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I NUMERI INTERI

I NUMERI INTERI. Il secondo insieme che  prenderemo in esame è  quello dei numeri interi. Esso si indica con la lettera Z   (dal tedesco  Zahl = numero) e i suoi elementi sono i numeri naturali, più i numeri negativi (interi):

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I NUMERI INTERI

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  1. I NUMERI INTERI Il secondo insieme che  prenderemo in esame è  quello dei numeri interi. Esso si indica con la lettera Z  (dal tedesco  Zahl = numero) e i suoi elementi sono i numeri naturali, più i numeri negativi (interi):                             Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1 , 2 , 3 , 4 . . . . .} Possiamo pensare a  Z  come ottenuto da  N  "aggiungendo"  ad esso una "nuova copia" dei numeri   1,2,3,...  che però si distingue da quella precedente per quel segno "-"  posto in fronte ad essi; possiamo pensarli come numeri "rossi" se ci immaginiamo un conto in banca: infatti il primo uso dei numeri negativi è quello di rappresentare dei debiti  (già in papiri egizi si trovano numeri che hanno questo significato).

  2. Come si definiscono le operazioni in Z ? 

  3. La somma Dobbiamo definire come sommare due elementi  a,b єZ: se a,b єN non ci sono problemi, eseguiamo la somma come facciamo in N; altrimenti procediamo così: -   se  a > 0  e b < 0 con |a|> |b| :    a+b=  a -|b|; -   se  a > 0  e b < 0 con |a|< |b| : a+b=  - (|b|- a) ; -   se  a > 0  e b < 0 con |a|= |b| :a+b=  0; -   se  a = 0: 0+b  =  b + 0 = b; -    se  a < 0  e  b < 0 :a+b=  - (|a|+ |b| ). L'idea intuitiva, pensando a quantità di denaro, è che sommare un numero negativo significa "acquisire un debito" e quindi equivale a sottrarre il corrispondente numero positivo.

  4. In  Z  la somma ha una nuova proprietà :esistenza dell‘elemento inverso:    per ogni a єZ ,  esiste un numero  a' єZ , tale che   a+a' = a+a'=  0 . Infatti  se  a >0,  basta prendere a' = -a , mentre  se  a < 0,  a' = |a|   (se invece  a = 0, anche  a' = 0).  Poiché questa notazione è immediata per i numeri positivi, indicheremo  l'inverso di un numero  a єZ , con  -a ,  ad esempio:   -(-4)= 4 .

  5. Il Prodotto Il prodotto di due numeri interi relativi si calcola moltiplicando i valori assoluti dei numeri e associando il segno + al prodotto se i due fattori sono concordi (positivi o negativi) o il segno – se i due fattori sono discordi. Semplicemente possiamo riassumere: Più per più fa più, più per meno fa meno, meno per meno fa più.

  6. La Sottrazione Questa è l'operazione per la quale abbiamo un cambiamento sostanziale: in un certo senso si può dire che abbiamo introdotto i numeri negativi proprio per rendere la sottrazione sempre possibile. Vediamolo, ricordiamo che si tratta dell'operazione inversa della somma:Definizione: Dati due numeri interi  a, bєZ ,  si dice  a - b quel numero intero  x, che sommato a  b dia a.  Cioè :    a - b = x   se e solo se   a = b + x . Questa operazione  è ora definita su tutto Z poiché in  Z esiste l‘elemento inverso rispetto alla somma: se denotiamo con b'  l'inverso di  b,  avremo: a - b  =  a + b‘ Quindi, in  Z ,  "sottrarre è uguale a sommare l'opposto"; ad esempio:4  -  (-5) =  4 + 5 = 9 ;   -3  -  7  =  -3 +  (-7) =  -10  ;    -2  -  (-2)  = -2  +  2  = 0 .

  7. Il segno  " - " E' importante  notare che il segno "-" , per come lo abbiamo usato in Z , assume ben tre significati diversi! • Usiamo il segno meno per indicare i numeri negativi , come  -5 , -4, -3 ...  In questa accezione il segno "-" non è usato per indicare un' operazione, ma solo una specie di "segnaposto", per caratterizzare i nuovi numeri ,  • "-" è usato come simbolo dell'operazione di sottrazione, • il segno meno si usa per indicare  "l'opposto di " :  - (-7)  =  " l'opposto di  -7 " = 7 ;(In quel  "- (-7)" , il primo ed il secondo simbolo "meno" hanno due significati diversi: il primo sta per "l'opposto di", mentre il secondo è quello che abbiamo già notato, il "segnaposto" dei numeri negativi.)

  8. La Divisione Per questa operazione, le cose non cambiano molto: come non la potevamo eseguire sempre in N, così non possiamo in Z.  Notiamo soltanto che, quando si può effettuare la divisione, essa si esegue con regole fra i segni analoghe a quelle del prodotto.Ad esempio: 12 : (-3) = -(12 : 3) = -4 ;   (-15) : 5 = - (15 : 5) = -3  ;  (-28) : (-7) =  28 : 7 = 4 .

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