Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Zawodowych im. Gerharda Domagka • ID grupy:97_47_mf_g1 • Opiekun: mgr Anna Kwaśnicka • Kompetencja: • Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • Elementy geometrii trójkąta • Semestr/rok szkolny: • V 2011/2012

3. Opis zadań • Trójkąt jest jedną z podstawowych figur geometrycznych, znana każdemu uczniowi od najmłodszych lat . Mimo swojej prostoty w formie posiada niezwykle wiele własności . Wśród najbardziej znanych są: • twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych • nierówność trójkąta • twierdzenie Pitagorasa

4. Opis zadań • Głównym zadaniem tego projektu jest wyszukanie i opracowanie wybranych informacji o własnościach trójkąta i ich zastosowaniach do rozwiązywania zadań z geometrii życia codziennego.

5. Spis treści • Powtórzenie wiadomości o podstawowych pojęciach i metodach geometrii • Znane własności trójkątów • Wybrane proste, punkty i odcinki w trójkącie • Twierdzenie Cevy i Menelausa

6. Trójkąt - definicja • Trójkąt jest to wielokąt o trzech • bokach. Jest to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów). • Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki. • Często dla wygody jeden z boków trójkąta nazywa się podstawą, a pozostałe – ramionami.

7. Trójkąt - definicja • a, b , c – długości boków trójkąta • A, B, C – wierzchołki trójkąta • α, β, γ- kąty wewnętrzne trójkąta

8. TWIERDZENIA O ODCINKACH, PROSTYCH I CHARAKTERYSTYCZNYCH PUNKTACH TRÓJKĄTA

9. wysokość • Wysokośćtrójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok. Słowem "wysokość" często też nazywany jest odcinek wysokości, łączący wierzchołek z punktem na prostej zawierającej przeciwległy bok; długość tego odcinka też nazywa się wysokością. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrumtego trójkąta.

10. Środkowa, środek ciężkości • Środkowatrójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem ciężkości (środkiem masy, barycentrum) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

11. symetralna • Symetralnaboku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

12. Punkt nagela • Punkt Nagela jest to punkt w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

13. symediana • Symedianajest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

14. dwusieczna • Dwusiecznekątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt

15. Punkt gergonne’a • Punkt Gergonne'a jest to punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

16. Punkty brocarda • Punkty Brocarda - w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.

17. Punkt fermata • Punkt Fermata (punkt Torricellego) jest to punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych. • Pierwszy raz problem konstrukcji • takiego punktu został rozwiązany • przez Fermata w prywatnym liście.

18. Konstrukcja punktu fermata • W przypadku, gdy wszystkie kąty trójkąta mają miary mniejsze niż 120°, punkt Fermata jest punktem przecięcia odcinków łączących wierzchołki trójkąta z tymi wierzchołkami trójkątów równobocznych zbudowanych na przeciwległych bokach, które nie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta. • Gdy jeden z kątów ma miarę co najmniej 120°, łatwo zauważyć (z nierówności trójkąta), że wierzchołek przy kącie rozwartym ma mniejszą sumę odległości od wierzchołków, niż punkt otrzymany w powyższej konstrukcji. Wierzchołek ten ma wtedy najmniejszą możliwą z takich sum.

19. właściwości • Punkt Fermata jest jednocześnie punktem przecięcia okręgów opisanych na trójkątach równobocznych • Z punktu Fermata każdy bok widać pod tym samym kątem 120°. • Odcinki zaznaczone na rysunku na czerwono mają równe długości.

20. Punkt napoleona • Każdy trójkąt posiada punkt nazywany środkiem ciężkości. • Problem Napoleona: "Weźmy dowolny trójkąt, na jego bokach wybudujmy trójkąty równoboczne, wyznaczmy środki ciężkości nowo powstałych trójkątów, połączmy je i zaobserwujmy czym będzie nowo powstała figura."

21. Punkt napoleona • Niech wyjściowy trójkąt będzie równoboczny.    1. Za pomocą cyrkla zbudujmy trójkąt równoboczny.   2. Na jego bokach tym samym sposobem zbudujmy kolejne trzy trójkąty równoboczne (na każdym boku mogą powstać dwa trójkąty, ale zajmijmy się tylko tymi, które są "na zewnątrz" wyjściowego trójkąta).   3. Wyznaczmy środki przynajmniej dwóch boków każdego nowego trójkąta.   4. Połączmy powstałe punkty z przeciwległymi wierzchołkami tworząc środkowe.   5. Oznaczmy przecięcia środkowych jako środki ciężkości i połączmy je.

22. Twierdzenie napoleona • Twierdzenie Napoleona jest to twierdzenie geometryczne orzekające, że: • ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego. • Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia. • rys. ilustracja tw. Napoleona

23. dowód • Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta ΔABC są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 60° oraz • stąd • ponieważ • więc i są podobne. Zatem: • Analogicznie pokazujemy, że i są podobne, więc: • Stąd | LN | = | MN | . Analogicznie pokazujemy, że | LN | = | LM | , • więc jest równoboczny. Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

24. Okrąg dopisany • Okrąg dopisany do trójkąta jest to okrąg styczny do jednego z boków trójkąta i przedłużeń dwóch pozostałych boków. Jego środek znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych odpowiednich kątów zewnętrznych. Okrąg ten ma dokładnie jeden punkt wspólny z trójkątem.

25. Pole trójkąta • Przyjmując ra - promień okręgu dopisanego naprzeciw wierzchołka A oraz a,b,c - boki naprzeciw odpowiednich wierzchołków, otrzymujemy wzór na pole trójkąta:

26. dowód • Przedłużając boki b i :c oraz prowadząc prostą styczną do okręgu dopisanego przecinającą te przedłużenia uzyskujemy trójkąt AB'C', dla którego jest to okrąg wpisany. Jest on również wpisany w czworokąt BCC'B'. Pole większego trójkąta wyraża się wzorem: • a czworokąta: • Pole trójkąta jest różnica tych pól.

27. Okrąg dziewięciu punktów Okrąg dziewięciu punktów znany także jako okrąg Feuerbacha lub okrąg Eulera jest to okrąg, który przechodzi przez środki boków (na rysunku niebieskie) dowolnego trójkąta. Okrąg Feuerbacha przechodzi ponadto przez spodki trzech wysokości (czerwone) oraz przez punkty (zielone) dzielące na połowy trzy odcinki, które łączą wierzchołki tego trójkąta z jego ortocentrum. Środek okręgu Feuerbacha leży na prostej Eulera i jest środkiem odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, zaś jego promień jest równy połowie promienia okręgu opisanego.

28. dowód • Zauważmy, że odcinek C'SC jest średnicą okręgu opisanego na ΔC'SCHC, bo • jest prosty(kąt między bokiem a wysokością na niego opuszczoną), więc jest oparty na średnicy. • gdzie H jest jego ortocentrum.

29. dowód • Zatem SCB'||AHA. • więc B'C'||CB. • Zatem • więc punkty SC,B',C',HC leżą na jednym okręgu.

30. dowód • Podobnie SCA'||BHB oraz A'C'||CA, więc • czyli punkt A' również leży na okręgu opisanym na ΔC'SCHC. Zatem SC,HC leżą na okręgu opisanym na ΔA'B'C'. • Analogicznie otrzymujemy, że na tym okręgu leżą SB,HB oraz SA,HA • Z czego wynika, że wszystkie dziewięć punktów leży na jednym okręgu.

31. Własności trójkąta • W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°

32. Własności trójkąta • 2. W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą a, b i c, zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta: • Trójkąt o bokach, których długości wynoszą a, b i c, istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci:

33. Klasyfikacja trójkątów • Trójkąty można dzielić ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary ich kątów. • Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się: • trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości; • trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości; • trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości; w tym przypadku też wszystkie jego kąty są tej samej miary.

34. Klasyfikacja trójkątów • Od lewej przedstawione są trójkąty: różnoboczny, równoramienny i równoboczny.

35. Klasyfikacja trójkątów • Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się: • trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre; • trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (a więc pozostałe sumują się do kąta prostego); boki tworzące kąt prosty nazywa się przyprostokątnymi, pozostały bok nosi nazwę przeciwprostokątnej; przeciwprostokątna zawsze jest dłuższa od każdej przyprostokątnej; • trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.

36. Klasyfikacja trójkątów • Od lewej przedstawione są trójkąty: ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny

37. Klasyfikacja trójkątów • Trójkąty można dzielić również ze względu na inne relacje równoważności, np. podobieństwo, przystawanie.

38. podobieństwo • Podobieństwo jest to przekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów. Także relacja równoważności utożsamiająca figury geometryczne, które nazywane są wtedy podobnymi, o ile istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną na drugą. • Figurami podobnymi są dowolne dwa odcinki, dwa okręgi, koła, sfery, kule, wielokąty foremne o tej samej liczbie boków, wielościany foremne o tej samej liczbie ścian, parabole.

39. Trójkąty podobne i cechy podobieństwa • Cechy podobieństwa trójkątów, to warunki konieczne i wystarczające na to, aby dwa trójkąty były podobne. • Podobieństwo trójkątów oznaczamy symbolem ~

40. I cecha podobieństwa trójkątów • Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są • podobne ( Cecha bbb ).

41. II cecha podobieństwa trójkątów • Jeżeli miary dwóch kątów jednego trójkąta są równe miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne ( Cecha kkk ) .

42. III cecha podobieństwa trójkątów • Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi • zawarte są przystające, to trójkąty są podobne • ( Cecha bkb ).

43. Figury jednokładne • Jednokładność, homotetia o środku r i niezerowej skali k jest to odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni określone następująco: • Z definicji w szczególności wynika, że: • Liczba k nazywana jest także stosunkiem jednokładności.

44. jednokładność • Rysunek obok przedstawia obraz trójkąta ABC w jednokładności o środku O i skali 5/3

45. jednokładność • Dla k=1 jednokładność jest odwzorowaniem tożsamościowym, dla k = -1 jednokładność jest symetrią środkową o środku r. • UWAGA! • Każda jednokładność jest podobieństwem o skali |k|.

46. Własność jednokładności • Ważną własnością jednokładności jest to, że dowolne podobieństwo na płaszczyźnie, w przestrzeni itd. jest złożeniem pewnej izometrii i pewnej jednokładności.

47. TWIERDZENIA ZWIĄZANE Z TRÓJKĄTEM

48. TWIERDZENIE PITAGORASA • W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość

49. TWIERDZENIE PITAGORASA GEOMETRYCZNIE • Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. • W sytuacji na rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu kwadratu "fioletowego".

50. TWIERDZENIE tALESA • Jeżeli ramiona kąta przecięte są prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.