Codifica dei Dati

1. Codifica dei Dati • Idea: vogliamo rappresentare dati eterogenei utilizzando un linguaggio che l’elaboratore puo’ facilmente manipolare • Essenzialmente vogliamo costruire una codifica tra linguaggi • Utilizzamo codifica binaria per le seguenti ragioni • un alfabeto con due soli simboli corrisponde al linguaggio di una macchina basata su circuiti elettronici • riduce l’errore nella rappresentazione dell’informazione • Il numero di simboli per rappresentare numeri cresce in modo logaritmico con il numero: per rappresentare N occorrono in fatti simboli

2. Vari tipi di codifiche • La rappresentazione usuale dei numeri e’ quella posizionale decimale dove si utilizzano 10 caratteri • Alfabeto: 0…9 • Si ragiona in base 10. • Es. 19= 1*10+9*(10**0) • Operazioni aritmetiche: • Le tabelline delle elementari…(riporto ecc)

3. Altre possibili rappresentazioni: • Unaria: una barretta per unita’ • Ad es: IIIIIIIIIIIIII rappresenta 15!!! • Numeri Romani con multipli di 5: • Alfabeto: I V X L C D (500) M (1000) • Si minimizza numero di simboli ad es: I II III IV V …. XL (40) …. MCCLXXI (1271)…. • Problema con numeri > 4000: • Ad es. MMMMMMMMMMMM… • Operazioni? Abaco!!

4. Codifica in base N • La generalizzazione della codifica decimale consiste nell’utilizzare un alfabeto con N cifre e ragionare quindi su base N • Binaria: 2 cifre, potenze di 2 • Ottale: 8 cifre, potenze di 8 • Esadecimale: 16 cifre, potenze di 16 • Base N: N cifre, potenze di N • Numero di cifre per rappresentare un numero

5. Da numero a codifica • Dato M la sua codifica posizionale in base N si estrae utilizzando la divisione con resto come segue • M = A1*N +B1 • A1= A2*N + B2 • …. • Ak-1=Ak*N + Bk • Cod(M,N) = AkBk … B1

6. Esempio • Base 2: • Cod(13,2) = 11 01 = 1*8+1*4+1 • 13 : 2 = 6 con resto 1 • 6 : 2 = 3 con resto 0 • 3 : 2 = 1 con resto 1 • Base 8: • Cod(13,8) = 15 = 1*8 + 5*1 • 13 : 8 = 1 con resto 5

7. Esempio di cambio di base • Per passare dalla base 2 alla base 8: • raggruppo gruppi di 3 bit! • Per passare dalla base 8 alla base 2: • Espando cifre in gruppi di tre bit • Esempio: 001101 (binario)15 (ottale)

8. Codifica degli interi • La codifica in binario dei numeri naturali permette di utilizzare operazioni bit-a-bit per implementare operazioni aritmetiche quali la somma e la moltiplicazione • 0 1 1 0 1 + • 0 1 0 0 1 = • 1 0 1 1 0 • Vorremmo ottenere la stessa cosa nel caso di numeri interi! • Bit di segno • Complemento a 1 e complemento a 2

9. Bit di segno • Bit di segno: fissiamo il numero di cifre il primo bit a sinistra identifica il segno • Su un byte (8 bit): • 00000001 = 1 • 10000001 = -1 • Algoritmo per la somma? • Occorre una analisi dei possibili casi a seconda del segno degli operandi • non si riduce in modo semplice ad operazioni bit-a-bit, peccato!

10. Complemento a 1 • Su K bit • il primo a sinistra identifica il segno • il valore assoluto viene rappresentato invertito dopo aver negato i singoli bit • Es. 00000010 = 2 mentre 11111101 = -2 • Somma bit a bit? Funziona quasi sempre • Se operandi hanno segno negativo si ottiene il risultato decrementato di 1! (Es. –12 invece di –11) • Nota: zero ha due rappresentazioni: 00000000 e 11111111! 00110+ (+6) 10101= (-5) 11011 (-4) 11001+ (-6) 11010= (-5) 10011 (-12)

11. Complemento a 2 • Su K bit • il primo a sinistra identifica il segno • il valore assoluto viene rappresentato invertito dopo aver negato i singoli bit • Infine si somma la costante 1 al modulo • 00000010 = 2 • 11111110 = 11111101+1= -2

12. Operazioni per rapp. in complemento a 2 • Somma bit a bit? Funziona sempre • Nota: zero ha una sola rappresentazione: 00000000 11010+ (-6) dove 6=0110  1001 + 1 = 1010 11011= (-5) dove 5=0101  1010 + 1 = 1011 10101 (-11) dove11=1011  0100+1 = 0101

13. Rappresentazione per eccesso a 2**(N-1) • Un’altra possibile rappresentazione di numeri interi consiste nel suddividere il range di valori rappresentabili su N bit in numeri positivi e numeri negativi: (**=elevamento a potenza) • Le codifiche da 0 a (2**N-1)-1 rappresentano i numeri negativi da –(2**(N-1)) a –1 • 2**(N-1) rappresenta lo zero • Le rimanenti codifiche rappresentano: i numeri positivi da +1 a +(2**(N-1))-1

14. Codifica e decodifica • Codifica di M: • Cod(M+2**(N-1),2) • Decodifica M: • M=Cod(N,2) • Dec(M)=N-2**(N-1)

15. Esempio • Per N=3 il range di valori –4…0…3 • 000 rappresenta –4 • 001 rappresenta –3 • …. • 010 rappresenta 0 • … • 111 rappresenta 3 • Codifica/decodifica • -3 = Cod(-3+4,2)=Cod(1,2)=001 • 3 = Cod(3+4,2)=Cod(7,2)=111 • 111=Cod(7,2) e quindi Dec(111)=7-4=3

16. Numeri Razionali • Utilizzando opportune convenzioni possiamo pensare di rappresentare non solo interi ma anche razionali • Virgola fissa: si fissa il numero di cifre della parte decimale • Virgola mobile: si rappresentano esponente e mantissa • (Virgola= notazione all’inglese!)

17. Virgola fissa • Fissiamo quante cifre intere e quante decimali vogliamo rappresentare ed utilizziamo • potenze di 2 sia positive che negative! • Ad esempio: se la cifra piu’ a destra rappresenta ½ (=2**-1): • 10001 rappresenta 8.5 = 8 + ½ • cioe’ va letto come: 1000.1 !! • Si rappresentano solo valori divisibili per potenze negative di 2 (occorre approssimare gli altri valori)

18. Virgola Mobile • Se vogliamo rappresentare sia numeri molto piccoli che numeri molto grandi occorre utilizzare una rappresentazione in cui la virgola decimale varia a seconda del numero • Si usa una rappresentazione del tipo: • Valore= 2**(+/-Esponente)+Mantissa • La mantissa viene normalizzata per ottenere una rappresentazione unica (varia tra 1 e ½). • Cioe’ dobbiamo memorizzare su K bit le informazioni su: SegnoEsponenteMantissa

19. Standard IEEE • Precisione singola su 32 bit • 1 bit di segno • 8 di esponente (da -126 a +127) • 23 di mantissa • Si possono rappresentare valori fino a 2**(-150) • Precisione doppia su 64 bit • 1 bit di segno • 11 di esponente (da -1022 a +1023) • 52 di mantissa • Si possono rappresentare valori fino a 2**(-1075)