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Cenni sulle Macchine di Turing

Cenni sulle Macchine di Turing. corrado bonfanti - 2010. AS *. nastro. cella. finestra. area programma *. ( * su un foglio di carta ). matita. gomma. MACCHINA DI TURING. AS *. nastro. cella. finestra. area programma *. ( * su un foglio di carta ). matita. gomma.

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Cenni sulle Macchine di Turing

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Presentation Transcript

  1. Cenni sulle Macchine di Turing corrado bonfanti - 2010

  2. AS* nastro cella finestra area programma * ( * su un foglio di carta ) matita gomma MACCHINA DI TURING

  3. AS* nastro cella finestra area programma * ( * su un foglio di carta ) matita gomma MACCHINA DI TURING ?

  4. AS* nastro cella finestra area programma * ( * su un foglio di carta ) matita gomma MACCHINA DI TURING ? Sembra opportuno qualche approfondimento, per il quale adotteremo un approccio elementare, senza chiamare in causa strumenti più sofisticati quali ad esempio le funzioni ricorsive primitive. In quello che segue, l’Esempio, gli Esercizi proposti e le relative Soluzioni possono essere fruiti anche come una sorta di introduzione alla programmazione delle macchine (o automi) a stati finiti.

  5. Cella Nastro ELEMENTI COSTITUTIVI DI UNA MACCHINA DI TURING (TM: Turing Machine) Nastro: è suddiviso in celle e lo si suppone illimitato (ovvero prolungabile a piacere tanto a destra quanto a sinistra). Ogni cella contiene un solo carattere tra quelli ammessi, compresi nell’alfabeto dei caratteriC = {c*,c1,c2, … cn} (vedi appresso). Il nastro, dietro apposito comando (vedi appresso), può rimanere fermo oppure scorrere di una cella verso destra o verso sinistra.

  6. Finestra di lettura/scrittura CC (CC) Cella Nastro ELEMENTI COSTITUTIVI DI UNA MACCHINA DI TURING Finestra di lettura/scrittura: individua una cella del nastro detta cella corrente e designata come CC. La finestra è in posizione fissa e il nastro può scorrere sotto di essa. La notazione (CC) designa il simbolo contenuto in CC.

  7. Area di Controllo Finestra di lettura/scrittura (AC) (CC) Cella Nastro ELEMENTI COSTITUTIVI DI UNA MACCHINA DI TURING Area di Controllo: una zona, designata come AC, destinata a contenere (uno alla volta) i simboli dell’insieme S = {s*,s1,s2, … sk}, che designano i cosiddetti stati della TM (vedi appresso). La notazione (AC) designa il simbolo contenuto di AC.

  8. Area di Controllo Finestra di lettura/scrittura (AC) (CC) Cella Nastro Simboli Alfabeto dei caratteri C = {c*,c1,c2, … cn} Stati S = {s*,s1,s2, … sk} Movimenti M = {D,S,F} ELEMENTI COSTITUTIVI DI UNA MACCHINA DI TURING Insiemi dei simboli C ed S sono l’insieme dei simboli che, uno alla volta, possono comparire rispettivamente in una cella del nastro e nell’area di controllo. C ed S sono definiti in relazione al compito che una specifica MT deve assolvere, ma devono contenere rispettivamente il simbolo c* (uno “pseudosimbolo” per la cella vuota) ed s* (stop), o loro equivalenti. I tre simboli di M comandano l’eventuale scorrimento del nastro: di una cella verso Destra; di una cella verso Sinistra; nastro Fermo.

  9. Area di Controllo Finestra di lettura/scrittura (AC) (CC) Cella Nastro Programma Simboli Alfabeto dei caratteri C = {c*,c1,c2, … cn} Stati S = {s*,s1,s2, … sk} Movimenti M = {D,S,F} s2 s3 sk s1 ... c* c1 c2 c,m,s ... cn Istruzione con indirizzo c2, s2 ELEMENTI COSTITUTIVI DI UNA MACCHINA DI TURING

  10. Programma s2 s3 sk s1 ... c* c1 c2 c,m,s ... cn Istruzione con indirizzo c2,s2 ELEMENTI COSTITUTIVI DI UNA MACCHINA DI TURING Programma: tabella a doppia entrata (matrice) in cui - Le colonne sono intestate con tutti i simboli di stato compresi in S = {s*,s1,s2, … sk}, con l’esclusione di s*. - Le righe sono intestate con tutti i caratteri dell’alfabeto C = {c*,c1,c2, … cn}. Istruzione: è il contenuto di un elemento della tabella, costituito da una terna ordinata di simboli c,m,s in cui - c è un carattere dell’alfabeto C = {c*,c1,c2, … cn}. - m è uno dei tre comandi di movimento compresi in M = {D,S,F}. - s è uno degli stati presenti in S = {s*,s1,s2, … sk}. Le coordinate dell’elemento della tabella (c2 e s2 nella figura) definiscono l’indirizzodell’istruzione in esso contenuta.

  11. c2 c3 c2 c3 c2 c1 AC s2 s2 ... s1 c* c1 c2 c1,S,s5 ... FUNZIONAMENTO DI UNA TM L’istruzione da eseguire (istruzione corrente) è quella che sta scritta all’indirizzo (CC),(AC) ovvero c2,s2. L’esecuzione consta di tre passi:

  12. c2 c3 c2 c3 c2 c1 AC c2 c3 c1 c3 c2 c1 passo 1 s2 s2 s2 ... s1 c* c1 c2 c1,S,s5 ... FUNZIONAMENTO DI UNA TM L’istruzione da eseguire (istruzione corrente) è quella che sta scritta all’indirizzo (CC),(AC) ovvero c2,s2. L’esecuzione consta di tre passi: 1 - Si cancella (CC) e si trascrive c1 (primo simbolo dell’istruzione corrente) in CC.

  13. AC s2 s2 ... s1 c* c1 c2 c1,S,s5 ... FUNZIONAMENTO DI UNA TM c2 c3 c2 c3 c2 c1 c2 c3 c1 c3 c2 c1 passo 1 s2 passo 2 c1 c1 c3 c2 c3 c2 s2 L’istruzione da eseguire (istruzione corrente) è quella che sta scritta all’indirizzo (CC),(AC) ovvero c2,s2. L’esecuzione consta di tre passi: 1 - Si cancella (CC) e si trascrive c1 (primo simbolo dell’istruzione corrente) in CC. 2 - Si sposta il nastro di una cella verso Sinistra, come indicato dal secondo simbolo dell’istruzione corrente.

  14. c2 c3 c2 c3 c2 c1 AC c2 c3 c1 c3 c2 c1 passo 1 s2 s2 passo 2 c1 c1 c3 c2 c3 c2 s5 passo 3 s2 ... s1 c* c1 c2 c1,S,s5 ... FUNZIONAMENTO DI UNA TM L’istruzione da eseguire (istruzione corrente) è quella che sta scritta all’indirizzo (CC),(AC) ovvero c2,s2. L’esecuzione consta di tre passi: 1 - Si cancella (CC) e si trascrive c1 (primo simbolo dell’istruzione corrente) in CC. 2 - Si sposta il nastro di una cella verso Sinistra, come indicato dal secondo simbolo dell’istruzione corrente. 3 - Si cancella (AC) e si trascrive il terzo simbolos5 in AC. La prossima istruzione da eseguire è pertanto quella all’indirizzo (CC),(AC) ovvero c3,s5 (non presente nella figura). N.b. Se il terzo simbolo fosse stato s*, la TM si sarebbe arrestata.

  15. ESEMPIO: la Macchina “+ 1” Adottiamo l’alfabeto C = {c*,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e programmiamo la TM in modo che essa fornisca in output il numero n+1, essendo n  0 il numero intero (input) scritto inizialmente sul nastro e delimitato da almeno una cella vuota a destra e a sinistra. Il tutto nella normale notazione decimale, con partenza e arresto sulla cella che contiene la cifra delle unità. Questo esempio è tratto, con adattamenti del docente, da: M.Italiani, G.Serazzi Elementi di informatica; Etas Kompass, 1973, pp.115-117.

  16. programma per la Macchina “+1” s1 s2 c* 1,S,s2c*,D,s* 0 1,S,s2 0,S,s2 1 2,S,s2 1,S,s2 2 3,S,s2 2,S,s2 3 4,S,s2 3,S,s2 4 5,S,s2 4,S,s2 5 6,S,s2 5,S,s2 6 7,S,s2 6,S,s2 7 8,S,s2 7,S,s2 8 9,S,s2 8,S,s2 9 0,D,s1 9,S,s2 ESEMPIO: la Macchina “+ 1” Adottiamo l’alfabeto C = {c*,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e programmiamo la TM in modo che essa fornisca in output il numero n+1, essendo n  0 il numero intero (input) scritto inizialmente sul nastro e delimitato da almeno una cella vuota a destra e a sinistra. Il tutto nella normale notazione decimale, con partenza e arresto sulla cella che contiene la cifra delle unità. Il programma qui a fianco risolve il problema con S = {s1,s2} eponendo inizialmente (AC) = s1. Si veda qui appresso lo sviluppo completo del caso in cui n = 299.

  17. esecuzione del programma “+1”; inizio con n = 299 e (AC) iniziale = s1 programma per la Macchina “+1” sequenza delle istruzioni da eseguire (indirizzo // istruzione) AC CC s1 s2 s1 c* 1,S,s2c*,D,s* 9,s1// 0 1,S,s2 0,S,s2 1 2,S,s2 1,S,s2 2 3,S,s2 2,S,s2 3 4,S,s2 3,S,s2 4 5,S,s2 4,S,s2 5 6,S,s2 5,S,s2 6 7,S,s2 6,S,s2 7 8,S,s2 7,S,s2 8 9,S,s2 8,S,s2 9 0,D,s1 9,S,s2 9 2 9 ESEMPIO: la Macchina “+ 1” inizio

  18. esecuzione del programma “+1”; inizio con n = 299 e (AC) iniziale = s1 programma per la Macchina “+1” sequenza delle istruzioni da eseguire (indirizzo // istruzione) AC CC s1 s2 s1 c* 1,S,s2c*,D,s* 9,s1// 0 1,S,s2 0,S,s2 1 2,S,s2 1,S,s2 2 3,S,s2 2,S,s2 3 4,S,s2 3,S,s2 4 5,S,s2 4,S,s2 5 6,S,s2 5,S,s2 6 7,S,s2 6,S,s2 7 8,S,s2 7,S,s2 8 9,S,s2 8,S,s2 9 0,D,s1 9,S,s2 9 2 9 ESEMPIO: la Macchina “+ 1”

  19. esecuzione del programma “+1”; inizio con n = 299 e (AC) iniziale = s1 programma per la Macchina “+1” sequenza delle istruzioni da eseguire (indirizzo // istruzione) AC CC s1 s2 s1 c* 1,S,s2c*,D,s* 0,D,s1 9,s1// 0 1,S,s2 0,S,s2 1 2,S,s2 1,S,s2 2 3,S,s2 2,S,s2 3 4,S,s2 3,S,s2 4 5,S,s2 4,S,s2 5 6,S,s2 5,S,s2 6 7,S,s2 6,S,s2 7 8,S,s2 7,S,s2 8 9,S,s2 8,S,s2 9 0,D,s1 9,S,s2 9 2 9 ESEMPIO: la Macchina “+ 1”

  20. esecuzione del programma “+1”; inizio con n = 299 e (AC) iniziale = s1 programma per la Macchina “+1” sequenza delle istruzioni da eseguire (indirizzo // istruzione) AC CC s1 s2 s1 c* 1,S,s2c*,D,s* 9,s1// 0,D,s1 0 1,S,s2 0,S,s2 s1 1 2,S,s2 1,S,s2 2 3,S,s2 2,S,s2 3 4,S,s2 3,S,s2 4 5,S,s2 4,S,s2 5 6,S,s2 5,S,s2 6 7,S,s2 6,S,s2 7 8,S,s2 7,S,s2 8 9,S,s2 8,S,s2 9 0,D,s1 9,S,s2 9 0 2 2 9 9 ESEMPIO: la Macchina “+ 1”

  21. esecuzione del programma “+1”; inizio con n = 299 e (AC) iniziale = s1 programma per la Macchina “+1” sequenza delle istruzioni da eseguire (indirizzo // istruzione) AC CC s1 s2 s1 c* 1,S,s2c*,D,s* 9,s1// 0,D,s1 0 1,S,s2 0,S,s2 s1 1 2,S,s2 1,S,s2 9,s1// 2 3,S,s2 2,S,s2 3 4,S,s2 3,S,s2 4 5,S,s2 4,S,s2 5 6,S,s2 5,S,s2 6 7,S,s2 6,S,s2 7 8,S,s2 7,S,s2 8 9,S,s2 8,S,s2 9 0,D,s1 9,S,s2 9 0 2 2 9 9 ESEMPIO: la Macchina “+ 1”

  22. esecuzione del programma “+1”; inizio con n = 299 e (AC) iniziale = s1 programma per la Macchina “+1” sequenza delle istruzioni da eseguire (indirizzo // istruzione) AC CC s1 s2 s1 c* 1,S,s2c*,D,s* 9,s1// 0,D,s1 0 1,S,s2 0,S,s2 s1 1 2,S,s2 1,S,s2 9,s1// 2 3,S,s2 2,S,s2 3 4,S,s2 3,S,s2 4 5,S,s2 4,S,s2 5 6,S,s2 5,S,s2 6 7,S,s2 6,S,s2 7 8,S,s2 7,S,s2 8 9,S,s2 8,S,s2 9 0,D,s1 9,S,s2 9 0 2 2 9 9 ESEMPIO: la Macchina “+ 1” … e così avanti, istruzione per istruzione ...

  23. esecuzione del programma “+1”; inizio con n = 299 e (AC) iniziale = s1 programma per la Macchina “+1” sequenza delle istruzioni da eseguire (indirizzo // istruzione) AC CC s1 s2 s1 c* 1,S,s2c*,D,s* 9,s1// 0,D,s1 0 1,S,s2 0,S,s2 s1 1 2,S,s2 1,S,s2 9,s1// 0,D,s1 s1 0 2 0 2 3,S,s2 2,S,s2 2,s1// 3,S,s2 3 4,S,s2 3,S,s2 s2 4 5,S,s2 4,S,s2 0,s2// 0,S,s2 5 6,S,s2 5,S,s2 s2 6 7,S,s2 6,S,s2 0,s2// 0,S,s2 7 8,S,s2 7,S,s2 s2 8 9,S,s2 8,S,s2 c*,s2// c*,D,s* s* 9 0,D,s1 9,S,s2 0 0 9 0 0 0 3 3 2 3 3 2 9 0 0 0 0 9 ESEMPIO: la Macchina “+ 1” fine

  24. Esercizi proposti 1 - Sviluppare l’esecuzione della Macchina “+1”, ponendo come input numeri non negativi di vostra scelta. 2 - Costruire l’algoritmo “+12” per numeri in notazione binaria, ovvero ponendo C = {c*,0,1} e lasciando invariate le altre condizioni date per “+1”. (Oltre a risultare più compatto, questo algoritmo avrà il pregio di rendere più evidente la logica ad esso sottostante.) 3 - Costruire la Macchina “RdS” (Riconoscitore di Sequenze): - RdS opera sull’alfabeto C = {c*,a,b} - sul nastro è impressa, in celle contigue, una stringa disordinata, non nulla e finita, di simboli “a” e “b”, preceduta e seguita da (almeno) una cella vuota; - la CC iniziale è la prima cella di sinistra della stringa; - il compito di RdS consiste nell’individuare, se esiste, la prima occorrenza, entro la stringa, della sequenza di simboli “abba” in quattro celle contigue; - se tale sequenza viene individuata, RdS si arresta sulla cella di destra della sequenza; se essa non si presenta mai entro la stringa, RdS si arresta sulla prima cella vuota a destra della stringa. Una possibile soluzione di 2 e 3 è data nell’Appendice.

  25. Commenti La prima idea fondamentale in base alla quale Turing ha concepito la sua “macchina” consiste nello scomporre l’algoritmo di calcolo nei passi più elementari, si potrebbe dire “atomici”, a cui si può ridurre il modo di procedere di un calcolatore umano. Questi, reciprocamente, può eseguire il “programma-algoritmo” senza esplicare alcuna decisione o ragionamento “intelligente”. Infatti gli si chiede soltanto di armarsi di carta, matita e gomma da cancellare e di attenersi acriticamente alle istruzioni del programma e alle regole di funzionamento. Si tratta quindi di un procedimento puramente meccanico che, in linea di principio, può essere eseguito da una macchina dotata degli opportuni automatismi. Si noti che la descrizione della TM che abbiamo dato nelle slide precedenti (come pure la macchina “+1” usata come esempio) è alquanto differente dall’impostazione originaria che Turing ha esposto nei paragrafi 1-5 del suo celebre articolo On Computable Numbers, with an Application to theEntscheidungsproblem.[1] [1] L’articolo (pubblicato nei Proceedings of the London Mathematical Society, vol.42, 1936-7, pp.230-265) si conclude con un’appendice in cui Turing dimostra l’equivalenza tra la sua nozione di computabilità e il λ-calcolo che Alonzo Church aveva introdotto in un articolo di poco precedente. Da un lato quindi Turing si metteva all’altezza del già rinomato Church e, dall’atro, rivendicava la differenza e l’originalità del proprio approccio. Questa appendice Turing la scrisse durante il suo lungo soggiorno a Princeton (1936-8) durante il quale fu a contatto diretto con lo stesso Church e con altri personaggi dell’università e dello IAS (p.e. Kleene e von Neumann). Subito dopo, sempre a Princeton, scrisse una breve nota per correggere alcune inesattezze formali che gli erano state segnalate da P. Bernays (la nota è nello stesso volume dei Proceedings, pp.544-546).

  26. La più appariscente delle differenze che abbiamo introdotto consiste nel fatto che Turing presenta l’istruzione della TM come una quintupla ordinata, i cui primi due simboli sono quelli che noi abbiamo scorporato dal formato dell’istruzione (ridotto quindi a una terna) per usarli come “indirizzo” dell’istruzione stessa. Altri autori propongono varianti ancora diverse; nella moderna teoria della computabilità si usano poi TM configurate con più di un nastro. Turing inoltre non introduce esplicitamente il comando s* (stop) né fa uso della nostra AC (Area di Controllo). Nella concezione originaria, infine, si fa distinzione tra l’insieme dei simboli ausiliari (tra i quali il “blank” della cella vuota) e quello dei simboli “significativi” (chiamati “figures”); quest’ultimo insieme è composto dai soli caratteri “0” e “1” (fatto che peraltro non ha alcuna attinenza con l’uso dell’aritmetica binaria: un intero non negativo n viene infatti rappresentato sul nastro da una stringa di n+1 simboli “1” contigui, delimitata da almeno una cella vuota a destra e a sinistra). In ogni caso si tratta di varianti che non ledono la sostanza delle idee di Turing e che si è ritenuto utile adottare a scopo didattico, anche per dare più immediato risalto alla stretta analogia tra la TM e le logiche hardware / software dei computer “reali” a programma registrato.

  27. input per UTM programma particolare P & dati di input per P output di UTM output di (P applicato ai dati di input per P) UTM La seconda idea fondamentale, il cui sviluppo non esaminiamo in questa sede, consiste nell’aver dimostrato che esiste un programma universale che opera su un nastro su cui siano stati scritti (con una apposita codificazione) sia le istruzioni di un programma particolare, del tipo visto nell’esempio, e sia i dati di input su cui tale programma deve operare. Il programma universale (che altro non è se non la Macchina Universale di Turing - UTM) produce lo stesso output che sarebbe stato prodotto da quel programma particolare applicato a quei dati di input. In simboli: L’obiettivo dell’articolo di Turing (esposto nel paragrafo finale) era peraltro di natura esclusivamente logica: risolvere (negativamente) il problema dell’arresto (Halting Problem) per le TM, che è strettamente analogo al problema della decisione (l’entscheidungsproblem, proposto da Hilbert all’inizio del Novecento). Sotto questo aspetto, Turing si muoveva sulla stessa linea di pensiero seguita da Kurt Gödel per i suoi teoremi “negativi” pubblicati nel 1933 (incompletezza; non-decidibilità).

  28. APPENDICE

  29. s1 s1 s2 s2 c* 1,S,s2c*,D,s* c* 1,S,s2c*,D,s* 0 1,S,s2 0,S,s2 0 1,S,s2 0,S,s2 1 0,D,s1 1,S,s2 1 0,D,s1 1,S,s2 Soluzione proposta per la Macchina “+12” Si assuma (AC) iniziale = s1 Domanda In quale situazione viene eseguita l’istruzione evidenziata in giallo?

  30. s1 s1 s2 s2 s3 s3 s4 s4 a a,S,s2a,S,s1 a,S,s1 a,F,s* a a,S,s2a,S,s1 a,S,s1 a,F,s* b b,S,s1 b,S,s3 b,S,s4 b,S,s1 b b,S,s1 b,S,s3 b,S,s4 b,S,s1 c* c*,F,s* c*,F, s* c*,F, s*c*,F, s* c* c*,F,s* c*,F,s1 c*,F,s1 c*,F,s1 Soluzioni proposte per la Macchina “RdS” Si assuma (AC) iniziale = s1 Si osservi che le istruzioni agli indirizzi c*,s2, c*,s3 e c*,s4 sono forse “eleganti” ma certamente ridondanti; il seguente algoritmo risulta infatti più efficiente

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