Probability Review 2

1. Probability Review 2 Week 4 Continuous Random Variables & Continuous Distributions

2. Continuous Random Variableالمتغير العشوائي المستمر • المتغيرات العشوائية المستمرة لا يمكن تحديدها برقم محدد بل نستطيع حصرها في فترة محددة • مثال: طول شخص ما يقع بين a و b , وزن ... الخ وبالتالي: P(a<=X<=b)

3. Probability Density Function دالة الكثافة الاحتمالية P(a<=X<=b)= ∫f(x) dx • حيث a<=b, الدالة تحقق الشرطين : • f(x)>=0 , -∞<x<∞ • ∫f(x) dx =1 b a ∞ -∞

4. مثـــال 1 • دالة كثافة احتمالية لمتغير عشوائي مستمر X تعطى بالعلاقة f(x)=kēˉ³ˣ x>0 • اوجد قيمة kوكذلك P(0.5<X<1)

5. Comulative Distribution Function دالة التوزيع التراكمي F(x)=P(X<=x) - ∞<x< ∞ F(x)=∫f(t) dt -∞<x<∞ خواصها: • 0<=F(x)<=1, -∞<x<∞ ⇔ F(-∞)=0 , F(∞)=1 • When a<b  F(a)<=F(b) • When a<b  P(a<X<b)=F(b)-F(a) x -∞

6. مثـــال 2 • أوجد دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي السابق ثم استخدم دالة التوزيع التراكمي لإيجاد P(0.5<x<1)

7. Expected Value & Variance of Random Variable E(X) = ∫f(x) dx V(X)=E(X)²-[E(X)]²= ∫x² f(x) dx - [E(X)]² ∞ -∞ ∞ -∞

8. Homework : للدالة التالية: f(x) =2/9 x, 0<=x<=3 • اثبت أنها دالة كثافة احتمالية لمتغير عشائي ْ • احسب احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة في الفترة (2, 2.5) • أوجد التوقع والتباين

9. Special Continuous Probability Distributions:بعض التوزيعات الاحتمالية المستمرة الخاصة: • Normal Distribution • Standard Normal Distribution • Uniform Distribution • Exponential Distribution

10. Normal DistributionStandard Normal distribution • اذا كان المتغير العشوائي X له توقع وتباين . فان المتغير العشوائي Z= • له توقع E(Z)=0 • وتباين V(Z)= 1 فاذا كان X ̴N(100,100) فان Z ̴N(0,1) • وتكون دالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي Z f(z)= e - ∞<z<∞ • دالة التوزيع التراكمي: F(z)=∫f(t) dt -∞<z<∞ X-E(X) ơ -z² 2 ___1_ √2Pi z -∞

11. Uniform Distributionالتوزيع المستمر المنتظم • هو توزيع احتمالي لمتغير عشوائي X يأخذ جميع القيم الممكنة في الفترة (a,b) • دالة الكثافة الاحتمالية f(x)=1/(a-b) • دالة التوزيع التراكمي F(x)=(x-a)/(b-a) • توقع E(X)=(a+b)/2 • تباين V(X)=(b-a)²/12

12. مثـــال 3: • للمتغير العشوائي X ̴ U(0,6) أوجد • دالة الكثافه الاحتمالية • P(2<=X<=4) • P(X>5) • توقع وتباين المتغير العشوائي

13. Exponential Distributionالتوزيع الأسي • توزيع مهم لوصف الظواهر العشوائية مثل (الزمن الذي تستغرقه اله كي تتعطل, الزمن الذي تستغرقه لمبه كي تحترق,الزمن بين وصول زبون واخر, الزمن الذي يستغرقه صراف في بنك لخدمة زبون) • دالة الكثافة الاحتمالية f(x)=ℷe • دالة التوزيع التراكمي F(x)=1-e • توقع E(X)=1/ℷ • تباين V(X)=1/ℷ² -ℷx -ℷx

14. مثــــال : • مكتوب على علبة للمبة نبون ان متوسط عمرها هو 8760 ساعة اضاءه , اذا علم ان عمر لمبة النيون له توزيع اسياوجد: • ان تستمر اللمبة في الاضاءهلاكثر من 3 سنوات قبل ان تحترق • ماهو احتمال ان تحترق اللمبه قبل شهر من بداية استخدامها • ماهو احتمال ان تحترق اللمبه خلال ساعة من استخدامها

15. المراجع • مبادئ الإحصاء والاحتمالات • المؤلفين : • د. محمود هندي • د. عدنان بري