Modelagem Estatística

1. ModelagemEstatística

2. População e Amostra • População: Conjunto dos elementos que se deseja abranger no estudo considerado. • Amostra: Subconjunto dos elementos da população.

3. População • Finita- Alunos do mestrado, funcionários de uma empresa, eleitores etc. • Infinita - Nascimentos em um cidade, produção de uma máquina etc.

4. População e Amostra • Censo: Estudo através do exame de todos os elementos da população. • Amostragem: Estudo por meio do exame de uma amostra.

5. Técnicas de Amostragem • Amostragem probabilística (aleatória) - a probabilidade de um elemento da população ser escolhido é conhecida. • Amostragem não probabilística (não aleatória) - Não se conhece a probabilidade de um elemento da população ser escolhido para participar da amostra.

6. Amostragem Aleatória Simples • Faz-se uma lista da população e sorteiam-se os elementos que farão parte da amostra. • Cada subconjunto da população com o mesmo nº de elementos tem a mesma chance de ser incluído na amostra. pr = n/N

7. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

8. Parâmetro e Estatística • Parâmetro - característica relacionada à população. • Estatística - característica relacionada à amostra.

9. Parâmetros • Média  • Proporção p • Desvio Padrão  • etc

10. Estatísticas • Média X • Proporção p • Desvio Padrão s • etc

11. Distribuições Amostrais • Qualquer característica de uma amostra aleatória (estatística) é uma variável aleatória. • Em outras palavras, se tomarmos várias amostras de forma parecida, os resultados da característica (estatística) que nos interessa variarão por causa da aleatoriedade do sorteio.

12. Distribuições Amostrais • Distribuição Amostral - Distribuição de probabilidades de uma estatística.

13. Exemplo • A população de um estudo é composta de 4 pessoas (N=4) e a variável de interesse é a altura. X1=1,50m X2=1,60m X3=1,70m X4=1,80m

14. Parâmetros N=4 X1=1,50m X2=1,60m X3=1,70m X4=1,80m • Média populacional: = 1,65m • Desvio Padrão:  = 0,1118m

15. Exemplo • Retira-se uma amostra aleatória simples com 2 elementos (n=2), com reposição. • Qual será a média amostral? • Qual é a distribuição de probabilidades da média amostral?

16. Amostra X X 3 1 X X 3 2 X X 3 3 X X 3 4 X X 4 1 X X 4 2 X X 4 3 X X 4 4 Exemplo Amostra X X 1 1 X X 1 2 X X 1 3 X X 1 4 X X 2 1 X X 2 2 X X 2 3 X X 2 4

17. X Amostra Amostra X X X 1,50 X X 1,60 1 1 3 1 X X 1,55 X X 1,65 1 2 3 2 X X 1,60 X X 1,70 1 3 3 3 X X 1,65 X X 1,75 1 4 3 4 X X 1,55 X X 1,65 2 1 4 1 X X 1,60 X X 1,70 2 2 4 2 X X 1,65 X X 1,75 2 3 4 3 X X 1,70 X X 1,80 2 4 4 4 Exemplo

18. Amostra X Prob. Amostra X Prob. X X 1,60 1/16 X X 1,50 1/16 3 1 1 1 X X 1,65 1/16 X X 1,55 1/16 3 2 1 2 X X 1,70 1/16 X X 1,60 1/16 3 3 1 3 X X 1,75 1/16 X X 1,65 1/16 3 4 1 4 X X 1,65 1/16 X X 1,55 1/16 4 1 2 1 X X 1,70 1/16 X X 1,60 1/16 4 2 2 2 X X 1,75 1/16 X X 1,65 1/16 4 3 2 3 X X 1,80 1/16 X X 1,70 1/16 4 4 2 4 Total - 1 Exemplo

19. X P(X) P(X) 0,0625 1,50 1/16 0,1250 1,55 2/16 0,1875 3/16 1,60 0,2500 1,65 4/16 1,70 3/16 0,1875 1,75 2/16 0,1250 1/16 1,80 0,0625 Total 1 Distribuição Amostral da Média

20. Distribuição Amostral da Média 4/16 3/16 3/16 2/16 2/16 1/16 1/16 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80

21. Distribuição Amostral da Média • Calcular o valor esperado (média) e o desvio padrão da média amostral.

22. X P(X) x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn Total 1 Média eVariância E(X) = x =  (xi.pi) VAR(X) = x =  pi.(xi-x)2

23. X P(X) P(X) 0,0625 1,50 1/16 0,1250 1,55 2/16 0,1875 3/16 1,60 0,2500 1,65 4/16 1,70 3/16 0,1875 1,75 2/16 0,1250 1/16 1,80 0,0625 Total 1 Distribuição Amostral da Média

24. Distribuição Amostral da Média  X = E(X) = 1,65 m  X=0,0791 m

25. =  a) x Distribuição Amostral da MédiaCaracterísticas

26. b) população infinita ou muito grande ou amostragem com reposição  = x n N - n  população finita = x N - 1 n Distribuição Amostral da MédiaCaracterísticas

27. Distribuição Amostral da MédiaCaracterísticas • c) A distribuição da média amostral é normal.

28. Exercício • Uma fábrica de pneus alega que a vida média dos pneus é 30.000 Km, com desvio padrão de 2.000 Km. Tomando-se como verdadeiros estes dados, qual é a probabilidade de uma amostra com 40 pneus apresentar vida média menor que 29.500 Km?

29.  = x n 2000 = x x 40 Exercício = 316,22777

30. P(X<29500) X 29,5 30 Exercício

31. 29500 = 29.500 - 30.000 = -1,58 316,23 0,057053 Z 0 -1,58 Exercício

32. Exercício • Um lote com 100 pneus apresenta vida útil média de 30.000 Km, com desvio padrão de 2.000 Km. Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória simples com 40 pneus apresentar vida média de menos que 29.500 Km?

33. N - n  = x N - 1 n 100 - 40 2000 = x 100 - 1 40 = 246,18298 x Exercício

34. P(X<29500) X 29,5 30 Exercício

35. 29500 = 29.500 - 30.000 = -2,03 246,18 0,021178 Z 0 -2,03 Exercício

36. Exercício 1 • Se a vida útil média de uma peça é 5.000 horas, com desvio padrão de 200 horas, qual é a probabilidade de que uma amostra com 25 produtos apresente média superior a 5.100 horas? 0,00621

37. Exercício 2 • Um banco informa que o saldo médio das 2000 contas de pessoas físicas é $ 500, com desvio padrão de $ 100. Se uma amostra aleatória de 50 correntistas (pessoa física) daquele banco for retirada, qual é a probabilidade do saldo médio ser menor que $ 480?

38. Exercício • População finita : Resp = 0,076359 • População infinita: Resp = 0,079270

39. Modelagem Estatística Distribuição Amostral da Proporção

40. Plano de amostragem p Distribuição Amostral da Proporção p - prop. populacional p - prop. amostral População Amostra p

41. Exemplo • A população de um estudo é composta de 4 pessoas (N=4) e a variável de interesse é a proporção de pessoas altas (altura > 1,75m). N=4 X1=1,50m X2=1,60m X3=1,70m X4=1,80m

42. Parâmetro N=4 X1=1,50m X2=1,60m X3=1,70m X4=1,80m Proporção populacional: 1/4 = 0,25

43. Exemplo • Retira-se uma amostra aleatória simples com 2 elementos (n=2), com reposição. • Qual será a proporção amostral? • Qual é a distribuição de probabilidades da proporção amostral?

44. número de pessoas altas proporção = tamanho da amostra Distribuição Amostral da Proporção Binomial (n=2 , p=1/4)

45. = p a) p Distribuição Amostral da ProporçãoCaracterísticas

46. p.(1-p) = p n p.(1-p) N - n = p N - 1 n Distribuição Amostral da ProporçãoCaracterísticas b) população infinita ou muito grande ou amostra com reposição população finita

47. Distribuição Amostral da ProporçãoCaracterísticas c1) A distribuição das proporções amostrais é binomial no caso de população infinita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal. c2) A distribuição das proporções amostrais é hipergeométrica no caso de população finita. Quando o tamanho da amostra for grande, esta distribuição pode ser aproximada por uma distribuição normal.

48. Exercício • Uma fábrica de pneus alega que 99% de seus produtos possuem vida útil longa (duram mais que 30.000 Km). Tomando-se como verdadeiros estes dados, qual é a probabilidade de uma amostra com 400 pneus apresentar menos que 2% dos pneus com vida útil menor que 30.000 Km?

49. p.(1-p) n Exercício = p 0,01.0,99 = = 0,004975 p p 400

50. P(p<0,02) P 0,02 0,01 Exercício