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Rappresentazione dei dati con istogrammi

Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali Facoltà di Scienze MM FF e NN, Università Sannio. Rappresentazione dei dati con istogrammi. Giovanni Filatrella ( filatrella@unisannio.it ). Dati grezzi. I dati sperimentali si presentano in genere sotto forma di tabelle:.

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Rappresentazione dei dati con istogrammi

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Presentation Transcript

  1. Elaborazione Statistica dei Dati SperimentaliFacoltà di Scienze MM FF e NN, Università Sannio Rappresentazione dei dati con istogrammi Giovanni Filatrella (filatrella@unisannio.it) G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  2. Dati grezzi I dati sperimentali si presentano in genere sotto forma di tabelle: Tasso di fecondità totale per 1.000 donne in età 15-49 per regione di residenza - Anni 1982-1997 Table 10.1 continue - Total fertility rate per 1.000 women aged 15-49 by region of residence - Years 1982-1997 REGIONI E RIPARTIZIONI 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 (a) Piemonte 1101 1124 1080 1046 1026 1028 1047 1088 Valle d'Aosta 1.183 1.160 1.116 1.013 1.082 1.102 1.196 1.314 Lombardia 1.147 1.124 1.125 1.100 1.068 1.074 1.099 1.141 Trentino-Alto Adige 1.402 1.410 1.420 1.345 1.339 1.335 1.385 1.436 Veneto .159 1.115 1.138 1.092 1.064 1.073 1.101 1.150 Friuli-Venezia Giulia 1.029 1.024 1.043 950 942 941 975 1.02 Liguria 1.011 1.007 1.027 960 928 915 938 969 Emilia-Romagna 1.013 1.007 993 968 956 967 1.006 1.035 Toscana 1.082 1.052 1.048 1.019 982 979 995 1.03 Umbria 1.176 1.162 1.176 1.108 1.074 1.061 1.068 1.097 Marche 1.230 1.207 1.187 1.131 1.087 1.107 1.085 1.116 Lazio 1.280 1.233 1.259 1.208 1.168 1.109 1.121 1.167 Abruzzo 1.394 1.353 1.349 1.296 1.245 1.175 1.191 1.185 Molise 1.425 1.406 1.421 1.326 1.280 1.209 1.166 1.211 Campania 1.809 1.810 1.794 1.663 1.601 1.499 1.570 1.573 Puglia 1.654 1.601 1.584 1.486 1.437 1.369 1.367 1.386 Basilicata 1.660 1.557 1.570 1.435 1.363 1.327 1.269 1.284 Calabria 1.744 1.668 1.653 1.564 1.432 1.396 1.351 1.329 Sicilia 1.853 1.775 1.792 1.670 1.548 1.455 1.468 1.487 Sardegna 1.370 1.291 1.223 1.164 1.089 1.055 1.030 1.108 Nord 1.117 1.104 1.101 1.064 1.040 1.043 1.075 1.115 Centro 1.206 1.169 1.179 1.134 1.094 1.068 1.076 1.116 Sud 1.712 1.664 1.654 1.547 1.466 1.391 1.403 1.419 ITALIA 1.358 1.328 1.326 1.262 1.215 1.187 1.205 1.217   (a) Dati provvisori. (a) Provisional data. Fonte: ISTAT - Servizio "Popolazione e cultura". Source: ISTAT - Unit "Popolazione e cultura". G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  3. Analisi dei dati I dati così raccolti devono essere elaborati per rispondere a delle domande: • Il tasso di fertilità è stato maggiore nel 1992 o nel 1993? • Le variazioni da una regione all’altra sono grandi? • Quale potrebbe essere stato sulla base di questi dati il tasso nel 1998? G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  4. Come si risponde in presenza di variabilità: 1991 1992 1.124 1.080 1.160 1.116 1.124 1.125 1.410 1.420 1.115 1.138 1.024 1.043 1.007 1.027 1.007 993 1.052 1.048 1.162 1.176 1.207 1.187 1.233 1.259 1.353 1.349 1.406 1.421 1.810 1.794 1.601 1.584 1.557 1.570 1.668 1.653 1.775 1.792 1.291 1.223 Il tasso di fertilità è stato maggiore nel 1992 o nel 1993? I valori sottolineati sono quelli maggiori, e non sempre appartengono allo stesso anno. L’analisi statistica di questi dati dovrebbe dare una risposta quantitativa G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  5. Importante In presenza di variabilità la domanda “qual è più grande” potrebbe dipendere da molti fattori – in seguito vedremo quindi vari approcci che potrebbero quindi dare risultati diversi per lo stesso insieme di dati. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  6. Definizioni • Individui: i soggetti delle misure • Variabile casuale: Una grandezza misurabile che assume valori in principio diversi per i diversi individui Ex: nella tabella (1) se si seleziona una regione un “individuo” è un anno. La variabile casuale è il tasso di fertilità. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  7. Applicazione del concetto di “individuo” e “variabile casuale” 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Val d'Aosta 1.183 1.160 1.116 1.013 1.082 1.102 1.196 1.314 In corrispondenza di ogni anno (ovvero di ogni individuo) si misura una quantità: il numero di figlinati in quell’anno per 1000 donne (la variabile casuale). Nell’analisi di qualsiasi tipo di dati è essenziale innanzitutto comprendere quali siano gli “individui” e quale sia la “variabile casuale”. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  8. Nomenclatura dei diversi tipi di variabili casuali Una grandezza misurabile, cioè una variabile casuale, può comunque appartenere a diverse categorie: • Continua: può assumere un qualsiasi valore fra i numeri reali; • Discreta: può assumere un qualsiasi valore fra i numeri interi; • Nominale: può assumere diversi valori, ma fra questi non vi è nessun ovvio ordinamento. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  9. Esempi di variabile continua: • Misurare l’altezza di coloro che seguono questo corso; • Misurare il peso di coloro che seguono questo corso; • Misurare la distanza che percorre ognuno di coloro che seguono questo corso per raggiungere la Facoltà. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  10. Esempi di variabile discreta: • Misurare l’anno di nascita di coloro che seguono questo corso; • Misurare il numero di fratelli e sorelle di coloro che seguono questo corso; • Misurare il numero di crediti già conseguiti da coloro che seguono questo corso. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  11. Esempi di variabile nominale: • Misurare il luogo di nascita di coloro che seguono questo corso; • Misurare la scuola di provenienza di coloro che seguono questo corso; • Misurare il Codice di Avviamento Postale della residenza di coloro che seguono questo corso. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  12. Applicazione alla tabella sul tasso di fertilità: REGIONI E RIPARTIZIONI 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Valle d'Aosta 1.183 1.160 1.116 1.013 1.082 1.102 1.196 1.314 Lombardia 1.147 1.124 1.125 1.100 1.068 1.074 1.099 1.141 Trentino-Alto Adige 1.402 1.410 1.420 1.345 1.339 1.335 1.385 1.436 Veneto .159 1.115 1.138 1.092 1.064 1.073 1.101 1.150 Friuli-Venezia Giulia 1.029 1.024 1.043 950 942 941 975 1.02 Liguria 1.011 1.007 1.027 960 928 915 938 969 Emilia-Romagna 1.013 1.007 993 968 956 967 1.006 1.035 Toscana 1.082 1.052 1.048 1.019 982 979 995 1.03 Umbria 1.176 1.162 1.176 1.108 1.074 1.061 1.068 1.097 Marche 1.230 1.207 1.187 1.131 1.087 1.107 1.085 1.116 Lazio 1.280 1.233 1.259 1.208 1.168 1.109 1.121 1.167 Abruzzo 1.394 1.353 1.349 1.296 1.245 1.175 1.191 1.185 Molise 1.425 1.406 1.421 1.326 1.280 1.209 1.166 1.211 Campania 1.809 1.810 1.794 1.663 1.601 1.499 1.570 1.573 Puglia 1.654 1.601 1.584 1.486 1.437 1.369 1.367 1.386 Basilicata 1.660 1.557 1.570 1.435 1.363 1.327 1.269 1.284 Calabria 1.744 1.668 1.653 1.564 1.432 1.396 1.351 1.329 Sicilia 1.853 1.775 1.792 1.670 1.548 1.455 1.468 1.487 Sardegna 1.370 1.291 1.223 1.164 1.089 1.055 1.030 1.108 Per le tre variabili casuali: x1{Il tasso di fertilità per il 1991 nelle varie regioni} x2{L’anno in cui ogni regione ha mostrato il minimo tasso di fertilità} x3{La regione che ogni anno ha mostrato il massimo tasso di fertilità} stabilire di quale tipo si tratti G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  13. Risposte • x1{Il tasso di fertilità per il 1991 nelle varie regioni} continua 2. x2{L’anno in cui ogni regione ha mostrato il minimo tasso di fertilità} discreta 3. x3{La regione che ogni anno ha mostrato il massimo tasso di fertilità} nominale G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  14. Problema Il tasso di fertilità è il numero di figli, quindi dovrebbe essere un intero. Perché invece asseriamo che può assumere un qualsiasi valore e quindi è una variabile continua? Rispondere a casa scrivendo la motivazione. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  15. Importanza dell’elaborazione dei dati Es.: per le variabili x2 e x3, anche se la tabella contiene sicuramente l’informazione, non è ovvio sapere cosa succede. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  16. x1{Il tasso di fertilità misurato nel 1991}  1991 1,124 1,160 1,124 1,410 1,115 1,024 1,007 1,007 1,052 1,162 1,207 1,233 1,353 1,406 1,810 1,601 1,557 1,668 1,775 1,291 • OSSERVAZIONI • Gli individui sono le regioni • La variabile casuale è continua Ma aver isolato i dati non basta a darci un’idea di cosa succeda. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  17. 1,007 1,007 1,024 1,052 1,115 1,124 1,124 1,160 1,162 1,207 1,233 1,291 1,353 1,406 1,410 1,557 1,601 1,668 1,775 1,810 1,007 1,007 1,024 1,052 1,115 1,124 individui per i quali la variabile 1,124 compresa fra 1 ed 1,2 1,160 1,162 1,207 1,233 individui per i quali la variabile è 1,291 compresa fra 1,2 ed 1,4 1,353 1,406 1,410 individui per i quali la variabile è 1,557 compresa fra 1,4 ed 1,6 1,601 1,668 individui per i quali la variabile è 1,775 compresa fra 1,6 ed 1,8 1,810 individui per i quali la variabile è compresa fra 1,8 e 2 Ordinare i dati dal più piccolo al più grande è utile: Questa prima elaborazione aiuta a comprendere cosa succede. D: cosa si nota dalla tabella ordinata? G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  18. Gli intervalli della slide precedente si dicono “classi”: I classe: 1 b  1.2 II classe: 1.2 b  1.4 III classe: 1.4 b  1.6 IV classe: 1.6 b  1.8 V classe: 2 b b{tasso di natalità} Il numero di individui in una classe è la “frequenza assoluta” : 9 4 3 3 1 Ni{frequenza assoluta} Suddivisione in “Classi” G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  19. Definizioni • Si dice “Classe” un intervallo di valori della variabile casuale cui un individuo può appartenere o no. Il numero di classi in cui suddividere dei dati grezzi dipende da come risulta più efficace la rappresentazione. • L’intervallo della variabile casuale compreso in una classe si dice “Ampiezza della classe”. Anche le ampiezze delle classi non possono essere decise a priori. Ove possibile, è preferibile che siano tutte uguali. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  20. La “freq. assoluta” può essere espressa in percentuali: 45% 20% 15% 15% 5% una percentuale {fiX100} Rappresentazione efficace della suddivisione in “Classi” La “freq. assoluta” diviso il totale N di individui è la “frequenza relativa”: 0.45 0.20 0.15 0.15 0.05 fi=Ni/N{frequenza relativa} G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  21. No b Classe frequenza frequenza frequenza assoluta relativa relativa % 1 1,007 1 9 0.45 45.00% 2 1,007 3 1,024 4 1,052 5 1,115 6 1,124 1,124 8 1,160 9 1,162 10 1,207 4 0.20 20.00% 11 1,233 12 1,291 13 1,353 14 1,406 3 3 0.15 15.00% 15 1,410 16 1,557 17 1,601 4 3 0.15 15.00% 18 1,668 19 1,775 20 1,810 5 1 0.05 5.00% Totali 20 1 100.00% Una tabella dei dati ordinati contiene gli elementi essenziali per rappresentare le misure: Tabella riassuntiva G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  22. Rappresentazione grafica: l’Istogramma • Alcune regole: • Chiarire cosa c’è sugli • assi; • Indicare solo pochi • valori a distanze • uniformi; • Scegliere dimensioni • tali che simboli e • numeri siano • facilmente leggibili. Frequenza rel. 0.4 0.3 0.2 0.1 b (variabile casuale) 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  23. Può capitare che i dati siano distribuiti in modo tale che la divisione in classi ne influenzi molto l’aspetto: S (%) 1 Piemonte 0,34 2 Valle D'Aosta 0,45 3 Lombardia 0,27 4 Trentino - Alto Adige 0,04 5 Veneto 0,27 6 Friuli - Venezia Giulia 0,20 7 Liguria 2,34 8 Emilia - Romagna 0,12 9 Toscana 0,64 10 Umbria 0,74 11 Marche 0,93 12 Lazio 2,27 13 Abruzzo 0,73 14 Molise 1,48 15 Campania 4,91 16 Puglia 3,63 17 Basilicata 1,52 18 Calabria 2,43 19 Sicilia 0,87 20 Sardegna 1,75 La scelta delle classi influenza l’aspetto degli istogrammi Percentuale di boschi andati a fuoco nel 1985 nelle varie regioni italiane (Fonte: ISTAT). G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  24. Tabella distribuzione superficie incendi 1985 No S(%) Classe frequenza frequenza frequenza assoluta relativa relativa % 1 0,04       2 0,12       3 0,20       4 0,27       5 0,27       6 0,34       7 0,45 1 7 0,35 35% 8 0,64       9 0,73       10 0,74       11 0,87       12 0,93 2 5 0,25 25% 13 1,48 3 1 0,05 5% 14 1,52       15 1,75 4 2 0,10 10% 16 2,27       17 2,34       18 2,43 5 3 0,15 15%   6 0 0,00 0%   7 0 0,00 0% 19 3,63 8 1 0,05 5%   9 0 0,00 0% • 4,91 10 1 0,05 5% Totali 20 1,00 100% E’ difficile rappresentare i dati in questa forma perché molte classi risultano vuote. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  25. Istogrammi di dati distribuiti in modo “anomalo” • I problemi che • sono sorti: • I valori per piccole • superfici cadono • tutti nella stessa • classe • I singoli valori per • grandi superfici • sembrano costituire • dei picchi con un • significato Frequenza rel. Ampiezza: 0.5% 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 % Superficie incendiata G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  26. Un diverso tipo di suddivisione in classi Molte regioni sono afflitte da piccoli incendi In poche regioni gli incendi sono devastanti Rimane il problema che il 60% è appiattito in una sola classe. Frequenza rel. Ampiezza: 1% 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 % Superficie incendiata G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  27. Istogrammi di dati non uniformemente separati Per ovviare a questi inconvenienti a volte la soluzione è scegliere classi di ampiezza non uniforme. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  28. II elab No S(%) Classe Area altezza freq. freq. Freq. del rett. assoluta relativa relativa % 1 0,04       2 0,12       3 0,20  1 0.25%  0,6 3  0,15 15% 4 0,27       5 0,27       6 0,34       7 0,45 2 0,25% 0,8 4 0,2 20% 8 0,64       9 0,73       10 0,74       11 0,87       12 0,93 3 0,5% 0,5 5 0,25 25% • 1,48 14 1,52       15 1,75 4 1% 0,15 3 0,15 15% 16 2,27       17 2,34       18 2,43 5 1% 0,15 3 0,15 15% 19 3,63 6 1% 0,05 1 0,05 5% • 4,91 7 1% 0,05 1 0,05 5% Totali 20 1,00 100% Si sono scelte classi di ampiezza diversa G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

  29. Istogrammi con ampiezza delle classi non uniforme Densità di frequenza • Si riescono a distinguere • i dati anche vicino allo 0% • Però: • La frequenza è prop. • all’area dei rettangoli • 2. L’asse verticale è • una densità di • frequenza 0.8 Ampiezza variabile 0.6 0.4 0.2 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 % Superficie incendiata G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

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