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Kapitel 5 Wahrscheinlichkeit

Kapitel 5 Wahrscheinlichkeit. Inhalt. 5.1 Grundbegriffe W , X, ... 5.2 Wahrscheinlichkeitsräume ( W , P) 5.3 Das Laplace-Modell P(A) = A/ W  5.4 Erwartungswert E(X) Literatur: N. Henze: Stochastik für Einsteiger (die erste Hälfte). A. Engel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

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Kapitel 5 Wahrscheinlichkeit

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  1. Kapitel 5Wahrscheinlichkeit

  2. Inhalt 5.1 GrundbegriffeW, X, ... 5.2 Wahrscheinlichkeitsräume(W, P) 5.3 Das Laplace-ModellP(A) = A/W 5.4 ErwartungswertE(X) Literatur: N. Henze: Stochastik für Einsteiger (die erste Hälfte). A. Engel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

  3. 5.1 Zufallsexperimente Beispiele: Münzwurf, Würfeln, ... Wir sprechen von einem (idealen) Zufallsexperiment, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: • Versuchsbedingungen klar definiert. Zum Beispiel: Auswahl des Würfels, ...) • Menge W der Ergebnisse (Ausgänge): vor der Durchführung bekannt. Zum Beispiel: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. • Das Experiment kann beliebig oft unter den gleichen Bedingungen wiederholt werden.

  4. Beispiele für Zufallsexperimente • MünzwurfW = {Kopf, Zahl} oder W = {K, Z} oder W = {0, 1}. • Anzahl der Würfe bis zur ersten SechsW = {1, 2, 3, 4, ...} • In einer Box liegen vier mit 1, 2, 3, 4 beschriftete Kugeln; zwei Kugeln werden mit einem Griff gezogen. W = { {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4} }. • Zweimaliges Werfen mit einem Würfel.W = { (1,1), (1,2), (1,3), ..., (2,1), (2,2), ..., (3,1), ..., (6,6)}. • Lotto 6-aus-49W = alle 6-elementige Teilmengen von {1, 2, 3, ..., 49}.

  5. Notation W = {w1, w3, w3, ...} („omega“) heißt Ergebnismenge(manchmal auch Grundraum). Wenn man das Experiment n mal durchführt, hat man als Ergebnismenge die Menge •  W  W  ...  W bzw. wenn die i-te Wi Ergebnismenge vom Index i abhängt: W1 W2 W3 ...  Wn .

  6. Ereignisse In vielen Situationen interessieren nicht alle Ausgänge, sondern nur spezielle. Beispiele: • Beim Würfeln interessiert nur, ob man eine 6 würfelt. • Beim Würfeln mit zwei Würfeln kann eventuell nur interessieren, ob die Summe der Augenzahlen mindestens 8 ist. • Beim dreimaligen Werfen einer Münze interessiert nur, ob zwei aufeinanderfolgende Würfe das gleiche Ergebnis haben.

  7. Definition: Ereignis Definition: Ein Ereignis ist eine Teilmenge von W. D.h. in dieser Teilmenge werden die interessierenden Ausgänge zusammengefasst. Ereignisse werden üblicherweise mit großen lateinischen Buchstaben A, B, ... Bezeichnet. {} = : unmögliches Ereignis {w}: Elementarereignis (w  W).

  8. Rechnen mit Ereignissen Da Ereignisse Teilmengen von W sind, kann man den Durchschnitt A  B, die Vereinigung A  B, die Differenz A \ B der Ereignisse A und B bilden. A := W \ A: Gegenereignis, Komplement von A Ereignisse A, B unvereinbar, falls A  B = {}. Ereignisse A1, A2, A3, ..., Anunvereinbar, falls je zwei der Mengen disjunkt sind. Schreibweise:S Ai = A1 + A2 + ... + An := A1 A2 ...  Anfür unvereinbare Ereignisse Ai.

  9. Beispiel Zweimaliges Würfeln mit einem Würfel Ereignis A: Der erste Wurf ist eine 5.A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}. Ereignis B: Die Augenzahl aus beiden Würfen ist mindestens 9.B = {(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. A  B = {(5,4), (5,5), (5,6)}. A \ B = {(5,1), (5,2), (5,3)}. B \ A = {(3,6), (4,5), (4,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}L

  10. Erinnerung Seien A, B, C Ereignisse. Dann gelten die folgenden Gesetze: A  B = B  A, A  B = B  AKommutativgesetz (A  B)  C = A  (B  C), (A  B)  C = A  (B  C)Assoziativges. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Distributivgesetz A  B = A  B, A  B = A  B Regeln von de Morgan A1  A2  ...  An = A1  A2  ...  An .

  11. Zufallsvariable Definition. Sei W ein Grundraum. Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung X: W R. Vorstellung: Jedem Ausgang w eines Zufallsexperiments wird eine reelle Zahl X(w) zugeordnet („Realisierung der Zufallsvariablen zum Ausgang w“). Beispiel: Bei einem Glücksspiel ist X(w) der Gewinn bzw. Verlust beim Ausgang w des Spiels. Bem. 1. Eine Zufallsvariable ist keine Variable, sondern eine Funktion. 2. Sie wird nicht mit g, ... bezeichnet, sondern mit X, Y, ...

  12. Beispiel Zweimaliges Würfeln: W = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)} = {(i,j)  i, j  {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. X(w) = i + j, falls w = (i,j) (i: Augenzahl des ersten Wurf, j: Augenzahl des zweiten Wurfs). Beobachtung: Aus der Realisierung X(w) kann man im allgemeinen w nicht zurückgewinnen. Zum Beispiel haben die drei Ausgänge (1,3), (2,2), (3.1) die Realisierung 4.

  13. Wichtige (und schwierige ...) Schreibweise Wir schreiben {X = k} := {w  W  X(w) = k}. Das ist das Ereignis, dass X den Wert k annimmt. Beispiel (zweifaches Würfeln): {X = 4} = {(1,3), (2,2), (3,1)}. Wir können die Ereignisse {X = 2}, {X = 3}, ..., {X = 12} wieder als Elementarereignisse eines Experiments auffassen, bei dem nicht w, sondern X(w) als Ausgang angesehen wird.

  14. Beispiele Zweimaliges Würfeln • Augensumme ist 9: {X = 9} • Augensumme ist mindestens 10: {X = 10} + {X = 11} + {X = 12} • Augensumme ist höchstens 5: {X = 2} + {X = 3} + {X = 4} + {X = 5}.

  15. Rechnen mit Zufallsvariablen Aus einer bzw. zwei Zufallsvariablen kann man neue Zufallsvariablen machen. Seien dazu X und Y Zufallsvariablen, d.h. Abbildungen von W R. 1. Produkt einer Zufallsvariablen mit einer reellen Zahl. Die Abbildung aX: W R, die definiert ist durch (aX)(w) := aX(w) ist eine Zufallsvariable. 2. Summe zweier Zufallsvariablen. Die Abbildung X+Y : W R, die definiert ist durch (X+Y)(w) := X(w)+Y(w) ist eine Zufallsvariable. 3. Entsprechend: Differenz, Produkt, Maximum, Minimum.

  16. Beispiel Zweifaches Würfeln Sei w = (i, j), X(w) = i (Augenzahl beim ersten Wurf), Y(w) = j (Augenzahl beim zweiten Wurf). Dann ist X+Y = Summe der Augenzahlenmax(X, Y) = höchste Augenzahlmin(X, Y) = niedrigste AugenzahlX–Y = Differenz des zweiten vom ersten Wurf(X+Y)/2 = Durchschnitt der beiden Würfe

  17. Indikatorfunktion Definition. Sei A ein Ereignis, d.h. eine Teilmenge von W. Die Indikatorfunktion IA ist die Zufallsvariable, die 1 ist, wenn das Ergebnis w zu A gehört, und 0 sonst. Das heißt IA(w) = 1, falls w W, IA(w) = 0, falls w W. Die Realisierung von IA gibt an, ob das Ereignis eingetreten ist. Beispiel: Sei A das Ereignis, beim einfachen Würfeln eine gerade Zahl zu würfeln. Dann ist IA(1) = IA(3) = IA(5) = 0, IA(2) = IA(4) = IA(6) = 1.

  18. Hilfssatz über Indikatorfunktionen 5.1.1 Hilfssatz. Sei X eine Zufallsvariable, und seien A und B Ereignisse. Dann gilt IAB = IA  IB. In Worten: Die Indikatorfunktion des Durchschnitts zweier Ereignisse ist gleich dem Produkt der einzelnen Indikatorfunktionen. 5.1.2 Folgerung. IA = IA  IA. Beweis der Folgerung: Setze B = A. Dann ist A  B = A  A = A. 

  19. Beweis des Hilfssatzes Beweis. Sei w ein Ergebnis. Wir unterscheiden zwei Fälle. 1. Fall: w  A  B.Dann ist IA  B(w) = 1. Andererseits ist IA(w) = 1 und I B(w) = 1, da w sowohl in A als auch in B liegt. Somit ist auch (IA I B)(w) = IA(w)I B(w) = 11 = 1. Also gilt L.S. = R.S. 2. Fall: w  A  B.Dann ist IA  B(w) = 0. Ferner ist w  A oder w  B. Somit ist IA(w) = 0 oder I B(w) = 0. Also ist in jedem Fall (IA I B)(w) = IA(w)I B(w) = 0. Also ist auch im 2. Fall L.S. = R.S. 

  20. Zählvariablen Sei W ein Grundraum, und seien A, B, C, ... Ereignisse. Problem: Wir wollen beschreiben, wie oft eines der Ereignisse A, B, C, ... auftritt. Dies wird durch die folgende Zufallsvariable X beschrieben: X = IA + IB + IC + ... (Denn: Wenn wir die rechte Seite auf ein Ergebnis w anwenden, erhalten wir bei einem einzelnen Summanden eine 1, wenn w zu diesem Ereignis gehört, und sonst eine 0. Also X(w) die Anzahl der Ereignisse, zu denen w gehört.)

  21. Beispiel In vielen Situationen interessiert die Anzahl der „Treffer“. Beispiele: Würfeln (Treffer: 6, Niete: alles andere), Münzwurf (Treffer: Kopf, Niete: Zahl), Lotto (Treffer: 6-er, Niete: alles andere), zweimaliges Würfeln (Treffer: Augenzahl  8, Niete: Augenzahl < 8). Modellierung: Wir beschreiben einen Treffer durch die Zahl 1, eine Niete durch 0. Dann ist die Ergebnismenge (bei n Grundexperimenten): W = {0,1}n = {(a1, a2, ..., an)  ai  {0,1}}. X = a1 + a2 + ... + an ist die Zufallsvariable, die die Anzahl der Treffer angibt.

  22. Relative Häufigkeit Um die Chancen eines Zufallsexperiments abzuschätzen, führt man es häufig durch. Beispiel: Werfen einer realen Münze (Zahl: 1, Kopf: 0): 1011000111 11101100011 0100111010 0000011011 0000110110 Relative Häufigkeit für das Auftreten einer 1 nach 10, 20, ... Versuchen: 0,6 0,65 0,6 0,55 0,52 Man hat den Eindruck, dass sich die relativen Häufigkeiten „stabilisieren“.

  23. Definition relative Häufigkeit Definition. Wir führen ein Zufallsexperiment n mal durch. Wir wollen wissen, „wie häufig“ der Ausgang zu einem Ereignis A gehört. Angenommen, das Experiment liefert die Ausgänge a1, a2, ..., an. Dann ist die relative Häufigkeit bezüglich dieser Experimente definiert durch r = rn(A) = {i  ai  A} / n. Rezept: Zähle, wie oft der Ausgang in A liegt, dividiere durch n. Achtung! Die relative Häufigkeit ist eine empirische Zahl!

  24. Eigenschaften der relativen Häufigkeiten • rn 0 für alle Zufallsexperimente und alle Ereignisse („Nichtnegativität“). • Wenn A und B zwei unvereinbare Ereignisse sind, dann gilt rn(A  B) = rn(A) + rn(B). („Additivität) • rn(W) = 1 („Normiertheit“)

  25. Stabilisierung empirischer Häufigkeiten • Bei vielen Experimenten „hat man das Gefühl“, dass sich die empirischen Häufigkeiten stabilisieren. • Beispiele: Münzwurf, Werfen einer Reißzwecke, Würfeln, ... • Wenn z.B. ein Würfel „auf Dauer“ deutlich mehr als ein Sechstel Sechsen zeigen würde, würde man nicht an einen fairen Würfel glauben. • Dieses Gesetz über die Stabilisierung empirischer Häufigkeiten ist aber nur eine Erfahrungstatsache, kein mathematisches Gesetz! • Alle Versuche, den Zufall mathematisch über den Weg der relativen Häufigkeiten zu beschreiben, sind i.w. gescheitert ...

  26. 5.2 Wahrscheinlichkeitsräume Definition. Ein (endlicher)Wahrscheinlichkeitsraum(W-Raum) besteht aus einem Grundraum W und einer Abbildung P, die jeder Teilmenge A von W eine reelle Zahl P(A) zuordnet, so dass folgende Gesetze gelten: • P(A)  0 für alle A  W. Nichtnegativität • P(A  B) = P(A) + P(B), falls A  B = {}. Additivität • P(W) = 1. Normiertheit Wir schreiben (W, P). P heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung (Wahrscheinlichkeitsmaß) auf W. Die Zahl P(A) heißt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.

  27. Bemerkungen • Mit diesen Axiomen werden nur „Spielregeln“ im Umgang mit den mathematischen Wahrscheinlichkeiten festgelegt. • Obwohl die Axiome nach dem Vorbild der Eigenschaften der relativen Häufigkeiten gebildet sind, handelt es sich um Aussagen über mathematische Objekte. • Die Axiome ergeben sich nicht zwangsläufig aus der Erfahrung. • Umgekehrt: Bei einer Anwendung muss man überprüfen, ob die realen Bedingungen den mathematischen Axiomen entsprechen.

  28. Erste Eigenschaften 5.2.1 Hilfssatz. Sei (W, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. (a) P({}) = 0. (b) P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C), falls A, B, C unvereinbar sind. (c) P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) für beliebige Ereignisse A, B. (d) P(A)  1 für alle A. (e) P(A) = 1 – P(A). (f) Wenn A  B, dann ist P(A)  P(B).

  29. Beweis (a) (a) folgt aus der Additivität P(A  B) = P(A) + P(B) (falls A  B = { }) und der Normiertheit P(W) = 1 der Wahrscheinlichkeitsverteilung P, wenn wir A = { } und B = W setzen: 1 = P(W) = P({ } W) = P({ }) + P(W) = P({ }) + 1, also P({ }) = 0.

  30. Beweis (b) (b) folgt durch mehrfaches Ausnutzen der Additivität P(A  B) = P(A) + P(B) (falls A  B = { }) der Wahrscheinlichkeitsverteilung P: P(A  B  C) = P((A  B)  C) = P(A  B) + P(C) = P(A) + P(B) + P(C).

  31. Beweis (c) (c) Wir zerlegen die Menge A  B in die disjunkten Teile A \ B, A  B und B \ A. Nach (b) gilt dann P(A  B) = P(A \ B) + P(A  B) + P(B \ A). Aufgrund der Additivität gilt P(A) = P(A  B) + P(A \ B) (denn A = (A  B)  (A \ B)), P(B) = P(A  B) + P(B \ A) (denn B = (B  A)  (B \ A)). Lösen wir diese beiden Gleichungen nach P(A \ B) bzw. P(B \ A) auf, und setzen das Ergebnis in die obere Gleichung ein, so ergibt sich P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B).

  32. Beweise (e), (d) und (f) (e) Wir zerlegen den Grundraum W in die disjunkten Teilmengen A und A. Aufgrund der Normiertheit und der Additivität von P folgt: 1 = P(W ) = P(A  A) = P(A) + P(A). (d) Da P(A)  0 gilt, folgt aus (e): P(A) = 1 - P(A)  0, also P(A)  1. (f) Wenn A  B ist, dann können wir B in die disjunkten Teilmengen A und B \ A zerlegen. Daher ist P(B) = P(A) + P(B \ A). Da P(B \ A)  0 ist, folgt P(B)  P(A).

  33. Wahrscheinlichkeit von Elementarereignissen Frage: Müssen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung P für jede Teilmenge A von W einzeln definieren? (Bereits bei | W | = 10 wären das 210 = 1024 Teilmengen, für die wir die Wahrscheinlichkeit festlegen müßten!) Antwort: Nein! Es genügt, jedem Elementarereignis {w} eine Wahrscheinlichkeit P({w}) zuzuordnen. Zur Abkürzung: p(w) := P({w}). Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ergibt sich dann wie folgt. 5.2.2 Satz. Sei A ( {}) ein Ereignis im Grundraum W. Dann gilt P(A) = p(w).

  34. Beweis Beweis.Jedes Ereignis A  besteht aus gewissen Ergebnissen w . Wir können A wie folgt als Vereinigung von Elementarereignissen {w} schreiben: A = {w}. Da die Elementarereignisse disjunkt sind, ergibt sich aufgrund der Additivitätseigenschaft P(A) = P( {w}) = p(w).

  35. 5.3 Das Laplace-Modell Idee: Bei vielen Zufallsexperimenten sind alle Elementarexperimente „gleich wahrscheinlich“. Beispiele: Würfeln mit einem „korrekten“ Würfel, Werfen einer „fairen“ Münze. Definition: Sei W = {w1, w2, ..., ws} eine s-elementige Menge, und sei p(w) = 1/s für alle wW. Dann heißt (W, P) ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum.Man nennt P die diskrete Gleichverteilung (Laplace-Verteilung).

  36. Bemerkungen 5.3.1 Satz. In einem Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum gilt P(A) = A / s = A / W für alle Ereignisse A. (Beweis. Sei A = {w1, w2, ..., wt}. Dann folgt mit 5.2.2 P(A) = p(w1) + p(w2) + ... + p(wt) = t  1/s = A / s.) Pierre Simon Laplace (1749 – 1827): Professor in Paris.

  37. Beispiel: Zweifaches Würfeln Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt die Augenzahl 5 (oder irgend ein Zahl zwischen 2 und 12) auf? W = {(1,1), ..., (6.6)} = {1, 2, ..., 6}  {1, 2, ..., 6} (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum  p(w) = 1/36.

  38. Beispiel: zweifaches Würfeln. Die Wahrscheinlichkeiten X(w) = i+j für w = (i, j). {X = 5} = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}.Also P(X = 5) = 4/36 = 1/9. Im allgemeinen giltP(X = 2) = 1/36, P(X = 3) = 2/36, P(X = 4) = 3/36, P(X = 5) = 4/36,P(X = 6) = 5/36, P(X = 7) = 6/36, P(X = 8) = 5/36, P(X = 9) = 4/36,P(X = 10) = 3/36, P(X = 11) = 2/36, P(X = 12) = 1/36.

  39. Beispiel (Leibniz) Leibniz (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 – 1716) meinte, dass beim Würfeln mit zwei Würfeln die Augensummen 11 und 12 gleich wahrscheinlich sind. Offenbar betrachtet Leibniz Grundraum W = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6)} wobei (i,j) interpretiert wird als „ein Würfel zeigt i, der andere j“. Es gibt genau ein Experiment w, das die Realisierung X(w) = 11 und genau ein Experiment, das die Realisierung 12 hat. Aber ...

  40. Beispiel (Leibniz): Fortsetzung ... aber es handelt sich nicht um einen Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum. Das heißt: Nicht alle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich! Lösung: In unserer Vorstellung müssen wir die Würfel unterscheiden (z.B. einer rot, einer schwarz). Dann gibt es für die Augenzahl 12 nur einen Ausgang (nämlich rot = 6 und schwarz = 6), aber für die Augensumme 11 zwei Ausgänge (rot = 5, schwarz = 6 und rot = 6 und schwarz = 5). Mit anderen Worten: Wenn man die Gleichverteilung anwenden will, muss man den Grundraum W = {1, 2, ..., 6}  {1, 2, ..., 6} betrachten.

  41. Beispiel (Galilei) Galileo Galilei (1564 – 1642) wurde folgende Frage gestellt: Warum ist beim dreimaligen Würfeln die Augensumme 10 wahrscheinlicher als die Augensumme 9 – obwohl es jeweils gleich viele Kombinationen gibt, nämlich 1 2 6, 1 3 5, 2 2 5, 2 3 4, 1 4 4, 3 3 3 bzw. 1 3 6, 2 2 6, 1 4 5, 2 3 5, 2 4 4, 3 4 4 ??? Mögliche Antworten: (a) Es gibt zwar gleich viele „Kombinationen“, diese haben aber nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit.(b) Am besten betrachtet man den zugehörigen Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum:

  42. Beispiel (Galilei). Lösung W = {1, 2, ..., 6}  {1, 2, ..., 6}  {1, 2, ..., 6}. W = 63 = 216. X(w) = i + j + k, wobei w = (i, j, k) ist. Das Ereignis {X = 9} besteht aus 6 Permutation von 1 2 6,6 Permutationen von 135,3 unterscheidbaren Permutation von 2 2 5,6 Permutationen von 2 3 4,3 unterscheidbaren Permutationen von 1 4 4,dem Wurf 3 3 3. Also P(X = 9) = 25/216. Andererseits ist P(X = 10) = 27/216.

  43. Das Ziegenproblem In einer Spielshow steht der Gewinner am Ende vor folgender Situation: • Vor sich sieht er drei Türen. Er weiß: Hinter einer steht ein Auto, hinter den beiden anderen nur eine Ziege (= Niete). • Er wählt eine Tür – ohne sie zu öffnen. • Dann öffnet der Showmaster eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht. • Jetzt fragt der Showmaster den Kandidaten: Wollen sie die von Ihnen gewählte Tür wechseln? Problem: Kann die Mathematik dem Kandidaten helfen?

  44. Das Ziegenproblem: Ask Marylin! Das Ziegenproblem wurde durch folgendes Ereignis bekannt: Marylin vos Savant, angeblich der Mensch mit dem höchsten Intelligenzquotient, hat in den U.S.A. eine Kolumne („Ask Marylin“), in der sie alle möglichen kniffligen Fragen beantwortet. Auf das Ziegenproblem antwortete sie, dass Wechseln die Gewinnchancen erhöht, und zwar auf das Doppelte. Das Ergebnis war eine heiße Diskussionen, in der Marilyn heftigst angegriffen wurde. Teilweise „wissenschaftlich“ („offensichtlich hat bei zwei verbleibenden Möglichkeiten jede die gleiche Chance“), teilweise unwissenschaftlich („Frauen und Mathematik ...“) ABER ...

  45. Das Ziegenproblem: Marylin hat Recht! 5.3.2 Satz.Wenn man bei seiner Entscheidung bleibt, hat man eine Gewinnchance von (nur) 1/3. Wenn man wechselt, gewinnt man mit der Wahrscheinlichkeit 2/3. Beweis. Wir nehmen an, dass der Kandidat jede der drei Türen mit Wahrscheinlichkeit 1/3 wählt (Laplace-Verteilung). (a) Der Kandidat wechselt nicht. Dann wählt er eine Tür und hat mit Wahrscheinlichkeit 1/3 das Auto.

  46. Das Ziegenproblem: Der Kandidat wechselt die Tür (b) Der Kandidat wechselt. Wenn er (mit Wahrscheinlichkeit 1/3) die Autotür gewählt hat, verliert er. Mit Wahrscheinlichkeit 2/3 hat er eine Ziegentür gewählt. Der Showmaster öffnet die andere Ziegentür! Das heißt: Wechseln bringt den Kandidaten zwangsläufig zur Autotür! Literatur: G.v. Randow: Das Ziegenproblem. rororo.

  47. Das Geburtstagsparadox Frage 1: Wie groß muss eine Gruppe von Personen sein, dass die Wahrscheinlichkeit > ½ ist, dass zwei dieser Personen am gleichen Tag des Jahres Geburtstag haben?

  48. Das Geburtstagsparadox II Frage 2: Am 29. 6. 1995 ging folgende Meldung durch die Presse: „(dpa) Zum ersten Mal in der 40jährigen Geschichte des deutschen Zahlenlottos wurden zwei identische Gewinnreihen festgestellt. Am 21. Juni dieses Jahres kam im Lotto am Mittwoch in der Ziehung A die Gewinnreihe 15-25-27-30-42-48 heraus. Genau die selben Zahlen wurden bei der 1628. Ausspielung im Samstagslotto schon einmal gezogen, nämlich am 20. Dezember 1986. Welch ein Lottozufall: Unter den 49 Zahlen sind fast 14 Millionen verschiedene Sechserreihen möglich.“ Ist das wirklich so unwahrscheinlich?

  49. Modellierung des Geburtstagsproblems Wir stellen uns n Fächer vor. Dies ist die Anzahl aller Möglichkeiten. Bei den Geburtstagen ist n = 365 (Anzahl der möglichen Geburtstage). Beim Lotto ist n  14 Millionen (Anzahl der möglichen Ziehungen). Nun werden die Fächer sukzessiv zufällig besetzt. Frage: Wann wird das erste Fach doppelt besetzt, d.h. wann tritt die erste Kollision auf ? Xn = Zeitpunkt der ersten Kollision beim sukzessiven, rein zufälligen Besetzen von n Fächern.

  50. Ergebnis zum Geburtstagsparadox 5.3.3 Satz. P(Xn k+1) = n(n–1)(n–2)...(n–k+1) / nk. Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass bis zur (k+1)-ten Belegung noch keine Kollision aufgetreten ist. Beweis.Wir gehen davon aus, dass alle Belegungen der Fächer mit k Objekten gleichwahrscheinlich ist (Laplace-Modell). Dann ist n(n–1)(n–2)...(n–k+1) die Anzahl der Belegungen ohne Kollision und nk ist die Anzahl aller Belegungen. Die Aussage des Satz ergibt sich jetzt durch Satz 5.3.1 („Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Fälle durch Anzahl der möglichen Fälle“). 

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