关于回转仪平衡问题的研究

关于回转仪平衡问题的研究 03级物理一班李超学号:PB03203017 2004.4

(a) • 很多人在小时候都玩过一种玩具陀螺,将其一端架在支点上然后水平地释放它,开始它在水平面上摇摆着离去,之后就平稳地做均匀的进动,人们不禁会脱口问道:陀螺为什么不掉下来呢? • 这就涉及到刚体力学中凭知觉很难理解的一个问题:回转仪的进动. • 如果从运动方去求回转仪的普遍运动将是非常复杂的,而我们这里要研究的运动只是一种最简单的形式:均匀的进动.(a)是常见的玩具回转仪,其主要部分是一个旋转的飞轮,和一个用于固定转轴方向的支架.转轴一端置于塔状的支架顶上,使轴不受约束地可取各种不同的方位.

(b) N mg (c) • 图(b)是回转仪的略图,三角形表示无约束的支点,飞轮旋转方向如图所示,再根据受力图(c) 可以看出回转仪竖直方向的合力是N-mg,其中 N是支点所施的竖直力,mg是重力,若N=mg则质心不会下降. • 这个解释是正确的,但不能令人满意.我们提出了一个错误的问题.我们不应该问回转仪为什么不掉下来,而应该问它为什么不像摆那样绕支点摆动.

L (d) • 事事实上,如果释放回转仪时它的飞轮没有转动,那么它的行为就严格和摆一样,它竖直地摆动而不是水平地进动,只有当飞轮高速旋转时才做进动,在这种情况下,飞轮巨大的自旋角动量支配着系统的动力学. • 几回转仪全部角动量都依自旋角动量L而定.L是沿轴取向,其大小为Iω.I是飞轮绕其转轴的转动惯量. 当回转仪绕z轴进动时,在z方向有一个很小的轨道角动量,可是就均匀进动而言,轨道角动量的大小和方向都是常量,并不起动力学的作用,因此我们在这里不考虑它.

L(t3) L(t2) Ω L(t1) (e) z y N l x L (f) mg • L的方向总是沿着转轴,当回转仪进动时,L跟着它一起转动,若进动角速度是Ω,则L的变化率为 =ΩL • 的方向和L所掠过的水平圆相切,L变化的原因是由于力矩的作用,可以从(f)中看出,当把支点选作原点时力矩就是由作用在转轴端点的飞轮重量引起的,这个力矩的大小就是M=lmg,方向在y方向上平行于 ,从关系式 =M可求进动角速度Ω. = ΩL及M=lmg,故有Ω= (1). 该式指出, Ω随飞轮旋转减慢而增大, 用玩具回转仪很容易看到这个效应,显然 Ω不可能无限增大,最后均匀进动将要变成猛烈而不稳定的运动.

z y x • 以上用角动量定理解释了回转仪在重力作用下的进动的道理，现在我们从另一个更直接的角度来理解这一问题。相对于跟着回转仪一起进动的参考系而言，回转仪的角动量的大小和方向保持不变。进动参考系是匀速转动的参考系，是一非惯性系。在这一非惯性系中，回转仪除受到重力作用以外还受到惯性力的作用。 • 将回转仪看成匀质圆盘，θ是圆盘上一质量为dm的质点，在圆盘平面极坐标系中矢径与极轴的夹角，

Ω v θ x ω z Fc r y l x 在进动参考系中写出各物理量的分量式： Ω=Ωk r=xsinθi+lj+xcosθk v=ωxcosθi-ωxsinθk 圆盘上一点dm所受到的惯性离心力为 Fc=-Ω×(Ω×r)dm =( lxsinθi+ lj)dm dm惯性离心力在支点产生的力矩 Mfc=r×Fc =(- xlcosθi+ sinθcosθj)dm 对圆盘上所有的质点积分,设ρ为面密度 ΣMfc= （- xlcosθi+ sinθcosθj)ρxdxdθ =0

Ω v θ x ω z y x 再研究圆盘上一点dm所受到的科里奥利力为 Fcor=-2Ω×vdm =(2Ωωxcosθj)dm dm科里奥利力在支点产生的力矩 Mfcor=r×Fcor =(2Ωω cosθi-2Ωω sinθcosθk)dm 对圆盘上所有的质点积分 ΣMfcor= （2Ωω cosθi -2Ωω sinθcosθk)ρxdxdθ = Ωωρπi 再由（1）式推出Ω= = = 代入于是ΣMfcor=mgli Fcor r l

ΣMfc=0 • ΣMfcor=mgli • ΣMmg=-mgli ΣMfc+ΣMfcor+ΣMmg=0 由刚体的平衡原理知回转仪在进动参考系中处于平衡状态因此不会像摆一样上下摆动。 • 参考书目：《力学》杨维纮编著；中国科学技术大学出版社出版；《力学》郑永令编著；复旦大学出版社出版；

关于回转仪平衡问题的研究