Conocer y manejar los conceptos de razón y proporción

3. Conocer y manejar los conceptos de razón y proporción Reconocer las magnitudes directa o inversamente proporcionales Construir sus correspondientes tablas de valores y formar con ellas distintas proporciones. Resolver problemas de proporcionalidad directa o inversa, por reducción a la unidad y por la regla de tres. Adquirir los algoritmos necesarios para resolver las situaciones de proporcionalidad simple de una forma rápida y efectiva

4. Conceptos Razón es el cociente de dividir dos números La razón de 3 a 4 es 3/4, cuyo valor es 0,75 Proporción la forman dos fracciones que tienen la misma razón = La razón de 6 a 8 también es 0,75, por lo que 3/4 y 6/8 forman una proporción Busca, y escribe en tu cuaderno, 5 parejas de fracciones que formen proporción y otras 5 que no.

5. También decimos que dos fracciones son equivalentes cuando es igual su producto cruzado. 8 x 3 = 24 EXTREMOS = 6 x 4 = 24 MEDIOS De siempre se ha llamado a esta particularidad PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES Y se define como el producto de medios es igual al producto de extremos

6. Las magnitudes son directamente proporcionales cuando una aumenta y la otra también y en caso de que una disminuya la otra también. Veamos la siguiente tabla de valores. En las magnitudes directamente proporcionales si multiplicamos o dividimos un par de valores correspondientes por un número, obtenemos otro par de valores también proporcionales. Para descubrir si la magnitud es directamente proporcional decimos lo siguiente: ¿Si aumentamos las bolsas aumentará el peso? ( a más, más) ¿Si disminuimos las bolsas, dirminuirá el peso? (a menos, menos) Si la respuesta es si, las magnitudes son directamente proporcionales En las magnitudes directamente proporcionales, el cociente de dos valores correspondientes es constante. (Constante de proporcionalidad)

7. Un grifo arroja 6 litros de agua cada minuto, ¿Cuántos litros arrojará en cinco minutos? Si observas el problema, tenemos dos magnitudes, el tiempo (expresamos en minutos) y la cantidad de agua arrojada (en litros). magnitudes Podremos construir la siguiente tabla en los primeros minutos. Cantidad de agua tiempo Se trata de una relación de proporcionalidad directa. 1 6 Para construir las proporciones, procedemos de la siguiente manera: 2 12 = 3 18 4 24 Como sabes ya, el producto cruzado ha de ser igual. 5 30 3 . 24 = 4 . 18 6 36

8. Por ahorro de espacio, solemos presentar las tablas de valores en posición horizontal. tiempo 1 2 3 4 5 6 magnitudes Cantidad de agua 6 12 18 24 30 36 Es conveniente formar las proporciones siguiendo la línea de las magnitudes. En este caso en horizontal. A veces la tabla de valores está incompleta, por ejemplo: = tiempo x 2 3 4 5 6 Cantidad de agua 6 12 18 y 30 z = ; y = 24 3 . y = 4 . 18 ; 3 . y = 72 ; y = 72/3

9. En muchas ocasiones se nos presentan situaciones con magnitudes proporcionales en las que conocemos tres datos y tenemos que calcular el cuarto. Seis bolígrafos cuestan 3,6 euros, ¿cuánto costarán 10 bolígrafos? magnitudes bolígrafos cuestan euros 6 3,6 euros bolígrafos 10 x Se trata de una regla de tres directa porque a más bolígrafos más euros y a menos, menos eurospagaremos. 6 3,6 10 x Proporciones = 6 x =3,6 .10; 6 x =36; x =36/6; x =6 euros

10. Imaginemos la tabla de la página anterior, en la que nos falten algunos datos. Haremos proporciones con cualquiera de los pares. Como necesito dos pares, escojo uno con ambas cantidades conocidas y uno de los que he de hallar su valor. Me sirve cualquier par 2 a ;2.1 = 4.a; 2 = 4.a; 2/4 = a; 0,5 = a; = 4 1 Seis kg de naranjas cuestan 4,2 €, calcula lo que costarán 16 Kg 6 es a 4,2 como 16 será a x. En proporciones… 6 4,2 x = 67,2/6; = ;6x = 4,2 . 16; 6x = 67,2; 16 x x = 11,2 €;

11. Las magnitudes son inversamente proporcionales cuando una aumenta y la otra disminuye y en caso de que una disminuya la otra aumenta. Veamos la siguiente tabla de valores en la que se refiere el número de días que durarán las manzanas dependiendo de las personas que las comen. Para descubrir si la magnitud es inversamente proporcional decimos lo siguiente: ¿Si aumentamos las personas disminuirán los días? ( a más, menos) ¿Si disminuimos las personas, aumentarán los días? (a menos, más) Si la respuesta es si, las magnitudes son inversamente proporcionales En las magnitudes inversamente proporcionales, el producto de dos valores correspondientes es constante. Veamos cómo se resuelve en este caso: 2 30 2 30 = 2.30 = 3 x; i Como son inversamente proporcionales, actuamos como en la división de fracciones (hacemos la inversa de una de ellas y luego se resuelve) i 3 x 3 x x = 20 x = 60/3;

12. Veamos el siguiente problema: 5 helados de chocolate cuestan 15 euros, calcula lo que nos costarán 7, 12 y 18 helados. Resolver este problema por regla de tres o a través de una tabla de valores supondría plantear la regla de tres o las proporciones derivadas tres veces. Podremos resolver el problema de una forma más rápida si calculamos el precio unitario y luego multiplicamos por el número de helados. magnitudes helados cuestan euros 5 15 x = 15/5; x = 3 euros 5 x = 15; 1 x Y por tanto, el nº de helados que nos piden: 7 helados, 7 . 3 = 21 euros 12 helados, 12 . 3 = 36 euros 18 helados, 18 . 3 = 54 euros

13. Cuando hablamos de “reducir a la unidad”, no tiene por qué ser uno exactamente, podemos tomar como “unidad” una cantidad que esté contenida en todas las que queremos hallar. Veamos el siguiente ejemplo: Tres socios han aportado a su sociedad 6.000, 9.000 y 15.000, que en este año 2009 ha tenido unos beneficios de 15.000 euros. Calcula lo que corresponde a cada uno. Al total del dinero aportado por los socios le corresponde el total de los beneficios de la sociedad. Podríamos ir viendo, individualmente, lo que corresponde a cada socio, pero será más rápido calcular los beneficios que corresponden a 3000 euros (por ejemplo). Una vez calculado, a 6000, euros corresponderá el doble, a 9000 el triple y a 15000 cinco veces. 30.000 x = 15.000 . 3.000 Proporciones magnitudes X = 1.500 Socio de 6.000 1.500 . 2 = 3.000 euros = Aportación producen Beneficio 30.000 15.000 Socio de 15.000 1.500 . 5 = 7.500 € Socio de 9.000 1.500 . 3 = 4.500 € 3.000 x

14. La relación de tanto por ciento es un caso particular de proporción. Veamos un ejemplo: 80 € 96 € En una zapatería se anuncian las siguientes ofertas: Vamos a calcular el descuento de los zapatos de 80€ magnitudes Proporciones: Total Dto. 56 € 44 € descuentan = 80 . 25 = 100 x; 80 x 2000 = 100 x; 20 = x 72 € 60 € 100 25 Calcula, en tu cuaderno, el descuento del resto de artículos de la zapatería 120 € 40 € ¿Qué relación existe entre cada uno de los precios originales y el descuento? ¿Podríamos calcular el 25% de cualquier cantidad de manera rápida y sencilla?

15. El 25% quiere decir que nos descuentan 25 euros de cada 100 O lo que es lo mismo, 25/100, que reducido es 1/4 Calcular el 25% se puede realizar dividiendo la cantidad por cuatro. Del mismo modo podremos calcular otros porcentajes, veamos: Es importante conocer estos casos particulares porque ahorrarás tiempo al realizar los cálculos

16. PorcentajesProporciones Fracciones Problemas de proporcionalidad

17. Se evaluarán los siguientes aspectos: La actitud y trabajo en el aula: Atiendes, participas, intervienes individualmente o en equipo, … 10% • El trabajo personal en casa: realizas los deberes, haces tus trabajos, … 10% • Las anotaciones de aula a lo largo del tema: por hacer bien los ejercicios en la pizarra o el ordenador, contestar bien a la teoría, ayudar a un compañero, ... 10% • El cuaderno de trabajo: contiene los ejercicios propuestos tanto en clase como en casa, está bien presentado,… 10% • Los ejercicios enviados al profesor en formato informático por correo electrónico o si están en tu carpeta de trabajo. 10% • La prueba de evaluación específica de la unidad (puede ser en formato informático y/o papel) 50%