GLI INSIEMI

1. GLI INSIEMI Prof. Enrico Castello

2. LA STORIA COSA SONO APPARTENENZA E NON APPARTENENZA RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME SOTTOINSIEMI LE OPERAZIONI

3. LA STORIA • Il concetto di insieme è sicuramente nato con l’uomo,si pensi a un insegnante che si rivolge agli alunni della propria classe come ad un unico soggetto . • Per una teoria organica bisogna giungere però a Georg Cantor (1845-1918) matematico tedesco di origine russa, il quale intorno al 1870 fornì una trattazione sistematica della teoria degli insiemi e solo nel 1895 pubblicò l’opera «I CONTRIBUTI A UNA FONDAZIONE TRASFINITA DEGLI INSIEMI». In essa Cantor afferma che non ha importanza la natura degli elementi con cui si opera bensì le leggi delle operazioni a caratterizzare l’insieme risultato. • Gli studi di Cantor diedero origine alla cosiddetta teoria ingenua degli insiemi che però non era priva di contraddizioni. • Il primo a mettere in evidenza tali contraddizioni fu il matematico e filosofo inglese Bertrand Russel (1872-1970), con lui comincia il cosiddetto” periodo della crisi dei fondamenti “ della matematica che però fu superato grazie a studi successivi che limitavano e precisavano i criteri per comprendere un insieme. • Agli inizi del 1900 Ernst Zermelo (1871-1953)sviluppava una nuova teoria detta assiomatica che superava le contraddizioni della teoriaingenua e che è ancora oggi attuale.

4. COSA SONO

5. Pare che una volta CANTOR per far conoscere la propria concezione degli insiemi abbia esclamato, guardando verso l’infinito: «Io mi raffiguro un insieme come un abisso»

6. DEDEKIND, invece, si raffigurava un insieme come un sacco chiuso che contenesse degli oggetti determinati, che non si potevano né vedere, né conoscere salvo il fatto che erano determinati.

7. UN GRUPPO DI NAVI FORMA UNA «FLOTTA» UN GRUPPO DI UCCELLI IN VOLO É CHIAMATO «STORMO»

8. …QUINDI UN INSIEME È UNA COLLEZIONE DI OGGETTI, CONSIDERATI NELLA LORO GLOBALITÀ

9. Gli oggetti, le persone, ecc. che formano un insieme si definiscono elementi. Essi devono essere riconoscibili e distinti fra loro.

10. VEDIAMO SE HAI CAPITO

11. Stabilisci quali delle seguenti frasi individuano un insieme • I libri di una biblioteca • I ragazzi studiosi • Gli uomini alti • I giorni della settimana SI NO NO SI SI NO SI NO

13. Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

14. APPARTENENZA E NON APPARTENENZA

15. APPARTENENZA E NON APPARTENENZA Indicheremo, in generale, gli insiemi con le lettere maiuscole A, B, C….. e gli elementi con quelle minuscole: a, b, c….. Per affermare che S è un insieme e a un suo elemento useremo i simboli e Il primo per indicare che a appartiene a S e il secondo per indicare che non vi appartiene.

16. VEDIAMO SE HAI CAPITO

17. Dato l’insieme A = { 2, 3, 5, 7 }indica quali delle seguenti affermazioni sono vere o false: • a) 2 A VF • b) c A V F • c) 3 A V F • d) 4 A V F

19. Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

20. RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME • TABULARE • GRAFICA • PER CARATTERISTICA

21. La rappresentazione tabulare consiste nell’elencare se possibile tutti gli elementi di un insieme.Per esempio l’insieme A delle lettere della parola mare è: A = { m, a, r, e }

22. La rappresentazione grafica consiste nell’indicare gli elementi di un insieme con punti interni a una linea piana chiusa e non intrecciata.Tale rappresentazione si deve al logico inglese VENN che ideò il metodo più originale, anche se altri come EULERO e LEIBNIZ avevano utilizzato questa tecnica soprattutto per la sua efficacia didattica. .a .b .c

23. La rappresentazione caratteristica consiste nello specificare un certo numero di proprietà, che servano a decidere, in modo inequivocabile, quali elementi appartengano all’insieme considerato e quali non vi appartengano. L’insieme A = { 4, 5, 6, 7 } ha la seguente rappresentazione caratteristica: A ={x|x N e 3 < x < 8}

24. SOTTOINSIEMI

25. Sottoinsiemi di un insieme Dati due insiemi A e B si dice che B è sottinsieme di A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A. Si dice anche che B è incluso in A e si scrive : B A Oppure che A include B e si scrive: AB. .6 .4 .8 .2 .16 B A .14 .10 .12

26. VEDIAMO SE HAI CAPITO

27. Considera gli insiemi A = {1,2, 3, 4}, B = {1,2}, C = {2,5}. Quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false? • A B V F • B C V F • B = C V F • B A V F

29. Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

30. LE OPERAZIONI • INTERSEZIONE • UNIONE • DIFFERENZA • PRODOTTO CARTESIANO

31. I simboli da ricordare

32. INTERSEZIONE Dati due insiemi A e B, si dice loro intersezione l’insieme C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per indicare che C è l’intersezione di A e B si scrive: C = A B • 6 8 • 5 7 • 1 A B

33. Può capitare che due insiemi non abbiano elementi comuni, ad esempio gli insiemi P = {a, b, c, d} e Q = { r, s, t}; in questo caso l’intersezione dei due insiemi è l’insieme vuoto e si dice che i due insiemi sono disgiunti. I due insiemi si rappresentano separatamente. .a .b .c .d Q P .r .s .t

34. L’UNIONE Dati due insiemi A e B, si dice loro unione l’insieme D i cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che D è l’unione di A e B si scrive: D = A B 4 1 B 5 2 6 A 3 D 2 3 4 1 5 6

35. LA DIFFERENZA Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza A – B l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B. Quando B è un sottinsieme di A, allora l’insieme differenza viene anche detto insieme complementare di Brispetto ad A. A B .e .f .g .a .b .c .d A – B = {a,c} B – A A – B

36. PRODOTTO CARTESIANO • COPPIE ORDINATE • PRODOTTO CARTESIANO

37. Coppie ordinate Per coppia ordinata si intende un insieme di due elementi nei quali è fissato chi deve essere il primo e chi il secondo. Se i due elementi della coppia sono x e y, si scrive (x,y), se x è il primo elemento e y il secondo; (y,x), se y è il primo elemento e x il secondo.

38. PRODOTTO CARTESIANO Dati due insiemiA e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano A B = {( x,y) | x A e y B }. Si può rappresentare in vari modi,i più comuni sono: perelencazione, i diagrammi di Venn, le tabelle a doppia entrata.

39. Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b} A B = {( 1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

40. Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b} 1.2. 3. .a .b A B .(1,b) .(2,a) .(2,b) .(1,a) .(3,a) .(3,b) A B

41. Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b} A 1 2 3 B a ( 1, a ) ( 2, a ) ( 3, a ) b ( 1, b) ( 2, b ) ( 3, b )