Programação Linear e Seus Teoremas

1. Programação Linear e Seus Teoremas

2. Conteúdos do Capítulo • Programação Linear e Convexidade • Teoremas Fundamentais • Caso LCL Produtos Farmacêuticos S.A.

3. Programação Linear e Convexidade • Conjunto Convexo em R2 • Para quaisquer dois pontos do conjunto, todos os pontos que formam o segmento de reta que os unem faz parte do conjunto. Conjunto Convexo Conjunto não Convexo

4. Método SimplexTeoremas Fundamentais • Teorema I • O conjunto de todas as soluções viáveis de um modelo de Programação Linear formam um conjunto convexo. • Teorema II • Toda solução compatível básica, do sistema de equações lineares de um modelo de Programação linear, é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, isto é, do conjunto de convexo de soluções.

5. Método SimplexTeoremas Fundamentais • Considere a solução gráfica do problema 21=5x1+2x2 z x2 D 21 E (1,4) C (0,4) 15 (3,3) 13 Solução Viável 8 pontos extremos A B x1 (0,0) (3,0) E D C B A

6. Método SimplexTeoremas Fundamentais • Teorema III • Se a função-objetivo possui um ótimo finito, então pelo menos uma solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo de soluções viáveis. • Se a função-objetivo assume o ótimo em mais de um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis, então ela toma o mesmo valor para qualquer ponto do segmento da reta que une esses pontos extremos.

7. Verificação Geométrica do Teorema III1a parte • O valor da função-objetivo varia quando esta se desloca. Logo, o valor ótimo (mínimo ou máximo) será obtido deslocando-se o máximo ou o mínimo a função-objetivo. x2 D E (1,4) (0,4) (3,3) C = máximo Solução Viável Mínimo =A x1 B (3,0) (0,0)

8. Verificação Geométrica do Teorema III2a parte • Entretanto, a função-objetivo pode assumir uma inclinação tal que no ponto ótimo ela coincida com a inclinação de alguma restrição. Soluções Múltiplas x2 D E (1,4) C (0,4) (3,3) Em todos os pontos do segmento de reta CD, o valor da função-objetivo é o mesmo Solução Viável A B (0,0) x1 (3,0)

9. Método SimplexTeoremas Fundamentais • Considere a solução gráfica do problema z x2 D E (1,4) C (0,4) (3,3) Solução Viável pontos extremos A B x1 (0,0) (3,0) E D C B A

10. Caso LCL Produtos Farmacêuticos • As indústrias LCL Produtos Farmacêuticos Ltda. desejam produzir dois medicamentos, um analgésico e um antibiótico, que dependem de duas matérias primas A e B, que estão disponíveis em quantidades de 5 e 8 toneladas, respectivamente. Na fabricação de uma tonelada de analgésico são empregadas uma tonelada da matéria A e uma tonelada da matéria B, e na fabricação de uma tonelada de antibiótico são empregadas uma tonelada de A e quatro toneladas de B. Sabendo que cada tonelada de analgésico é vendida a $8,00 e de antibiótico a $5,00, encontre, através da determinação dos pontos extremos do conjunto de soluções viáveis, a quantidade de toneladas de medicamentos a serem produzidas pelas indústrias LCL de maneira a maximizar seu lucro.

11. Caso LCL Produtos Farmacêuticos • Hipótese Assumida • Quantidade Produzida = Quantidade Vendida • Variáveis de Decisão • x1 – Quantidade de Toneladas de Analgésico a ser produzida. • x2 – Quantidade de Toneladas de Antibiótico a ser produzida.

12. + Max 8 x 5 x 1 2 + £ 1 x 4 x 8 1 2 + £ 1 x 1 x 5 1 2 ³ ³ x 0 ; x 0 1 2 Caso LCL Produtos Farmacêuticos • Função-Objetiva – Maximizar o Lucro • Restrições de Matéria Prima • Restrições de não negatividade

13. = + z 8 x 5 x 1 2 = = Þ = x 0 , x 0 z 0 1 2 = = Þ = x 0 , x 2 z 10 1 2 = = Þ = x 5 , x 0 z 40 1 2 = = Þ = x 4 , x 1 z 37 1 2 Caso LCL Produtos FarmacêuticosSolução Gráfica (0;2) (4;1) (5;0) (0;0)