Università degli studi di salerno

1. Facoltà di Ingengneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI I Seconda Esercitazione Progettuale PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. Università degli studi di salerno CARMINE LIMA e-mail: clima@unisa.it url: www.carminelima.eu Anno Accademico 2009 / 2010

2. TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010 Analisi delle Sollecitazioni secondo il Metodo dei vincoli ausiliari. UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI I – a.a. 2008/2009 A cura di: ENZO MARTINELLI www.enzomartinelli.eu a cura di: Carmine Lima

3. TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Soluzione Esempio: Combinazione di carico n.2 (S) Vincoli ausiliari (carrelli ad asse orizz.) Cedimento di imposto al carrello i-esimo R3(3) R3(1) R3(2) R3(0) UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. R2(0) R2(1) R2(2) R2(3) a1 a2 a3 R1(3) R1(1) R1(2) R1(0) (S0) (S1) (S2) (S3) La soluzione dello schema S può essere ottenuta per sovrapposizione delle soluzioni Si imponendo che le reazioni dei vincoli ausiliari siano nulli: Ri(j): reazione del vincolo ausiliare i-esimo sullo schema j-esimo a cura di: Carmine Lima

4. TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Si ottiene un sistema di tre equazioni (ognuna relativa ad uno dei vincoli ausiliari) da cui si possono trarre i valori dei coefficienti di combinazione aj: Con riferimento a questa terna di valori, noti i parametri della soluzione S0 e delle soluzioni degli schemi Si, è possibile valutare tutti i parametri della soluzione dello schema S. Ad esempio il generico momento Mij si valuta per combinazione come segue: UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. Per attuare questo procedimento, ovviamente, è necessario risolvere gli schemi S0 e gli schemi Sj. Si tratta di schemi a “nodi fissi” nel senso che, per ognuno, si conoscono a priori i valori degli spostamenti di piano. Per lo Schema S0 (sul quale sono applicate le azioni che caratterizzano la combinazione di carico in oggetto) gli spostamenti sono nulli per effetto della presenza dei vincoli ausiliari; sullo schema Sj si impone al solo carrello j-esimo uno spostamento orizzontale. Su tutti gli schemi si valutano gli effetti delle azioni (carichi e cedimenti) dapprima in termini di momento e poi valutando i tagli (per equilibrio d’asta) e sforzi normali (per equilibrio di nodo). Dall’imposizione degli equilibri di nodo si desumono pure le reazioni dei vincoli ausiliari a cura di: Carmine Lima

5. TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI Il calcolo delle caratteristiche della sollecitazione con il metodo di Hardy-Cross con i vincoli ausiliari prevede, per ogni combinazione di carico considerata, la soluzione dello schema a nodi fissi S0ed un numero di schemi Sj a nodi traslati pari al numero di nodi spostabili che caratterizza la struttura. Si osserva che, volendo analizzare più combinazioni di carico, gli schemi a nodi traslati sarebbero gli stessi dal momento che essi attengono soltanto allo schema strutturale e non ai carichi applicati. Pertanto, andrebbe soltanto risolto lo schema a nodi fissi relativo alla combinazione di carico in oggetto le cui soluzioni in termini di reazioni dei vincoli ausiliari potrebbero essere utilizzate per il calcolo della terna di valori (a1, a2, a3) relativa alla combinazione in oggetto. UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. E’ opportuno che il valore dello spostamento d da assegnare agli schemi Sj sia scelto in modo da generare momenti di incastro perfetto sui pilastri dello stesso ordine di grandezza di quelli che si trovano sulle travi nello schema S0 per effetto dei carichi. a cura di: Carmine Lima

6. TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010 METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. Momenti di incastro perfetto 4,5= -62,07 kNm 5,4= 62,07 kNm 5,6= -76,63 kNm 6,5= 76,63 kNm 7,8= -62,07 kNm 8,7= 62,07 kNm 8,9= -76,63 kNm 9,8= 76,63 kNm 10,11= -48,87 kNm 11,10= 48,87 kNm 11,12= -60,33 kNm 12,11= 60,33 kNm a cura di: Carmine Lima

7. SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI I a.a. 2008/2009 A cura di: ENZO MARTINELLI www.enzomartinelli.eu - coefficienti di ripartizione nei varinodi - coefficienti di trasporto per le varie aste - momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste

8. SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI I a.a. 2008/2009 A cura di: ENZO MARTINELLI www.enzomartinelli.eu Trasporto sull’asta 10-11 Equilibrio del nodo 10 24.53 12.27 24.34 Trasporto sull’asta 10-7 12.17

9. SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI I a.a. 2008/2009 A cura di: ENZO MARTINELLI www.enzomartinelli.eu Trasporto sull’asta 11-12 Equilibrio del nodo 11 -0.10 -0.21 -0.19 -0.09 Trasporto sull’asta 11-10 -0.41 Trasporto sull’asta 11-8 -0.21

10. SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0 Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI I a.a. 2008/2009 A cura di: ENZO MARTINELLI www.enzomartinelli.eu Trasporto sull’asta 12-11 Equilibrio del nodo 12 -28.65 -14.33 -31.59 Trasporto sull’asta 12-9 -15.79

11. SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0Soluzione a convergenza Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI I a.a. 2008/2009 A cura di: ENZO MARTINELLI www.enzomartinelli.eu Si procede con il “giro” senza tornare su un nodo prima che non siano stati equilibrati tutti gli altri. La convergenza è raggiunta quando gli squilibri nodali sono non maggiori di 0.01 kNm

12. SOLUZIONE DELLO SCHEMA S0Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010 UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. a cura di: Carmine Lima

13. SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI I a.a. 2008/2009 A cura di: ENZO MARTINELLI www.enzomartinelli.eu - coefficienti di ripartizione nei varinodi - coefficienti di trasporto per le varie aste - momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste

14. SOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj: Calcolo dei momenti Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI I a.a. 2008/2009 A cura di: ENZO MARTINELLI www.enzomartinelli.eu

15. SOLUZIONE DELLO SCHEMA SjA NODI TRASLATICalcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010 UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. a cura di: Carmine Lima

16. SOLUZIONE CON IL METODO DEI VINCOLI AUSILIARI TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010 A questo punto, note le reazioni dei vincoli ausiliari calcolate sullo schema S0 (e dovute ai carichi agenti su S) e sui tre schemi Sj, si possono determinare i valori numerici dei coefficienti aj che rendono nulle le reazioni dei vincoli ausiliari: UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. Reazioni sullo schema S2 Reazioni sullo schema S0 (cambiate di segno) a cura di: Carmine Lima

17. Soluzione secondo il Metodo dei Vincoli Ausiliari TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010 UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. Momenti in tm a cura di: Carmine Lima

18. DIAGRAMMI DEI MOMENTI PER LE TRE COMBINAZIONI DI CARICO TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010 UNIVERSITà DEGLI STUDI DI SALERNO SECONDA ESERCITAZIONE PROGETTUALE – PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A. a cura di: Carmine Lima