1 / 47

Dane INFORMACYJNE

Dane INFORMACYJNE. Nazwa szkoły: Zespół Szkół nr 1 im. Komisji Edukacji Narodowej w Szczecinku, Liceum Ogólnokształcące im. J. Dąbrowskiego w Międzychodzie ID grupy: 97/8_MF_G2, 97/31_MF_G1 Opiekun: Dorota Dorożyńska, Leszek Kowalewicz Kompetencja: Matematyczno- fizyczna

bert
Download Presentation

Dane INFORMACYJNE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół nr 1 im. Komisji Edukacji Narodowej w Szczecinku, • Liceum Ogólnokształcące im. J. Dąbrowskiego w Międzychodzie • ID grupy: 97/8_MF_G2,97/31_MF_G1 • Opiekun: Dorota Dorożyńska, Leszek Kowalewicz • Kompetencja: • Matematyczno- fizyczna • Temat projektowy: • Paradoksy nieskończoności • Semestr/rok szkolny: • IV/V/2011/2012

  2. Nieskończoność… • „Nieskończoność - powiada się, że wszystko ma swój początek, więc musi mieć swój koniec. Wszystko co się rodzi musi umrzeć, wszystko co zostało stworzone, może być także zniszczone. Wszystko istnieje w czasie i przestrzeni.”

  3. PARADOKSY NIESKOŃCZONOŚCI • Zapytaliśmy nauczycieli różnych przedmiotów co rozumieją pod pojęciem „nieskończoność”. • Oto wyniki naszej ankiety: • Katecheta – dusza nieśmiertelna, wieczność • Matematyk – nieskończenie wiele liczb, niepoliczalność • Biolog – ilość wody w morzu • Fizyk – wszechświat • Polonista – coś bez ograniczeń, nieosiągalnego • Geograf – powietrze

  4. Cele tematu projektowego • Rozumienie pojęcia ”nieskończoność”, • Pogłębianie wiedzy o zbiorach liczbowych, • Zrozumienie pojęcia równoliczności zbiorów, mocy zbioru, • Umiejętność porównywania elementów zbiorów, określanie przyporządkowań, • Poznanie i operowanie pojęciem szeregu liczbowego,

  5. Cele tematu projektowego • Poszukiwanie w historii matematyki paradoksów dotyczących „wielkości nieskończonych”, • Poznanie metody tworzenia fraktali, • Rozwijanie ciekawości poznawczej i umiejętności badawczych, • Kształtowanie umiejętności poszukiwania źródeł informacji, korzystania z ich zasobów, analizy zebranych informacji, • Rozwijanie zainteresowań , twórczego podejścia do rozwiązywania problemów.

  6. Georg Cantor • „Istotą matematyki jest jej wolność. Wolność konstruowania, wolność czynienia założeń.” W 1874 Georg Cantor opublikował pracę, która jest uznawana za narodziny współczesnej teorii mnogości. ( 1845 - 1918)

  7. Teoria mnogości • Teoria mnogości, zwana również teorią zbiorów to jeden z działów matematyki, który wraz z jej postępem zaczął pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań. • Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia mocy (czyli "liczby elementów") zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób wzajemnie jednoznaczny.

  8. Zbiory liczbowe • Zbiór liczb naturalnych • Zbiór liczb całkowitych • Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których każdą liczbę można zapisać w postaci ułamka zwykłego , gdzie , • Zbiór liczb wymiernych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .

  9. Zbiory liczbowe • Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne. • Zbiór liczb niewymiernych zapisuje się jako różnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: • Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych. • Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez .

  10. Relacje między zbiorami liczbowymi

  11. Równoliczność zbiorów • Ciekawym zagadnieniem teorii mnogości jest badanie równoliczności zbiorów. • Jeśli liczba elementów w zbiorze wynosi n, gdzie n jest liczbą naturalną, to mówimy, że jest to zbiór skończony. O dwóch zbiorach skończonych powiemy, że są równoliczne, gdy mają tyle samo elementów. • Pojęcie "tyle samo elementów" przestaje jednak być intuicyjne, gdy dotyczy zbiorów nieskończonych.

  12. Zbiory równoliczneze skończoną ilością elementów Czy zbiór jabłek jest równoliczny ze zbiorem śliwek???

  13. Definicja • Dwa zbiory nazywamy równolicznymi wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca jeden zbiór na drugi. • Fakt, że dwa zbiory A i B są równoliczne oznaczamy • A ~ B

  14. Równoliczność zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb parzystych • Na pierwszy rzut oka zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb parzystych nie są równoliczne, gdyż w tym drugim jest "o połowę" mniej liczb. Tak przynajmniej nam się wydaje. Tymczasem okazuje się, że jest ich "tyle samo". Jak to sprawdzić. Po prostu. Ponumerować liczby parzyste : 2-ce dać numer 1, 4-ce numer 2, 6-tce numer 3 itd.

  15. Równoliczność zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb parzystych • Niech , B jest zbiorem liczb parzystych. • A i B są to zbiory równoliczne, ponieważ istnieje funkcja odwzorowująca zbiór A na zbiór B wzajemnie jednoznacznie dana wzorem

  16. Równoliczność zbioru liczb całkowitych i naturalnych • Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych , gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna dana wzorem • przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną.

  17. Równoliczność zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb wymiernych dodatnich . Równoliczność tych zbiorów można pokazać numerując wszystkie ułamki. Na czerwono zaznaczono ułamki, które wypadną z naszego ciągu gdyż zostały uwzględnione już poprzednio (np. 2/2, 3/3, 8/6 itp.).

  18. Zadanie • Czy zbiory X i Y gdzie: • X = { x ∈ N: 0 ≤ x <10 } Y={ x2: x ∈ N i x jest liczbą parzystą mniejszą od 20}są równoliczne? •  Rozwiązanie: • X= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} • Y= {0,4,16,36,64,100,144,196,256,324} • Tak, bo funkcja f(x) = 4x2 ustala wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru X na Y.

  19. Równoliczność przedziałów liczbowych • Dowolne dwa przedziały są równoliczne, ponieważ istnieje funkcja liniowa dana wzorem • która przekształca przedział (c,d) wzajemnie jednoznacznie na przedział (a, b).

  20. Równoliczność przedziałów liczbowych

  21. Szeregi liczbowe • Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg – sum częściowych: • Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym. • Szeregi mogą składać się z elementów dowolnego zbioru, w tym z liczb rzeczywistych, liczb zespolonych czy funkcji (wtedy mówi się o szeregach funkcyjnych).

  22. Suma szeregu • Sumą szeregu nazywamy liczbę , o ile granica ta istnieje i jest właściwa. W przeciwnym przypadku szereg nie ma sumy. Szereg, który ma sumę nazywa się zbieżnym, który jej nie ma − rozbieżnym • Zarówno szereg, jak i jego sumę oznacza się następująco:

  23. Szereg zbieżny i rozbieżny • Gdy szereg jest rozbieżny wtedy sumy nie ma gdyż dodając kolejne składniki suma rozrasta się coraz mocnej w sposób nieograniczony. • Możemy zauważyć, że jeżeli szereg jest zbieżny, to dodajemy coraz mniejsze wyrazy, które są już tak blisko zera, że z czasem nasz szereg prawie się nie zwiększa. Możemy też zaobserwować, że kolejne sumy są bardzo blisko pewnej liczby. Liczba ta nazywa się sumą szeregu.

  24. Przykład szeregu zbieżnego • jest równa 1, ponieważ:

  25. Graficzne przedstawienie szeregu Szereg zapełnia kwadrat jednakże go nigdy nie wypełni do końca. Zawsze zostanie pewien bardzo mały kawałek.

  26. Ciekawe podziały do nieskończoności • Najsłynniejszym matematycznym "dziwolągiem" jest zbiór Cantora. • Konstruujemy go w następujący sposób: • Bierzemy przedział domknięty [0, 1] • Dzielimy go na trzy równe części • Następnie wyrzucamy część środkową bez końców, czyli liczb 1/3 i 2/3 • W drugim kroku tę samą operację (dzielenia i wyrzucania) wykonujemy na dwóch pozostałych częściach. • W kroku n-tym operację wykonujemy na wszystkich otrzymanych do tej pory częściach • Po wykonaniu nieskończonej liczby kroków otrzymamy właśnie zbiór Cantora.

  27. Zbiór cantora przy n-tym kroku

  28. Krzywa Kocha Powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka.

  29. Dywan Sierpińskiego • Na początku rysujemy kwadrat na płaszczyźnie, i dzielimy go na 9 identycznych kwadratów. • Następnie usuwamy kwadrat środkowy i powtarzamy poprzedni krok dla pozostałych 9 kwadratów i tak dalej w nieskończoność.

  30. Trójkąt sierpińskiego Postępując z trójkątem równobocznycm podbnie jak z kwadratem można otrzymać dywan którego pole jest równe 0. Rodzi się pytanie ile za niego zapłacić?

  31. Paradoksy Zenona z Elei • Przedstawiamy zbiór kilku paradoksów pochodzących od greckiego filozofa, Zenona z Elei. (ok. 490 p.n.e. - ok. 430 p.n.e).

  32. Paradoksy ruchu • Sprinter ma do przebiegnięcia skończony dystans. Zanim jednak pokona całą odległość musi najpierw dobiec do 1/2 długości, ale zanim dobiegnie do 1/2 musi najpierw dobiec do 1/4, ale zanim dobiegnie do 1/4 musi najpierw dobiec do 1/8, i tak w nieskończoność. Wynika z tego, że biegacz ma do przebycia nieskończoną liczbę odcinków o skończonej długości. Ponieważ nie da się pokonać nieskończonej liczby odcinków w skończonym czasie, biegacz nigdy nie ukończy biegu. Co więcej, biegacz nie może nawet zacząć biegu, bo ten sam paradoks stosuje się również do dystansu dowolnie zmniejszonego: tak samo, jak nie da się (według powyższego rozumowania) dobiec na dystans 100 m, nie da się również na dystans jednego metra ani na dystans jednego milimetra.

  33. Paradoksy ruchu • Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu "ucieknie" pokonując 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność.

  34. Paradoksy ruchu • Wniosek: Achilles nigdy nie dogoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej, gdyż zawsze będzie dzieliła ich zmniejszająca się odległość.

  35. Paradoksy ruchu • Strzała wystrzelona z łuku pokonała określony dowolny odcinek drogi. Można więc powiedzieć, że w momencie wystrzelenia znajdowała się ona na początku tej trasy, a po dotarciu do celu – na końcu. Pytanie jednak, gdzie przebywała w trakcie pokonywania tej drogi. Można odpowiedzieć, że w 1/4 czasu pokonywania tego odcinka musiała być niewątpliwie w 1/4 odcinka. Gdy zadamy pytanie, gdzie była po 1/2 czasu lotu, znowu można odpowiedzieć, że w 1/2 odcinka. Po 3/4 czasu – w 3/4 odcinka, i tak dalej w nieskończoność. Możemy sobie wyobrażać dowolną chwilę lotu, w którym strzała znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, w konkretnej odległości od łucznika. Czyli możemy powiedzieć, że skoro w każdej chwili znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, więc w każdej chwili była w spoczynku. Niemożliwe jest zatem, aby w każdej chwili czasu strzała pozostawała w spoczynku i poruszała się jednocześnie.

  36. Paradoks Hilberta - hotel hilberta • W pewnym hotelu jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte. Przychodzi do nas kolejny klient chcący wynająć pokój. Wydawałoby się, że sytuacja jest bez wyjścia i musimy klienta odprawić z kwitkiem. Na szczęście nasz hotel ma nieskończoną liczbę pokoi więc możemy wykonać sprytny trik: Klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3 itd. Ogólnie można powiedzieć że dokonujemy przekwaterowania klientów z pokojów n do pokojów n+1. W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc mimo że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta.

  37. Paradoks Hilberta - hotel hilberta Być może Hilbert miał na myśli hotel z liczbą pięter i pokoi dążącą do nieskończoności

  38. Krzywa Peano • Giuseppe Peano ( 1858 - 1932 ) – włoski matematyk i logik. Skonstruował przykład funkcji ciągłej przekształcającej odcinek domknięty na kwadrat domknięty, co jest sprzeczne z powszechną intuicją. Odwzorowanie to jest zwane krzywą Peano. • Giuseppe Peano w latach 1890-91 rozpatrywał krzywe, które całkowicie wypełniałyby płaszczyznę dwuwymiarową, czyli przechodziłyby przez wszystkie punkty na tej płaszczyźnie. • Krzywa Peano ma nieskończoną długość, cechy samopodobieństwa i przebiega przez każdy punkt kwadratu. Ma cechy fraktalu.

  39. Kolejne etapy powstawania krzywej Peano

  40. fraktale "Fraktalem jest wszystko.” Benoit Mandelbrot

  41. fraktale • Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Zbiór Julii

  42. fraktale Fraktal proponuje się określać jako zbiór który: • ma nietrywialną strukturę w każdej skali, • struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, • jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym, • jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, • ma względnie prostą definicję rekurencyjną, • ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

  43. Powstawanie fraktali - smok Heighwaya

  44. źródła • http://www.wikipedia.org • http://www.cut-the-knot.org/Whatis/WhatIsInfinity.shtml • http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.large.numbers.html • Zamieszczone zdjęcia pochodzą z Internetu.

  45. Prezentację przygotowali 97_8_mf_g2 97_31_mf_g1 Damian Chmielewski Michał Jurgowiak Ewelina Kachel Jakub Kowala Adrianna Osowska Patrycja Osuch Marlena Paech Krzysztof Pawlak Magdalena Schubert Katarzyna Sokołowska • Ania Wardakowska • Natalia Szylak • Agnieszka Pawlak • Justyna Gaworska • Paulina Klusaczyk • Kamila Tokarz • Paulina Zastocka • Mateusz Bednarski • Piotr Osip • Stanisław Stecenko

More Related