ESTATÍSTICA
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ESTATÍSTICA. UDIII - Relação Entre Duas ou Mais Variáveis. ESTATÍSTICA. Ass 01: Regressão Simples. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Calcular a reta de regressão de Y sobe X utilizando o critério dos mínimos quadrados. Grafar a reta de regressão. Usar a reta de regressão para fazer predições.

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Udiii rela o entre duas ou mais vari veis

UDIII - Relação Entre Duas ou Mais Variáveis

ESTATÍSTICA

Ass 01:Regressão Simples


Objetivos espec ficos
OBJETIVOS ESPECÍFICOS

  • Calcular a reta de regressão de Y sobe X utilizando o critério dos mínimos quadrados

  • Grafar a reta de regressão

  • Usar a reta de regressão para fazer predições


Estat stica

SUMÁRIO

1- Introdução

2. Ajustamento de Uma reta de Mínimos Quadrados


Estat stica

1. Introdução

Na prática, quase sempre interessa-nos estudar muito mais do que uma simples característica isolada de uma variável, como, por exemplo, sua média.

O que queremos saber é como a variável aleatória está relacionada com outras variáveis: é isto que os estatísticos chama de regressão.

Consideremos como uma safra de trigo (Y) depende da quantidade de fertilizante (X).


Estat stica

Y

Safra (bu/acre)

100

200

300

400

500

600

700

X

Fertilizante (lb/acre)

Fig 1- Relação observada entre a safra de trigo (X) e a aplicação de fertilizante (Y), em 35 lotes experimentais


Estat stica

1. Introdução

O caso mais simples:

Y está relacionada com uma única variável X por uma linha reta

regressão simples de Y sobre X


Estat stica

Como a safraY depende do fertilizante, é chamada variável dependente ou variável resposta.

E como a aplicação do fertilizante não depende da safra, sendo, ao contrário, determinada pelo pesquisador, ela é chamada variável independente, ou fator, ou regressor X.


Estat stica

Exemplo: Em um estudo sobre como a safra de trigo depende do fertilizante, suponhamos que dispomos de fundos para apenas sete observações experimentais. O pesquisador fixa então X em sete níveis diferentes, fazendo apenas uma observação Y em cada caso, conforme tabela 1.

a) Faça o gráfico desses pontos e ajuste a olho uma curva.

b)Use esta curva para prever a safra, no caso de aplicação de 400 libras do fertilizante.


Estat stica

X

Fertilizante

(lb/acre)

Y

Safra

(bu/acre)

Tabela 1

Observações sobre Fertilizante e Safra

40

50

50

70

65

65

80

100

200

300

400

500

600

700


Estat stica

80

70

60

50

40

30

0

100

200

300

400

500

600

700

X

Fig 2- Reta ajustada a olho aos dados da Tabela 1.

Y

SOLUÇÃO

d

Safra (bu/acre)

Y

Fertilizante (lb/acre)


Estat stica

Observação:

a) Tem especial interesse o desvio do valor efetivo Y em relação ao valor previsto :

b) Procuramos manter todos esses desvios tão pequenos quanto possível ao escolher a olho a nossa reta.


Estat stica

2. Ajustamento de uma Reta de Mínimos Quadrados

a. O Critério dos Mínimos Quadrados

O nosso objetivo é ajustar algebricamente uma reta, cuja equação é da forma:

a – intercepto da reta ajustada no eixo Y

b – coeficiente angular da reta ajustada


Estat stica

Queremos manter os desvios d “tão pequenos quanto possível”.

À primeira vista, poderíamos pensar em minimizar o desvio total d. Mas como alguns pontos estão acima da reta e outros abaixo dela, alguns desvios d serão positivos e outros negativos, fazendo com que o total d seja praticamente zero.

Para superar este problema, elevamos estes desvios ao quadrado, obtendo o critério dos mínimos quadrados:


Estat stica

Critério dos Mínimos Quadrados

Este critério permite selecionar uma única reta de ajustamento, chamada reta de mínimos quadrados



Estat stica

Tabela 2

Ajustamento de uma Reta de Mínimos Quadrados

Dados

Desvios

Produtos

X

Y

x

y

xy

x2

100

200

300

400

500

600

700

40

50

50

70

65

65

80

-300

-200

-100

0

100

200

300

-20

-10

-10

10

5

5

20

6000

2000

1000

0

500

1000

6000

90000

40000

10000

0

10000

40000

90000


Estat stica

b=0,059

a=36,4


Estat stica

c. Significado do Coeficiente Angular b

Coeficiente Angular b = variação de Y correspondente a uma variação unitária de X


Estat stica

Suponhamos, por exemplo, na equação da reta ajustada, que X tenha sido aumentado de uma unidade, de 75 para 76 libras. Então:

Ou seja, Y aumentou de 0,059 quando X aumentou de 1 – que é o coeficiente angular b.


Estat stica

Fig 3- A reta de mínimos quadrados ajustada aos dados X tenha sido aumentado de uma unidade, de 75 para 76 libras. Então:

da Tabela 1.

Y

80

70

60

50

40

30

coeficiente angular b=0,059

Safra (bu/acre)

intercepto Y

a=36,4

0

100

200

300

400

500

600

700

X

Fertilizante (lb/acre)


Estat stica

PRATIQUE COM OS EXERCÍCIOS . X tenha sido aumentado de uma unidade, de 75 para 76 libras. Então:

BOA SORTE!