1 / 18

2.1 Fungsi

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA. 2.1 Fungsi Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x. Contoh: 1. a. b. Definisi:

byron
Download Presentation

2.1 Fungsi

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA • 2.1 Fungsi • Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x. • Contoh: 1. a. b. • Definisi: • Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi A B f Notasi: f : A→B x y = f(x) Daerah hasil Daerah asal Untukcontoh 1.a. mendefinisikansuatufungsi. Namakanfungsiituf.Fungsif adalahhimpunanpasanganterurut (x,y) sehinggax dan y memenuhi: Fungsi f inimemuatpasanganterurut (0,5);(1,7);(-1,7); (2,13);(-2,13);(10,205) Dan f memuattakberhinggabanyakpasanganterurut.

  2. Catatan: • 1. HimpunanA, B є • 2. Fungsi: y = f(x) , • xpeubahbebas • y peubahtakbebas, bergantungpadax • 3. Daerah asalfungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi} • 4. Daerah hasilfungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x єDf} • 5. Grafikfungsi: {(x,y) | x є Df,y = f(x)) } y y = f(x) y Wf x x Df Soal: Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya. a. y = 2x + 1 b. y = x2- 1 • Ada beberapa penyajian fungsi yaitu • a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata. • b. Secara numerik : dengan tabel • c. Secara visual : dengan grafik • d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit

  3. Contoh: 1. Secara verbal Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons. 2. Secara numerik Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut. 3. Secara visual Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut. B Rupiah 2.000 1.500 1.000 w 0 1 2 3 4 5 Ons

  4. 4. Secara aljabar Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. 2.2 Jenis-jenis Fungsi 1. Fungsi linear Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu-y Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf =  Grafik: y y = ax + b b x 2. Polinomial Bentuk umum: y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1x + a0 dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta, n = derajat polinom ( an 0) Daerah asal: Df = 

  5. Grafik: Polinom derajat 2: y = P(x) = ax2 + bx + c, D = b2- 4ac y y = P(x) y y x x c x a < 0, D > 0 c y = P(x) c y = P(x) a < 0, D = 0 a < 0, D < 0 y y y y = P(x) y = P(x) y = P(x) c c c x x x a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0 Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. y = x2 + 2x - 1 b. y = -2x2 + 2x- 4 3. Fungsi pangkat Bentuk umum: y = f(x) = xn , n є Daerah asal: Df =  Grafik: y y y y = x2 y = x y = x3 x x x 0 0 0

  6. 4. Fungsi akar Bentuk Umum: Daerah asal dan daerah hasil: Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap Df = , Wf = , jika n ganjil Grafik: y y x x 0 0 Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut a. b. 5. Fungsi kebalikan Bentuk umum: Daerah asal dan daerah hasil: Df =  - {0}, Wf =  - {0} Grafik: y x 0

  7. 6. Fungsi rasional Bentuk umum: dimana: P, Q adalah polinom Daerah asal: Df =  - { x | Q(x) = 0} Contoh: Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut a. b. 7. Fungsi aljabar Definisi: Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom. Contoh: a. b. Catatan: Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.

  8. 8. Fungsi trigonometri 8.1 Fungsi sinus Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik: y y = sin x 1 x π 2π 0 -π -2π -1 8.2 Fungsi cosinus Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik: y y = cos x 1 π -π x -2π 2π 0 -1 8.3 Fungsi tangen Bentuk umum: Daerah asal : Df =  - {π/2 + nπ | nє} Daerah hasil: Wf = 

  9. y Grafik: y = tan x 1 x π -2π -π - 2π 0 -1 8.4 Fungsi trigonometri lainnya Bentuk umum: 8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri a. -1≤ sin x ≤ 1 b. -1 ≤ cos x≤ 1 c. sin x = sin (x + 2π) d. cos x = cos (x + 2 π) e. tan x = tan (x + π)

  10. 9. Fungsi eksponensial Bentuk umum: y = f(x) = ax, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil: Df =  , Wf = (0, ) Grafik: y y y = ax , a > 1 y = ax , 0 < a < 1 1 1 x x 0 0 1 1 10. Fungsi logaritma Bentuk umum : y = f(x) = loga x, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0, ) , Wf =  Grafik: y y =loga x 1 x 0 1

  11. 11. Fungsi transenden • Definisi: Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri invers trigonometri, eksponensial dan logaritma. Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya. 12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function) Definisi: Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal. Contoh: y y =|x| 1 x 0 -1 1

  12. y y = f(x) x 0 1 2 3.Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. y y = f(x) 3 2 f(x) = x = 1 x 0 1 2 3 4 Catatan: 1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak 2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar 13. Fungsi genap dan fungsi ganjil Definisi: [Fungsi genap] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. y f(x) y = f(x) x -x x Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.

  13. Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil. y y = f(x) f(x) -x x x -f(x) Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. Soal: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya. a. f(x) = 1 - x4 b. f(x) = x + sin x c. f(x) = x2 + cos x d. f(x) = 2x- x2 14. Fungsi naik dan fungsi turun Definisi:1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. 2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. y y y = f(x) f(x2) f(x1) y = f(x) f(x1) f(x2) x x1 x2 x1 x2 x Fungsi f naik Fungsi f turun

  14. Soal: Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I. a. f(x) = x2 I = [0, ) b. f(x) = sin x I = [ , 2] • 15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama • Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara: • 1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan • 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian • dan pembagian • 3. Komposisi fungsi • Transformasi fungsi • a. Pergeseran (translasi) • Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik: • 1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas y = f(x) + c y y = f(x+c) y = f(x) y = f(x-c) c c c y = f(x) - c c x

  15. 2. y = f(x) -c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan 4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri b. Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik: 1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c. 4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c. y y y = 2 cos x 2 2 y = cos x y = cos x 1 1 y = ½ cos x y = cos 2x x x 0 0 2π 2π π π -1 -1 y = cos ½ x -2 -2

  16. c. Pencerminan Untuk memperoleh grafik: 1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x 2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y y y y = f(x) y = f(x) y = f(-x) f(x) f(x) x x x -x x y = -f(x) -f(x) Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi. 1.f(x)= |x-1| 2.f(x) = x2+2x+1 3.f(x)= sin 2x4.f(x) = 1 - cos x

  17. OPERASI FUNGSI ALJABAR • Definisi: [Aljabar fungsi] • Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan • Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut • 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Df+g = Df Dg. • 2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Df-g = Df Dg. • 3. (fg)(x) = f(x) g(x) Dfg = Df Dg. • 4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) Df/g = {Df Dg.} – {x | g(x)= 0} • Contoh: • Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika • Komposisi fungsi • Definisi: [Komposisi fungsi] • Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan • Dg. Fungsi komposisi f og didefinisikan sebagai berikut: • (f og)(x) = f(g(x)) • di mana Df og = {x єDg | g(x) єDf }

  18. Dg Wf Df Wg g f a g(a) x g(x) f(g(x)) f °g Soal : Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika

More Related