such thing as “ absolute motion ” Closed lab 에서 외부의 다른 기준계와 비교할 수 없기 때문에 그 lab 이 운동하는지 안 하는지 구별할 수 없다. “ 모든 공간에 적용할 수 있는 절대적인 기준계는 존재하지 않으므로 절대 운동이란 존재하지 않는다 ” Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

7. Postulates of special Relativity Two postulates 1. The laws of physics are the same in all inertial frames of reference. 2. The speed of light in free space has the same value in all inertial frames of reference. 1.1 SPECIAL RELATIVITY The theory of relativity 는 “ 절대적인 기준계가 존재하지 않는다 ” 는 결과와 관련 있다. Special relativity (1905) Treats problems that involve “ inertial frame of reference ” 관성기준계 문제를 다룸 General relativity(1916) Treats problems that involve frames of reference accelerated w.r.t one another. (elevator, roller coaster, etc) 다른 기준계에 대해 가속운동을 하는 기준계를 다룬 것 갈릴레이의 상대성 이론 : 움직이고 있는 배의 돛대에서 물건을 떨어뜨릴 때 배가 움직이고 있거나 정지하고 있거나 상관없이 곧 바로 앞에 떨어짐. 일정한 속도로 움직이고 있는 곳에서는 정지한 곳에서와 같은 낙하법칙이 적용 Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

8. 2. 빛의 속도는 모든 사람에게 동일. 실험결과로 직접 얻은 것임. The speed of light is the same to all observers without violating 상대성원리 v = 2 × 108 m/s c = 3 × 108 m/s c = 3 × 108 m/s Time & Space are not absolute but depends on the relative motion. (a) (b) (c) Figure 1.1 The speed of light is the same to all observers. 1.1 SPECIAL RELATIVITY 1. 상호간의 등속운동을 하고 있는 기준계에서 물리학의 법칙들은 모두 동일. ( 만일 물리 법칙이 상대운동을 하는 서로 다른 관측자에게 다르게 나타난다면 이 차이로 부터 어느 것이 공간에 정지해 있고 어느 것이 움직이는지 결정가능 ) 그러나 절대 기준계가 없기 때문에 이것은 자연계에 존재치 않음. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

9. Einstein 이전 : Newton’s laws of motion 은 Maxwell’s electricity & magnetism 과 차이가 생김. 전자기학에 의하면 빛의 속도는 어떤 좌표계에서도 동일, 정지한 빛은 없음. 뉴턴 역학과 전자기학의 방정식은 한 관성계에서의 측정값과 다른 관성계의 측정값들을 서로 변환시켜주는 방식에서 차이가 있다. Einstein 은 Maxwell 이론이 특수상대성이론과 일관성이 있음을 증명하였다. 상대론과 Newtonian mechanism은 물체의 속도가 광속보다 매우 작을 때 일치 1.1 SPECIAL RELATIVITY From the ground, if I were to measure the rate at which your clock ticks and the length of your meter stick. clock ticks ↓(slow) & meter stick is shorter in the direction of motion. To you ( in space shuttle ) , your clock & stick are the same To me , they are different because of the relative motion. 시간간격과 길이는 상대적인 양이고 광속은 모든 관측자에게 일정한 값임. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

10. Mirror A Glass plate Parallel light from single source Mirror B Half-silvered mirror Hypothetical ether current Viewing screen Figure 1.2 The Michelson-Morley experiment 1.1 SPECIAL RELATIVITY Einstein 전 : 우주는 빛을 전달하는 매질로 가득 차 있음. Ether 가 정지한 공간을 가정하고 그 안을 운동하는 지구는 Ether의 바람을 받는다고 생각. Michelson-Morley 는 Ether 의 존재를 확인하기 위해 실험 실시 실험 결과 1. Ether는 존재하지 않음 2. 빛의 속도는 모든 관측자에 대해 동일 지구의 공전궤도와 같은 방향으로 진행하는 빛은 Ether 의 바람을 정면으로 받음. 지구의 공전궤도와 수직 방향으로 진행하는 빛은 Ether 의 바람을 옆면으로 받음. 공전궤도 방향으로 왕복하는 빛과 수직방향으로 왕복하는 빛의 속도를 측정 그 차이를 구하려고 함. 빛의 속도변화를 찾지 못함. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

11. 1.2 Time Dilation 움직이는 시계는 정지한 시계보다 느리게 간다. Measurements of time intervals are affected by relative motion between an observer and what is observed. Spacecraft 를 타고 있는 사람이 spacecraft 내에서 일어난 두 사건의 시간 간격을t0로 측정했을 때 지상에서 관측한 시간은 그것보다 긴t 로 측정된다. t0 proper time ( 고유시간 ) : determined by events that occur of the same place in an observer’s frame of reference 지상 관측자에게는 위의 사건이 각각 다른 장소에서 발생하는 것으로 관측된다. 지상 관측자 입장에서는 측정한 시간간격이 고유시간 ( t0 ) 보다 길어진다. 이 현상을 time dilation ( 시간지연 ) 이라 한다. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

12. Figure 1.3 A simple clock. Each “ tick ” correspond to a round trip of the light pulse from the lower mirror to the upper one and back. 1.2 Time Dilation 두 거울 사이의 거리가 L0이고 빛이 아래 거울판을 때릴 때마다 시간간격을 측정할 수 있는 기구 설치 ( 2개 사용 ) 한 시계는 지상에 고정 시킴. 다른 한 시계는 속력 v 로 움직이는 우주선에 설치. 실험실에 있는 관측자가 두 개의 시계를 쳐다 볼때, 이 두 시계는 같은 간격으로 똑딱거리겠는가? Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

13. Figure 1.4 All light-pulse clock at rest on the ground as seen by an observer on the ground. The dial represents a conventional clock on the ground. 1.2 Time Dilation 지상 실험실내에 고정된 시계의 동작 t0/2 = L0/c 펄스가 왕복하는 시간간격 : t0 펄스가 한쪽거울에서 다른 쪽 거울로 가는 시간 : t0/2 고유시간 Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

14. 속도 v 로 움직이는 우주선에 설치된 시계를 지상에서 보았을 때의 상황 ? 시간간격 ( t ) , 지상관측자의 시간 t/2 동안에 빛은 수평방향으로 v(t/2) 만큼 이동 (우주선 속도). 빛의 이동경로의 총 거리는 c(t/2) 이다. Figure 1.5 A light-pulse clock in a spacecraft as seen by an observer on the ground. The mirrors are parallel to the direction of motion of the spacecraft. The dial represents a conventional clock on the ground. 1.2 Time Dilation Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

15. for moving object. t > t0 Moving clock in the spacecraft appear to tick at a slower rate than the stationary one in the ground. 1.2 Time Dilation 2L0/c 는 식 (1.1)에서 본 것처럼 지구상에서 정지한 시계에서 빛이 왕복하는 시간 간격 t0이므로 t0 = time interval on clock at rest relative to an observer t = time interval on clock in motion relative to an observer v = speed of relative motion c = speed of light Time Dilation Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

16. 만약 v 가 c 보다 크면 가 음수가 되며 가 허수가 된다 . 1.2 Time Dilation 우주선내의 관측자가 지상의 고정된 시계를 측정한 경우에도 똑같은 해석이 가능 우주선의 관측자가 보면 지상의 시계는 느리게 간다. 역시 (1.3) 식이 성립한다. 즉 한쪽 거울을 떠난 빛은 c 의 속도로는 다른 거울이 v 의 속도로 움직이기 때문에 도저히 도달 못함. 이와 같은 원리는 빛을 이용한 시계뿐만 아니라 기계식 시계에도 모두 적용됨. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

17. Ultimate speed limit. 다른 행성이 생명체가 있어도 빛의 속도보다 빠를 수 없기 때문에 만나기 힘듬. 만약 빛의 속도에 수천 수만 배까지 우주선이 달릴 수 있다면 아래그림의 모순이 생긴다. 우주선내에서는 우주선이 빛의 속도 이상으로 달리기 때문에 앞으로 빛을 비춰주면 지상에서는 빛이 뒤를 가는 것으로 목격됨. 우주선의 관성계에서의 물리법칙과 지상의 관성계에서의 법칙이 서로 다름  상대성 원리 위반 Figure 1.6 A person switches on a flashlight in a spacecraft assumed to be moving relative to the earth faster than light. (a) In the spacecraft frame, the light goes to the front of the spacecraft. (b) In the earth frame, the light goes to the back of the spacecraft. Time is a relative quantity → but does not run backward to any observer. A sequence of events occur at t1, t2, and t3. will appear in the same order to all observers 그러나 time interval t2-t1, t3-t2는 꼭 똑같지 않다. 1.2 Time Dilation C 보다 더 빨리 달릴 수 없음. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

18. Doppler effect in sound c : speed of sound v : speed of observer ( + for forward, - for away ) V : speed of source ( + for forward, - for away ) 1.3 Doppler Effect 왜 우주는 팽창한다고 믿어지는가? Doppler Effect : sound source 가 우리를 향해 접근 ( or 우리가 음원 쪽으로 접근 ) 소리 높이가 높아짐 sound source 가 우리로부터 멀어짐 ( or 우리가 음원으로부터 멀어짐 ) 소리 높이가 낮아짐 Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

19. ( V ) ( v ) 소리의 Doppler 효과는 음원이 운동하는가 관측자가 운동하는가 혹은 둘 다 운동하는가에 따라 달라진다. 1.3 Doppler Effect 상대성원리를 violate 하는 것 같지만 소리는 material medium 을 통해 전파하기 때문, 이 medium 자체가 frame of reference 역할을 함. ( 상대성원리에서는 음원과 관측자의 상대적 운동만 고려하면 됨.) 빛의 속도는 일정하기 때문 But sound waves occur only in a material medium such as air & water, and this medium itself is a frame of reference wrt motion of source & observer. In the case of light, No medium is involved only relative motion of source & observer is meaningful. Doppler effect in light must differ from that in sound. 3가지 경우의 빛의 Doppler effect.( this v0 times per second ) 뒤참조 Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

20. 1.3 Doppler Effect Figure 1.7 The frequency of the light seen by an observer depends on the direction and speed of the observer’s motion relative to its source. • Observer moving perpendicular to a line between him and the light source proper time between ticks → t0 = 1/v0 관측자의 기준계에서 측정한 시간 관측자가 관측한 진동수 빛의 가로 Doppler 효과 observed frequency ( υ ) is always lower than the source frequency ( υ0 ) Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

21. Total time between the arrival of successive waves the observed frequency is observed frequency (υ) < source frequency (υ0) 1.3 Doppler Effect 2. Observer receding from the light source observer travels the distance vt away from the source between ticks means light wave from a given tick takes vt/c longer to reach him. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

22. 3. Observer approaching the light source Observer 가 광원 쪽으로 vt 만큼 이동 light wave 가 observer 에 도달하는데 vt/c 만큼 감소 T = t – vt/c 관측된 진동수 observed frequency (υ) > source frequency (υ0) 1.3 Doppler Effect Unlike sound, it makes no difference whether the observer is moving away from the source or the source is moving away from the observer. 소리에서는 source의 속도(V)와 observer 의 속도 (v) 에 따라 달라지지만, 빛에서는 source 와 observer 의 상대적 운동 (v) 만 고려. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

23. The Expanding Universe 1.3 Doppler Effect Longitudinal doppler effect in light v : + for source & observer approaching each other. - for source & observer receding from each other. visible light → electromagnetic wave Electromagnetic waves ( 라디오나 레이져에 사용됨)는 Doppler 효과를 나타내기 때문에 경찰이 speed gun 으로 차의 speed 를 측정 → ticket The Doppler effect in light is an important tool in astronomy. 별들은 분광선 (spectral line) 이라는 어떤 특정한 진동수의 빛을 방출 지구로 접근 하거나 멀어지거나 (운동)에 따라 진동수가 Doppler 이동한다. 먼 galaxies(은하임 각 개개의 별이 아님) 의 별들은 낮은 진동수( 적색 )로 이동 ( 적색편이 red shift ) Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

24. 1.3 Doppler Effect Indicate that the galaxies are receding from us & from one another Suggests that the entire universe is expanding 이러한 비례관계를 Hubble’s law 라 한다. This expansion approximately began about 130억년전 → Big Bang gravitational forces are slowing the expansion down and eventually cause it to stop the universe will then collapse into a Big Crunch Followed by another big bang. 만약 Big bang 과 Big crunch 가 계속 되지 않으면 팽창속력은 점차 감소될지 몰라도 우주팽창은 영원히 지속될 것이다. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

25. 1.4 Length Contraction 빠를수록 짧아진다. Measurements lengths as well as times intervals are affected by relative motion. Proper length ( 고유길이 ) : 한 물체가 고정되어 있는 정지 기준계에서의 길이 (L0) 예) muon : 전자 질량에 207배 전하량은 +e or –e 평균수명 : 2.2µs ( 2.2 × 10-6s ) 속력 : 2.994 × 108m/s( 0.998c ) muon : 빠른 우주선 입자(주로 양성자)들이 대기권 상층부에서 원자핵과 충돌했을 때 생성되는 불안정한 입자 muon 이 average lifetime 2.2µs 동안 움직일 수 있는 거리 vt0 = ( 2.994 × 108m/s ) · ( 2.2 × 10-6 sec ) = 6.6 × 102 m = 0.66km muon 을 지표상에서 관찰 가능하다는 것은 이것이 지상 660m 정도에서 생성되었다는 것인데 실제로는 6km 이상 지역에서 생성된다. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

26. muon 은 자신의 기준계에서는 수명이 2.2µs 이지만 지상 기준계에서 본 muon의 수명은 34.8µs 로 증가됨. 만일 어떤 사람이 muon 과 함께 낙하운동을 한다면 muon 은 상대적으로 정지하여 있는 것으로 보인다. The observer and the muon are in the same frame of reference in the frame the moun’s lifetime is 2.2µs to the observer, the muon travels only 0.66km before decaying 1.4 Length Contraction To solve this paradox Muon은 0.998c 의 속도로 운동하기 때문에 their lifetimes are extended in our frame of reference by time dilation vt = ( 2.994 × 108m/s ) · ( 34.8 × 10-6s ) = 10.4km Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

27. 1.4 Length Contraction ( 그럼 observer 입장에서 지상 6km 이상에서 생성된 muon 이 지표에 도달하는 것을 설명할 수 있는 방법은 ? → Muon 의 이동거리가 자신의 운동 때문에 짧아졌음.) → 즉 지상 관측자가 측정한 수명은 비율로 늘어났지만 muon과 같은 기준계의 관측자에게는 길이가 만큼 짧아졌다. 즉 지상에서는 10.4km 의 거리가 0.998c 로 운동하는 muon 에게는 660m 로 짧아졌다는 것임. Figure 1.9 Muon decay as seen by different observers. The muon size is greatly exaggerated here ; in fact, the muon seems likely to be a point paricle with no extenion in space. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

28. 1.4 Length Contraction 따라서 지상관측자가 측정한 높이 h0와 muon’s frame of reference 에서 측정한 높이 h 와의 관계. 지상에서 h0 = 10.4km 이러한 상대론적 거리수축은 운동방향으로의 길이 수축과 같다. Length contraction Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

29. v/c 에 대한 L/L0의 관계곡선 → 속도가 광속에 접근해야 길이수축 효과가 명백히 나타남. Figure 1.10 Relativistic length contraction. Only lengths in the direction of motion are affected. The horizontal is logarithmic. like time dilation, the length contraction is a reciprocal effect. To a person in a spacecraft, the objects on the earth appear shorter by the same factor of 1.4 Length Contraction Figure 1.10 Relativistic length contraction. Only length in the direction of motion are affected. The proper length (L0) found in the rest frame is the max. length any observer will measure. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

30. 1.5 Twin Paradox 수명은 길어지지만 길게 느껴지지는 않는다. Famous relativistic effect known as the twin paradox. 2개의 완전히 똑같은 시계 한 개는 지구에 다른 한 개는 우주선 ( 속력v 로 운동 ) 쌍둥이 Dick & Jane, → 20세 때 Dick 이 0.8c 속력으로 20광년 떨어진 곳으로 여행시작 Jane 은 지구에 닳아 있음 Dick’s life is slower than hers by a factor of = 0.6 = 60% Dick’s heart beats 3 times for every 5 beats of Jane’s. 50년 후 ( 지구시간 ) Dick return → Dick 50살, Jane 70살 Figure 1.11 An astronaut who returns from a space voyage will be younger than his or her twin who remains on earth. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

31. Dick의 기준계에서 상황을 살펴보면 → Jane 이 0.8c 의 속력으로 상대운동을 하므로 Dick 이 지구상에 왔을 때 Dick 이 70세 이고 Jane 이 50세 아닐까? 그러나 이상형은 Dick 의 경우 지구를 출발하여 별에 도착한 후 되돌아 오 기까지 하나의 관성기준계에서 다른 관성기준계로 변환을 거듭하였다. 그러나, Jane 은 같은 관성기준계에 계속 있었으므로 Dick 의 관측에서는 time dilation 이 적용되지 않는다. 즉, Dick 의 기준계와 Jane 의 기준계가 서로 동등하지 않다. ( 우주선 ) = - = - - = 2 2 2 2 L L 1 v / c ( 20 light years ) 1 ( 0 . 8 c ) / c 12 light years 0 1.5 Twin Paradox To look at Dick’s voyage from his perspective, distance L is shorten Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

32. 20 광년이 L 이 12광년으로 줄어들고 0.8c 로 달릴 때 결국 15years 걸림. - 1년에 한번씩 서로 신호를 보내면 - To Dick : voyage to star 15years → 15/3 → 5 signals from Jane voyage to black 15years → 15/(1/3) → 45 signals from Jane. total 50 signals Dick thinks Jane is 70 year-old To Jane : Dick need 25 years for the outward trip 25 years + 20 years → 45years ( 45/3 = 15 signals ) remaining 5 years → 5/(1/3) = 15 signals 1.5 Twin Paradox Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

33. 1.6 Electricity and Magnetism 상대론이 연결해 준다. One of puzzles ( Einstein ) connection between electricity & magnetism Moving charge 의 상호 작용은 magnetic force 를 발생시킴 예) 수소전자내에 양성자(proton) 와 전자 사이의 전기적 인력은 그들 사이의 중력에 1039배나 더 크다. → 미소한 변화도 큰 결과를 초래 Electric charge is relativistically invariant 한 기준계에서 전하량이 Q 로 관측된 전하는 다른 기준계에서도 Q 이다. (a) 등간격으로 같은 개수의 양과 음전하가 정지해 있다. 두 도체는 전기적으로 중성 → No force between them. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

34. 1.6 Electricity and Magnetism b) 전류 iⅠ과 iⅡ가 같은 방향으로 흐름. 양전하는 →, 음전하는 ← : 두 전하의 속도 :v 실험실 기준에서 보면 전하가 운동하고 있기 때문에 space는 정지 때보다 만큼 줄어듬. 두 도체는 전기적으로 중성을 유지 하지만 서로 끌어 당긴다. Why? c) 도체 I 의 하나의 음전하 기준계에서 도체 Ⅱ를 관찰. 관측대상은 도체 Ⅱ의 ○(음전하)는 정지상태로 보이고, ●(양전하) 는 2v의 속력으로 운동한다. 따라서 +ve charge의 spacing 이 줄어들고 도체 Ⅱ는 전체적으로 + ve charge 를 띤다. → attractive force acts on –ve charge in conductor I . Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

35. 1.6 Electricity and Magnetism • 도체 I 의 양전하 기준계에서 도체 Ⅱ 를 관찰 • +ve charge in conductor Ⅱ are now at rest, -ve charge moves speed 2v • -ve charge are closer together than +ve • conductor Ⅱ appears to have a net –ve charge • attractive force acts on +ve charge in conductor I . From the laboratory frame, the situation is less straight forward. Both conductors ( I , Ⅱ ) are electrically neutral → it is natural to explain their mutual attraction by “ Magnetic” interaction between the currents. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

36. 1.7 Relativistic Momentum 중요한 물리량의 재정의 When a force is applied to an object free to move 그 힘은 object 에 일을 공급하며 kinetic E 를 증가시킨다. → 그 결과 object는 계속 빨라진다. 그러나 빛의 속도이상으로 빨라질 수 없기 때문에 속력은 끝이 없이 증가할 수 없다. → 에너지 보존의 법칙에 의해 v 가 c 를 초과는 못하지만 kinetic E 가 계속 증가 하도록 object 의 speed 와 mass가증가한다. To investigate what happens to the mass of an object as its speed increases. → consider elastic collision between two particles A & B. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

37. y` Y VA s x s` X’ z z` B Collision as seen from frame S: A Collision as seen from frame S`: B A 1.7 Relativistic Momentum y V’B 물체의 속도가 증가함에 따라 질량에 어떤 변화가 있는지 조사 두 입자 A , B 는 탄성충돌을 한다고 고려. 등속 상대운동(uniform relative motion) 을 하는 두 관측자 S, S’ 입장에서 생각. S’는 S 에 대해 +x 방향으로 V의 속도로 운동 중. Before collision A is at rest in frame S B is at rest in frame S’ A 는 +y 방향으로 VA로 던져졌고, B는 –y 방향으로 V’B로 던져졌다. VA = V’B ( 1.10) Figure 1.13 An elastic collision as observed in two different frames of reference. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

38. 1.7 Relativistic Momentum Behaving of A in S is exactly the same as the behavier B in S’ when two particles collide A rebounds in – y direction at VA B rebounds in +y’ direction at V’B round trip time to for A in frame S T0 = Y / VA (1.11) (To는 기준계 S에서 A가 원래의 위치로 돌아가는데 필요한 시간) It is the same for B in frame S’ T0 = Y / V’B If linear momentum is conserved in the S frame mAVA = mBVB 위 값은 모두 S 기준계에서 측정된 값임. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

39. 1.7 Relativistic Momentum 기준계 “S”에서 B(S’기준계)의 속력 VB는 VB = Y / T 임---- ( 1. 12 ) T : 기준계 S에서 측정했을 때 B가 원래 위치로 돌아가는 시간. In “S’”, however B’s trip requires the time T0. p=mv 위 결과는, 계 S 에서 측정한 두 입자의 질량 mA와 mB가 만약 mA=mB이면 운동량이 보존되지 않는다는 것을 의미한다. 이면 운동량이 보존될 것이다. 그러나 Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

40. 1.7 Relativistic Momentum A 와 B 는 한 관측자에 대해 정지해 있을 때 동일, mA와 mB의 차이는 space 와 time 의 측정값과 마찬가지로 질량측정값도 observer 와 관측대상사이의 상대속력에 의존. 그림 1.13의 충돌에서 A & B are moving in S ( B approach to A with velocity of v) 만약 질량 m 을 A 가 정지해 있을 때의 질량이라 하면, VA=0 인 극한에서 mA=m 이다. VB’=0 인 극한에서 만약 m(v) 를 속력 v 로 움직이는 B 의 계 S 에서의 질량이라 하면 mB=m(v)가 된다. 그러므로 식 (1.14) 는 가 된다. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

41. 1.7 Relativistic Momentum 만약 선운동량을 상대론적 운동량 으로 정의하면 특수 상대성이론에서도 선운동량이 보존됨을 우리는 볼 수 있다. v « c 일 때 식 (1.16) 은 요구되는대로 고전적 운동량 p=mv 로 환원된다. 상대론적 운동량 m : 한 대상물질의 고유질량(혹은 정지질량)이고, 관측자에 대해 정지해 있을 때 잰 질량이다 Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

42. 1.7 Relativistic Momentum 상대론적 질량 ( in S’ mA = m, mB = m0 ) ( A approach B with velocity of v in S’ frame ) 지상에서 관측 시 우주선의 길이는 짧아지고 질량은 커짐. 우주선내의 관측자가 지상의 정지중인 우주선을 보면 길이는 짧아지고 질량은 커짐. p 가 v/c 에 대해 어떻게 변하는지 γmv와 mv 두 경우에 나타내었다. v/c 가 작을 때는 γmv 와 mv 경우에서의 변화는 거의 같음. v 가 c 에 접근할수록 γmv 곡선은 매우 급하게 상승한다. 만약 v=c 이면 p= γmv=∞ 가 되어서 불가능한 일이 되고, 우리는 어떠한 물질이라도 빛과 같이 빠르게 움직일 수는 없다고 결론 지운다. Figure 1.14 The relativity of mass. Since m = ∞ when v = c, no material object can equal the speed of light in free space. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

43. 1.7 Relativistic Momentum 지구에 대해 v1=0.5c 로 날고 있는 우주선에서 v2=0.5c 인 발사체를 같은 방향으로 발사하면? 지구에 있는 우리는 발사체의 속력을 0.5c + 0.5c = c 라고 예측 그러나 0.8c 밖에 되지 않는다. 상대론적 제 2법칙 상대론에서의 Newton 의 제2법칙은 이 관계는 γ가 v 의 함수이므로, 고전적인 식 F = ma 보다는 더 복잡하다. v « c 일 때는 γ값이 거의 1로 되어서 F 는 거의 mv와 동일하게 된다. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

44. 1.8 Mass and Energy Eo = mc2는 어디에서 연유하는가? From elementary physics W = F • S W : work done on an object F : force S : distance If no other forces act on the object & the object starts from rest → all the work done on it becomes kinetic E, so K.E = F•S if F is not a constant. Kinetic energy Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

45. 1.8 Mass and Energy In nonrelativistic physics K.E. = 1/2 m0v2 m0 : rest mass, v : speed To find the correct relativistic formula for KE ( from eq. 1.18 ) 식을 이용하여 Kinetic Energy Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

46. 1.8 Mass and Energy Total energy E = gmc2=mc2 + KE (1.21) gmc2 = total energy mc2 = rest energy E = E0 + KE Rest energy E0 = mc2 (1.22) If an object is moving , its total energy is 질량과 에너지는 서로 독립적인 양이 아님 → 질량보존의 법칙과 에너지 보존의 법칙을 서로 독립적인 것이 아니고 → principle of conservation of mass energy 로 통일 mass가 created 되거나 destroy 되면 같은 양의 energy 가 없어지거나 생성됨. → 즉 mass and energy are different aspects of the same thing. Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

47. Kinetic Energy at Low Speeds. 1.8 Mass and Energy Relativistic formula for KE is If v « c v2 / c2 « 1 (1+x)n ≈ 1 + nx valid for | x | « 1 v « c The result v « c Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

48. Figure 1.16 A comparison between the classical and relativistic formulas for the ratio between kinetic energy KE of a moving body and its rest energy m0c2 1.8 Mass and Energy At low speed, the relativistic expression for KE ≈ classical KE 고전적인 공식 1/2mv2→ 일반물체의 KE 구하는데 무방 소립자등 매우 빠르게 움직이는 입자에서는 고전적인 1/2mv2은 부적합 고전역학과 상대론적 역학에서 KE 가 v 의 변화 Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

49. 1.9 Energy and Momentum 상대론에서 어떻게 서로 연결되는가? 입자의 총 에너지, 정지 에너지, 그리고 운동량들 사이에 어떤 관계가 있는지 알아보자. 제곱 운동량은 식 (1.17)로 부터, 운동량 Semiconductor Materials Lab. Hanyang University

50. Massless Particles 1.9 Energy and Momentum E2에서 p2c2을 빼면 에너지와 운동량 한 입자에 대해 mc2이 불변이므로 E2-p2c2도 불변이며, 모든 기준계에서 같은 값을 가짐에 주목하라. Massless particles, 좀더 정확히, No rest mass particle 이 존재 가능한가? 고전론: a particle must have a rest mass in order to have energy and momentum 상대론적 역학: this requirement does not hold. From the relativistic formulas for total E & linear momentum Semiconductor Materials Lab. Hanyang University