A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész

1. × : kattintás;: tilos kattintani. A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész  Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével

2. × × × ×     Tétel (koszinusz-tétel):Egy háromszög egyik oldalának négyzetét megkaphatjuk, ha a másik két oldal hossza négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal hosszának és a közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát. C b 2 cos = – + 2 2 2 γ γ + = – 2 cos 2 2 2 + – = 2 cos 2 2 2 a a a a a a b b b b b b α α β β c c c c c c  A B   

3. Értelmezzük a tétel állítását! A koszinusz-tétel azáltalánosháromszögmegoldásáhozhasználható (egyik) eszköz. Mit jelent azáltalánosháromszög megoldása? Az általánosazt jelenti, hogy sem a háromszög oldalaira, sem a szögeire nincsenek kikötések. Ezek tehát tetszőlegesek lehetnek, de a tétel állítása akkor is érvényes, ha a háromszög valamilyen nevezetes háromszög (pl. szabályos, derékszögű, egyenlő szárú, stb.). A háromszögmegoldása:elegendő számú, egymástól független adatból a háromszög hiányzó adatainak a meghatározása. Mit jelent az adatok függetlensége? Azt, hogy egyiket sem határozza meg egyértelműen a többi adat. Pl. ha a háromszögnek mindhárom belső szögét megadnánk, ezek az adatok nem volnának függetlenek: kettő ismeretében a harmadik már kiadódik. (α + β + γ = 180°!)  Ezt most kihagyom!

4. ×  Az általános háromszög egyértelmű megadásáhozhárom, egymástól független adatra van szükség. Nézzük most meg újra a tételt (szöveg nélkül) ábrával és képlettel! Nem sérül az általánosság akkor, ha a három lehetséges eset közül csak az egyiket vizsgáljuk: C γ a b c2 = a2 + b2 – 2abcosγ c A B Hány megadható, betűvel jelölt adat található a képletben? Négy:a,b,césγ. Tehát három (épp ennyi határozza meg az általános háromszöget!)ismeretében a negyedik kiszámítható!  

5. × × × ×     b2 +c2 –a2 a2 =b2 +c2 – 2bccosα cosα= ; innenαkiszámítható. 2bc • Most felidézzük, melyek a háromszög megszerkesztésének alapesetei, s megnézzük a koszinusz-tétellel a kapcsolatukat. • A háromszög (egyértelműen) megszerkeszthető, ha adott: • egy oldal:c, és a rajta fekvő két szög:α,β(α+β< 180°); • két oldal: a,b, és a közbezárt szög:γ; • három oldal:a,b,c(ahol teljesül a háromszög-egyenlőtlenség); • két oldal:a,b, és a hosszabbik oldallal szemközti szög:α(a >b) C Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel? γ b a NEM! A két darab szög sok, az egyetlen oldal kevés! IGEN! Alapesetből indulunk: IGEN! A feladat megoldható, de ehhez nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb. IGEN! Alapesetből indulunk: c2 = a2 + b2 – 2abcosγ α β c A B A szög miatt csak az „a oldalra” írható fel a koszinusz-tétel: a2 =b2 +c2 – 2bccosα c2 =a2 +b2 – 2abcosγ; innen behelyettesítés és négyzetgyökvonás után c adódik. c2 =a2 +b2 – 2abcosγ; az előbb látottak szerint cosγ kifejezhető, majd γ számítható. c2 a2 b2 + – + c2 – Innen α visszakereséssel kiszámítható. 2bc cosα a2 = b2 2bc a2 cosα 2bc – 2bccosα +c2 – 2bccosα 0 a2 =b2 +c2 – a2      α+β+γ= 180° γ= 180° –α–β.  γ= 180° – α–β. α+β+γ= 180° A b ismeretlen, erre nézve az egyenlet másodfokú – pozitív gyöke csak egy lesz!

6. B 5 cm sb ×  70° F A C 8 cm Összefoglaljuk a tapasztalatainkat Ha egy feladat megoldása során találunk egy olyan háromszöget, amelyben a három oldal és az egyik szög közül, mint adatok közül, hármat ismerünk, a negyedikre pedig a megoldáshoz szükségünk volna, felírhatjuk a koszinusz-tételt. Mindig az (ismert vagy kiszámítandó)szöggel szemköztioldal négyzete lesz egyenlő a másik két oldal négyzetösszegéből kivonva ennek a két oldalnak és a közbezárt szög koszinuszának a kétszeres szorzatát! Meg kell gondolni, hogy biztosan a koszinusz-tétel alkalmazása-e a legjobb választás! (Ha pl. ha a háromszög derékszögű háromszög, akkor ugyan a koszinusz-tétel is felírható, de a Pitagorasz-tétel választása célszerűbb!) A koszinusz-tételhez nem mindig az adottháromszög oldalait használjuk fel. Ha pl. adott egy háromszög két oldala:a= 5 cm,b= 8 cm, a közbezárt szögγ= 70°, és ki kell számítani aboldalt felezősbsúlyvonal hosszát: Most nem az ABC, hanem az AFB háromszögben írjuk fel a koszinusz-tételt (mert ismerjük a CF szakasz hosszát: CF = 4 cm – az AC fele).  

7. A b c c c b b a a a a c c a b a a b a c a a c a a a a a a b c a a b c = a – b – = – – – C B b b b b c b b b b b /()  – 2  +  =   = cosα = 2  = 2 – 2  + =  2  2  = 2  2   = a  = cosγ   = b   = c A tétel igazolása y Helyezzük el a háromszöget egy koordinátarendszerben úgy, hogy az egyik csúcsa (pl. a C) illeszkedjen az origóra! Az A és a B csúcs egy-egy helyvektorral megadható. A harmadik AB oldal egy különbségvektorral kifejezhető. Írjuk ezt fel egy vektoregyenletként! Szorozzuk meg mindkét oldalt skalárisan -ral! Használjuk ki, hogy a skaláris szorzás disztributív, azaz a szokásos módon bonthatjuk fel a zárójelet. A jobb oldalon írjunk helyett a vele egyenlő -t! Mivel (mert α = 0°, tehát cosα =1), ezért és . Viszont a skaláris szorzat definíciója szerint. Ha az oldalakat a-val, b-vel és c-vel jelöljük, s felhasználjuk (az ábra alapján), hogy , , , akkor épp a tétel állítását kapjuk: x c2 = a2 + b2 – 2abcosγ A tételt bebizonyítottuk!  Nem kérem a bizonyítást!

8. Alapvető feladatok A sorszámok példatári sorszámokat jelentenek  Kihagyom a feladatokat, jöjjön a záró dia

9. 2976.a) feladat Egy háromszög két oldala 12 cm, illetve 10 cm hosszúságú. E két oldal által bezárt szög 42°-os. Határozzuk meg a háromszög harmadik oldalának a hosszát. Megoldás: C 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük a meghatározandó mennyiséget! 4.) Találunk-e olyan háromszöget, amelyben három oldal és egy szög közül három adat ismert, egyet pedig ki kellene számolni? 5.) Melyik a szöggel szemközti oldal? 6.) Akkor ennek a négyzete egyenlő a másik kettő négyzetösszegének, ill. e két oldal kétszeres szorzatának és a közbezárt szög koszinuszának a különbségével! Írjuk fel! 7.) Helyettesítsünk be! 8.) Végezzük el a számítást! 9.) Vonjunk négyzetgyököt! γ = 42° b = 10 cm = 12 cm a c = ? B A Igen, ABC háromszög; a, b, γ és c. A c oldal. c2 = a2 + b2 – 2abcosγ c2 = 102 + 122 – 21012cos42° c2  100 + 144 – 178,35  65,65 c  8,1 cm.(–8,1 nem megoldás)    Kihagyom ezt a feladatot

10. 32 49+64-81 2 = = 112 112 7 2976.b) feladat Egy háromszög oldalainak a hosszúságai 7 cm, 8 cm és 9 cm. Határozzuk meg a háromszög legnagyobb szögét. C γ Megoldás: b = 7 cm 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Hogyan dönthető el, melyik a háromszög legnagyobb szöge? Válaszunkat indokoljuk! 4.) Jelöljük be a kiszámítandó szöget! 5.) Találunk-e olyan háromszöget, amelyben három oldal és egy szög közül három adat ismert, egyet pedig ki kellene számolni? 6.) Melyik a szöggel szemközti oldal? 7.) Írjuk fel a koszinusz-tételt! A bal oldal c2! 8.) Helyettesítsük be az adatokat! 9.) Végezzük el a kijelölt műveleteket! 10.) Fejezzük ki γ-t, a törtet egyszerűsítsük! 11.) Keressük vissza a γ szöget! = 8 cm a c = 9 cm B A A 9 cm-es oldallal szemközti. Hosszabb oldallal szemközt nagyobb szög van! Igen, ABC háromszög; a, b, γ és c. A c oldal. c2 = a2 + b2 – 2abcosγ 92 = 72 + 82 – 278cosγ 81 = 49 + 64 – 112cosγ cosγ = γ  73,40°.    Kihagyom ezt a feladatot

11. cosα = = 32 ×  4 40 5 Egy feladat, nem minden tanulság nélkül! Egy háromszög oldalainak a hosszúságai 3 cm, 4 cm és 5 cm. Határozzuk meg a háromszög belső szögeit! Gyakori, hogy a diák gondolkodás nélkül kezd a feladat megoldásához, s azt a módszert választja, ami először eszébe jut – tehát nem mindig a legegyszerűbbet. Első megoldásként mi is ezt az utat választjuk – a koszinusz-tétel alkalmazását. 1. megoldás: 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük a meghatározandó mennyiségeket! 4.) Találunk-e olyan háromszöget, mely három oldalaés egy szöge közül három ismert, egy számítandó? B β=? c a = 5 cm = 3 cm γ=? A α=? C b = 4 cm 5.) Írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Helyettesítsünk be az összefüggésbe! 7.) cosγ kifejezése, majd keressük vissza γ-t! 8.) Ismételjük meg az eljárást az α számítására! Igen, ABC háromszög, a, b, c és γ. c2 = a2 + b2 – 2abcosγ 52 = 32 + 42 – 234cosγ 24cosγ = 0  cosγ = 0  γ = 90°.  a2 = b2 + c2 – 2bccosα 32 = 42 + 52 – 245cosα   α 36,9°. 9.) Számítsuk ki a β szöget a háromszög belső szögeinek összegéből! α + β + γ = 180°  36,9° + β + 90°  180°  β 53,1°.     Kihagyom ezt a feladatot

12. cosα =  4 5 × ×   Miért tanulságos ez a feladat? Az először kiszámított belső szög 90°  derékszögű a háromszög! A derékszögű háromszög belső szögei egyszerűbben is kiszámíthatók. Honnan tudhattuk volna, hogy a háromszög derékszögű háromszög? Idézzük csak fel a Pitagorasz-tételt! Derékszögű háromszögbenabefogók hosszának négyzetösszegeegyenlő az átfogó hosszának négyzetével. ÉS MEGFORDÍTVA: Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Mekkorák is a feladatban megadott oldalak hossza? 3 cm, 4 cm és 5 cm. Mivel 32 + 42 = 52, ezért a háromszög derékszögű! Ennek megfelelően készítsünk vázlatot! Az egyik belső szög már ismert: γ = 90°. Egy másik egyszerű szögfüggvénnyel számolható: B β = ? c a = 5 cm = 3 cm α 36,9°. γ = 90° A  A harmadik szög az előbbiekhez hasonlóan: C b = 4 cm α= ? α + β + γ = 180°  36,9° + β + 90°  180°  β 53,1°. A feladat megoldása előtt célszerű a lehetőségeket átgondolni!      

13. a1,2  ; – 8,4787  14,6931 ×  – 8,4787  71,8884 + 144 2 2 2932. feladat Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A hosszabbik megadott oldallal szemközti szöge 122°-os a háromszögnek. Határozzuk meg a háromszög ismeretlen szögeit és oldalát! Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze. Megoldás: C a γ = 122° = ? = 8 cm 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket! 4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert? 5.) γ-val szemközt c  a bal oldalon c2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés. 7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet: b A B β = ? α c = ? = 10 cm Igen, ABC háromszög; a, b, c és γ. c2 = a2 + b2 – 2abcosγ 100  a2 + 64 – 16a(-0,5299) a2 + 8,4787a – 36  0 x1 – 11,5859 cm < 0; nem megoldás. x2 3,12 cm > 0; megoldás!   Kihagyom ezt a feladatot

14. ×  C a γ = 122° = ? = 8 cm  3,107 cm b A B β = ? α c = ? = 10 cm 8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán! 9.) Keressünk még ki nem számított szöget! 10.) Melyik oldal van vele szemben? 11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon! 12.) Helyettesítsünk be! 13.) Fejezzük ki a cosα-t! Legyen ez az α! Az a oldal. a2 = b2 + c2 – 2bccosα 3,1072  64 + 100 – 160cosα 160cosα 154,4347  cosα 0,9647 α  15,28°. 14.) Keressük vissza az α szöget! 15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet. 15,28° + β + 122°  180° β 42,72°.    

15. a1,2  ; 16,7734  11,7195 ×  16,7734  281,347 – 144 2 2 2934. feladat Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A rövidebb megadott oldallal szemközti szöge 33°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala? Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze. Megoldás: C a γ = ? = ? = 8 cm 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket! 4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert? 5.) β-val szemközt b  a bal oldalon b2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés. 7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet: b β = 33° α c = ? = 10 cm A B Igen, ABC háromszög; a, b, c és β. b2 = a2 + c2 – 2accosβ 64  a2 + 100 – 20a(0,8387) a2 – 16,7734a + 36  0 a1 14,25 cm > 0; megoldás. a2 2,53 cm > 0; megoldás!   Kihagyom ezt a feladatot

16. × ×   Két megoldás adódott; okát a szerkesztés elvi menetén érthetjük meg: C1 = ? γ C1 b „elég nagy” ahhoz, hogy két megoldást kapjunk. b a C2 = ? r = 8 cm 14,25 cm  14,25 cm = 8 cm 2,53 cm 10 cm B 33° A α = ? 1. megoldás = 33° B β c = 10 cm A 8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán! 9.) Keressünk még ki nem számított szöget! 10.) Melyik oldal van vele szemben? 11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon! 12.) Helyettesítsünk be! 13.) Fejezzük ki a cosα-t! Legyen ez az α! Az a oldal. a2 = b2 + c2 – 2bccosα 14,252  64 + 100 – 160cosα 160cosα – 39,0625  cosα – 0,2441 α  104,13°. 14.) Keressük vissza az α szöget! 15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet. 104,13° + β + 33°  180° β 42,87°.   

17. ×  C1 a γ = ? = ? = 8 cm  2,53 cm b = 33° B β c α = ? = 10 cm 2. megoldás A 8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán! 9.) Keressünk még ki nem számított szöget! 10.) Melyik oldal van vele szemben? 11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon! 12.) Helyettesítsünk be! 13.) Fejezzük ki a cosα-t! Legyen ez az α! Az a oldal. a2 = b2 + c2 – 2bccosα 2,532  64 + 100 – 160cosα 160cosα 157,5991  cosα 0,9850 α  9,94°. 14.) Keressük vissza az α szöget! 15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet. 9,94° + β + 33°  180° β 167,06°.   

18. 11,7557  – 5,803 ×  11,7557  138,197 – 144 2 2 a1,2  ; 2933. feladat Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A rövidebb megadott oldallal szemközti szöge 54°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala? Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze. Megoldás: C a γ = ? = ? = 8 cm 1.) Készítsünk vázlatot! 2.) Tüntessük fel az adatokat! 3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket! 4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert? 5.) β-val szemközt b  a bal oldalon b2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt! 6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés. 7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet: b β = 54° α c = ? = 10 cm A B Igen, ABC háromszög; a, b, c és β. b2 = a2 + c2 – 2accosβ 64  a2 + 100 – 20a0,5878 a2 – 11,7557a + 36  0 A négyzetgyök alatt negatív szám áll! Nincs megoldás. (Nem létezik ilyen háromszög.)    Kihagyom ezt a feladatot (Záró dia)

19. ×  Felhasznált irodalom: Czapáry – Czapáryné – Csete – Iványiné – Morvai – Reiman: MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III. Kosztolányi – Kovács – Pintér – Urbán – Vincze: Matematika tankönyv 11 (Sokszínű matematika) Kosztolányi – Kovács – Pintér – Urbán – Vincze: Matematika tankönyv 9 (Sokszínű matematika) További sikereket a matematikához (is)!