a koszinusz t tel s alkalmaz sa 1 r sz l.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész PowerPoint Presentation
Download Presentation
A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 19

A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész - PowerPoint PPT Presentation


  • 165 Views
  • Uploaded on

×.  : kattintás;  : tilos kattintani. A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész. . Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével. ×. ×. ×. ×. . . . .

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész' - barb


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
a koszinusz t tel s alkalmaz sa 1 r sz

×

: kattintás;: tilos kattintani.

A koszinusz-tétel és alkalmazása – 1. rész

Készítette dr. Bay László Sike László tervei alapján és közreműködésével

slide2

×

×

×

×

Tétel (koszinusz-tétel):Egy háromszög egyik oldalának négyzetét megkaphatjuk, ha a másik két oldal hossza négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal hosszának és a közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

C

b

2

cos

=

+

2

2

2

γ

γ

+

=

2

cos

2

2

2

+

=

2

cos

2

2

2

a

a

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b

α

α

β

β

c

c

c

c

c

c

A

B

rtelmezz k a t tel ll t s t
Értelmezzük a tétel állítását!

A koszinusz-tétel azáltalánosháromszögmegoldásáhozhasználható (egyik) eszköz.

Mit jelent azáltalánosháromszög megoldása?

Az általánosazt jelenti, hogy sem a háromszög oldalaira, sem a szögeire nincsenek kikötések.

Ezek tehát tetszőlegesek lehetnek, de a tétel állítása akkor is érvényes, ha a háromszög valamilyen nevezetes háromszög (pl. szabályos, derékszögű, egyenlő szárú, stb.).

A háromszögmegoldása:elegendő számú, egymástól független adatból a háromszög hiányzó adatainak a meghatározása.

Mit jelent az adatok függetlensége?

Azt, hogy egyiket sem határozza meg egyértelműen a többi adat.

Pl. ha a háromszögnek mindhárom belső szögét megadnánk, ezek az adatok nem volnának függetlenek: kettő ismeretében a harmadik már kiadódik. (α + β + γ = 180°!)

Ezt most kihagyom!

slide4

×

Az általános háromszög egyértelmű megadásáhozhárom, egymástól független adatra van szükség.

Nézzük most meg újra a tételt (szöveg nélkül) ábrával és képlettel!

Nem sérül az általánosság akkor, ha a három lehetséges eset közül csak az egyiket vizsgáljuk:

C

γ

a

b

c2 = a2 + b2 – 2abcosγ

c

A

B

Hány megadható, betűvel jelölt adat található a képletben?

Négy:a,b,césγ.

Tehát három (épp ennyi határozza meg az általános háromszöget!)ismeretében a negyedik kiszámítható!

slide5

×

×

×

×

b2 +c2 –a2

a2 =b2 +c2 – 2bccosα cosα= ; innenαkiszámítható.

2bc

  • Most felidézzük, melyek a háromszög megszerkesztésének alapesetei, s megnézzük a koszinusz-tétellel a kapcsolatukat.
  • A háromszög (egyértelműen) megszerkeszthető, ha adott:
  • egy oldal:c, és a rajta fekvő két szög:α,β(α+β< 180°);
  • két oldal: a,b, és a közbezárt szög:γ;
  • három oldal:a,b,c(ahol teljesül a háromszög-egyenlőtlenség);
  • két oldal:a,b, és a hosszabbik oldallal szemközti szög:α(a >b)

C

Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel?

Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel?

Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel?

Ebben az esetben alkalmazható a koszinusz-tétel?

γ

b

a

NEM!

A két darab szög sok, az egyetlen oldal kevés!

IGEN!

Alapesetből indulunk:

IGEN!

A feladat megoldható, de ehhez nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb.

IGEN!

Alapesetből indulunk:

c2 = a2 + b2 – 2abcosγ

α

β

c

A

B

A szög miatt csak az „a oldalra” írható fel a koszinusz-tétel:

a2 =b2 +c2 – 2bccosα

c2 =a2 +b2 – 2abcosγ; innen behelyettesítés és négyzetgyökvonás után c adódik.

c2 =a2 +b2 – 2abcosγ; az előbb látottak szerint cosγ kifejezhető, majd γ számítható.

c2

a2

b2

+

+

c2

Innen α visszakereséssel kiszámítható.

2bc

cosα

a2

=

b2

2bc

a2

cosα

2bc

– 2bccosα

+c2

– 2bccosα

0

a2

=b2

+c2

a2

α+β+γ= 180° γ= 180° –α–β.

γ= 180° – α–β.

α+β+γ= 180°

A b ismeretlen, erre nézve az egyenlet másodfokú – pozitív gyöke csak egy lesz!

sszefoglaljuk a tapasztalatainkat

B

5 cm

sb

×

70°

F

A

C

8 cm

Összefoglaljuk a tapasztalatainkat

Ha egy feladat megoldása során találunk egy olyan háromszöget, amelyben a három oldal és az egyik szög közül, mint adatok közül, hármat ismerünk, a negyedikre pedig a megoldáshoz szükségünk volna, felírhatjuk a koszinusz-tételt.

Mindig az (ismert vagy kiszámítandó)szöggel szemköztioldal négyzete lesz egyenlő a másik két oldal négyzetösszegéből kivonva ennek a két oldalnak és a közbezárt szög koszinuszának a kétszeres szorzatát!

Meg kell gondolni, hogy biztosan a koszinusz-tétel alkalmazása-e a legjobb választás! (Ha pl. ha a háromszög derékszögű háromszög, akkor ugyan a koszinusz-tétel is felírható, de a Pitagorasz-tétel választása célszerűbb!)

A koszinusz-tételhez nem mindig az adottháromszög oldalait használjuk fel.

Ha pl. adott egy háromszög két oldala:a= 5 cm,b= 8 cm, a közbezárt szögγ= 70°, és ki kell számítani aboldalt felezősbsúlyvonal hosszát:

Most nem az ABC, hanem az AFB háromszögben írjuk fel a koszinusz-tételt (mert ismerjük a CF szakasz hosszát: CF = 4 cm – az AC fele).

a t tel igazol sa

A

b

c

c

c

b

b

a

a

a

a

c

c

a

b

a

a

b

a

c

a

a

c

a

a

a

a

a

a

b

c

a

a

b

c = a – b

– =

C

B

b

b

b

b

c

b

b

b

b

b

/()

 – 2  +  = 

 = cosα = 2

 = 2

– 2  + =

 2

 2

 = 2

 2

  = a

 = cosγ

  = b

  = c

A tétel igazolása

y

Helyezzük el a háromszöget egy koordinátarendszerben úgy, hogy az egyik csúcsa (pl. a C) illeszkedjen az origóra!

Az A és a B csúcs egy-egy helyvektorral megadható.

A harmadik AB oldal egy különbségvektorral kifejezhető.

Írjuk ezt fel egy vektoregyenletként!

Szorozzuk meg mindkét oldalt skalárisan -ral!

Használjuk ki, hogy a skaláris szorzás disztributív, azaz a szokásos módon bonthatjuk fel a zárójelet. A jobb oldalon írjunk helyett a vele egyenlő -t!

Mivel (mert α = 0°, tehát cosα =1), ezért és .

Viszont a skaláris szorzat definíciója szerint.

Ha az oldalakat a-val, b-vel és c-vel jelöljük, s felhasználjuk (az ábra alapján), hogy , , , akkor épp a tétel állítását kapjuk:

x

c2 = a2 + b2 – 2abcosγ

A tételt bebizonyítottuk!

Nem kérem a bizonyítást!

alapvet feladatok
Alapvető feladatok

A sorszámok példatári sorszámokat jelentenek

Kihagyom a feladatokat, jöjjön a záró dia

slide9

2976.a) feladat

Egy háromszög két oldala 12 cm, illetve 10 cm hosszúságú. E két oldal által bezárt szög 42°-os. Határozzuk meg a háromszög harmadik oldalának a hosszát.

Megoldás:

C

1.) Készítsünk vázlatot!

2.) Tüntessük fel az adatokat!

3.) Jelöljük a meghatározandó mennyiséget!

4.) Találunk-e olyan háromszöget, amelyben három oldal és egy szög közül három adat ismert, egyet pedig ki kellene számolni?

5.) Melyik a szöggel szemközti oldal?

6.) Akkor ennek a négyzete egyenlő a másik kettő négyzetösszegének, ill. e két oldal kétszeres szorzatának és a közbezárt szög koszinuszának a különbségével! Írjuk fel!

7.) Helyettesítsünk be!

8.) Végezzük el a számítást!

9.) Vonjunk négyzetgyököt!

γ

= 42°

b

= 10 cm

= 12 cm

a

c

= ?

B

A

Igen, ABC háromszög; a, b, γ és c.

A c oldal.

c2 = a2 + b2 – 2abcosγ

c2 = 102 + 122 – 21012cos42°

c2  100 + 144 – 178,35  65,65

c  8,1 cm.(–8,1 nem megoldás)



Kihagyom ezt a feladatot

slide10

32

49+64-81

2

=

=

112

112

7

2976.b) feladat

Egy háromszög oldalainak a hosszúságai 7 cm, 8 cm és 9 cm. Határozzuk meg a háromszög legnagyobb szögét.

C

γ

Megoldás:

b

= 7 cm

1.) Készítsünk vázlatot!

2.) Tüntessük fel az adatokat!

3.) Hogyan dönthető el, melyik a háromszög legnagyobb szöge? Válaszunkat indokoljuk!

4.) Jelöljük be a kiszámítandó szöget!

5.) Találunk-e olyan háromszöget, amelyben három oldal és egy szög közül három adat ismert, egyet pedig ki kellene számolni?

6.) Melyik a szöggel szemközti oldal?

7.) Írjuk fel a koszinusz-tételt! A bal oldal c2!

8.) Helyettesítsük be az adatokat!

9.) Végezzük el a kijelölt műveleteket!

10.) Fejezzük ki γ-t, a törtet egyszerűsítsük!

11.) Keressük vissza a γ szöget!

= 8 cm

a

c

= 9 cm

B

A

A 9 cm-es oldallal szemközti. Hosszabb oldallal szemközt nagyobb szög van!

Igen, ABC háromszög; a, b, γ és c.

A c oldal.

c2 = a2 + b2 – 2abcosγ

92 = 72 + 82 – 278cosγ

81 = 49 + 64 – 112cosγ

cosγ =

γ  73,40°.



Kihagyom ezt a feladatot

slide11

cosα = =

32

×

4

40

5

Egy feladat, nem minden tanulság nélkül!

Egy háromszög oldalainak a hosszúságai 3 cm, 4 cm és 5 cm. Határozzuk meg a háromszög belső szögeit!

Gyakori, hogy a diák gondolkodás nélkül kezd a feladat megoldásához, s azt a módszert választja, ami először eszébe jut – tehát nem mindig a legegyszerűbbet.

Első megoldásként mi is ezt az utat választjuk – a koszinusz-tétel alkalmazását.

1. megoldás:

1.) Készítsünk vázlatot!

2.) Tüntessük fel az adatokat!

3.) Jelöljük a meghatározandó mennyiségeket!

4.) Találunk-e olyan háromszöget, mely három oldalaés egy szöge közül három ismert, egy számítandó?

B

β=?

c

a

= 5 cm

= 3 cm

γ=?

A

α=?

C

b

= 4 cm

5.) Írjuk fel a koszinusz-tételt!

6.) Helyettesítsünk be az összefüggésbe!

7.) cosγ kifejezése, majd keressük vissza γ-t!

8.) Ismételjük meg az eljárást az α számítására!

Igen, ABC háromszög, a, b, c és γ.

c2 = a2 + b2 – 2abcosγ

52 = 32 + 42 – 234cosγ

24cosγ = 0  cosγ = 0  γ = 90°.

a2 = b2 + c2 – 2bccosα

32 = 42 + 52 – 245cosα

α 36,9°.

9.) Számítsuk ki a β szöget a háromszög belső szögeinek összegéből!

α + β + γ = 180°  36,9° + β + 90°  180°  β 53,1°.



Kihagyom ezt a feladatot

slide12

cosα = 

4

5

×

×

Miért tanulságos ez a feladat?

Az először kiszámított belső szög 90°  derékszögű a háromszög!

A derékszögű háromszög belső szögei egyszerűbben is kiszámíthatók.

Honnan tudhattuk volna, hogy a háromszög derékszögű háromszög?

Idézzük csak fel a Pitagorasz-tételt!

Derékszögű háromszögbenabefogók hosszának négyzetösszegeegyenlő az átfogó hosszának négyzetével.

ÉS MEGFORDÍTVA:

Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Mekkorák is a feladatban megadott oldalak hossza?

3 cm, 4 cm és 5 cm. Mivel 32 + 42 = 52, ezért a háromszög derékszögű!

Ennek megfelelően készítsünk vázlatot!

Az egyik belső szög már ismert: γ = 90°.

Egy másik egyszerű szögfüggvénnyel számolható:

B

β = ?

c

a

= 5 cm

= 3 cm

α 36,9°.

γ = 90°

A

A harmadik szög az előbbiekhez hasonlóan:

C

b

= 4 cm

α= ?

α + β + γ = 180°  36,9° + β + 90°  180°  β 53,1°.

A feladat megoldása előtt célszerű a lehetőségeket átgondolni!



slide13

a1,2  ;

– 8,4787  14,6931

×

– 8,4787  71,8884 + 144

2

2

2932. feladat

Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A hosszabbik megadott oldallal szemközti szöge 122°-os a háromszögnek. Határozzuk meg a háromszög ismeretlen szögeit és oldalát!

Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze.

Megoldás:

C

a

γ

= 122°

= ?

= 8 cm

1.) Készítsünk vázlatot!

2.) Tüntessük fel az adatokat!

3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket!

4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert?

5.) γ-val szemközt c  a bal oldalon c2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt!

6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés.

7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet:

b

A

B

β

= ?

α

c

= ?

= 10 cm

Igen, ABC háromszög; a, b, c és γ.

c2 = a2 + b2 – 2abcosγ

100  a2 + 64 – 16a(-0,5299)

a2 + 8,4787a – 36  0

x1 – 11,5859 cm < 0; nem megoldás.

x2 3,12 cm > 0; megoldás!

Kihagyom ezt a feladatot

slide14

×

C

a

γ

= 122°

= ?

= 8 cm

 3,107 cm

b

A

B

β

= ?

α

c

= ?

= 10 cm

8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán!

9.) Keressünk még ki nem számított szöget!

10.) Melyik oldal van vele szemben?

11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon!

12.) Helyettesítsünk be!

13.) Fejezzük ki a cosα-t!

Legyen ez az α!

Az a oldal.

a2 = b2 + c2 – 2bccosα

3,1072  64 + 100 – 160cosα

160cosα 154,4347 

cosα 0,9647

α  15,28°.

14.) Keressük vissza az α szöget!

15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet.

15,28° + β + 122°  180°

β 42,72°.



slide15

a1,2  ;

16,7734  11,7195

×

16,7734  281,347 – 144

2

2

2934. feladat

Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A rövidebb megadott oldallal szemközti szöge 33°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala?

Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze.

Megoldás:

C

a

γ

= ?

= ?

= 8 cm

1.) Készítsünk vázlatot!

2.) Tüntessük fel az adatokat!

3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket!

4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert?

5.) β-val szemközt b  a bal oldalon b2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt!

6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés.

7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet:

b

β

= 33°

α

c

= ?

= 10 cm

A

B

Igen, ABC háromszög; a, b, c és β.

b2 = a2 + c2 – 2accosβ

64  a2 + 100 – 20a(0,8387)

a2 – 16,7734a + 36  0

a1 14,25 cm > 0; megoldás.

a2 2,53 cm > 0; megoldás!

Kihagyom ezt a feladatot

slide16

×

×

Két megoldás adódott; okát a szerkesztés elvi menetén érthetjük meg:

C1

= ?

γ

C1

b „elég nagy” ahhoz, hogy két megoldást kapjunk.

b

a

C2

= ?

r = 8 cm

14,25 cm

 14,25 cm

= 8 cm

2,53 cm

10 cm

B

33°

A

α

= ?

1. megoldás

= 33°

B

β

c

= 10 cm

A

8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán!

9.) Keressünk még ki nem számított szöget!

10.) Melyik oldal van vele szemben?

11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon!

12.) Helyettesítsünk be!

13.) Fejezzük ki a cosα-t!

Legyen ez az α!

Az a oldal.

a2 = b2 + c2 – 2bccosα

14,252  64 + 100 – 160cosα

160cosα – 39,0625 

cosα – 0,2441

α  104,13°.

14.) Keressük vissza az α szöget!

15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet.

104,13° + β + 33°  180°

β 42,87°.

slide17

×

C1

a

γ

= ?

= ?

= 8 cm

 2,53 cm

b

= 33°

B

β

c

α

= ?

= 10 cm

2. megoldás

A

8.) Tüntessük fel az eredményt az ábrán!

9.) Keressünk még ki nem számított szöget!

10.) Melyik oldal van vele szemben?

11.) Írjuk fel az koszinusz-tételt úgy, hogy a baloldalon az a2 áll, a „többi tag” a jobb oldalon!

12.) Helyettesítsünk be!

13.) Fejezzük ki a cosα-t!

Legyen ez az α!

Az a oldal.

a2 = b2 + c2 – 2bccosα

2,532  64 + 100 – 160cosα

160cosα 157,5991 

cosα 0,9850

α  9,94°.

14.) Keressük vissza az α szöget!

15.) β kiszámítása a háromszög belső szögösszege alapján (is) történhet.

9,94° + β + 33°  180°

β 167,06°.



slide18

11,7557  – 5,803

×

11,7557  138,197 – 144

2

2

a1,2  ;

2933. feladat

Egy háromszög két oldala 10 cm, illetve 8 cm hosszúságú. A rövidebb megadott oldallal szemközti szöge 54°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen szögei és oldala?

Megjegyezzük, hogy a feladat megoldásának nem a koszinusz-tétel a legalkalmasabb eszköze.

Megoldás:

C

a

γ

= ?

= ?

= 8 cm

1.) Készítsünk vázlatot!

2.) Tüntessük fel az adatokat!

3.) Jelöljük be a kiszámítandó mennyiségeket!

4.) Találunk olyan háromszöget, amely három oldala és egy szöge közül három ismert?

5.) β-val szemközt b  a bal oldalon b2, a jobb oldalon a „többi”; írjuk fel a koszinusz-tételt!

6.) Behelyettesítés, egyenletrendezés.

7.) Megoldjuk a másodfokú egyenletet:

b

β

= 54°

α

c

= ?

= 10 cm

A

B

Igen, ABC háromszög; a, b, c és β.

b2 = a2 + c2 – 2accosβ

64  a2 + 100 – 20a0,5878

a2 – 11,7557a + 36  0

A négyzetgyök alatt negatív szám áll!

Nincs megoldás. (Nem létezik ilyen háromszög.)



Kihagyom ezt a feladatot (Záró dia)

slide19

×

Felhasznált irodalom:

Czapáry – Czapáryné – Csete – Iványiné – Morvai – Reiman: MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény III.

Kosztolányi – Kovács – Pintér – Urbán – Vincze: Matematika tankönyv 11 (Sokszínű matematika)

Kosztolányi – Kovács – Pintér – Urbán – Vincze: Matematika tankönyv 9 (Sokszínű matematika)

További sikereket a matematikához (is)!