KÜMELER

1. KÜMELER BİRLEŞİM KESİŞİM FARK

2. Kümeyi kavram olarak iyi tanımlanmış ,birbirinden farklı nesneler topluluğu olarak açıklayabiliriz.Kümeyi oluşturan nesnelerin herbirine kümenin elemanı denir.Kümede elemanlar bir kez yazılır. Bir x nesnesi B kümesinde ise x B şeklinde yazılır ve x elemanıdır B’ nin diye okunur. X nesnesi B kümesinde değil ise x B şeklinde yazılır ve x elemanı değil B’ nin diye okunur. KÜME KAVRAMI:

3. KÜMELERİN GÖSTERİMİ: Kümeler üç farklı biçimde gösterilir. 1)LİSTE YÖNTEMİ:Kümenin elemanlarının açık olarak belirtilmesidir. Örnek:ANKARA kelimesindeki harfleri liste yöntemi ile gösterelim. { A, N, K, R} 2)ORTAK ÖZELLİKYÖNTEMİ:Kümenin elemanları belli bir özelliği sağlıyorsa,bu özelliğe ortak özellik yöntemi denir. Örnek:A= { x/x, 16’ dan küçük pozitif tek sayılar}

4. .1 .2 .3 .4 .6 .5 3)VENN ŞEMASI İLEGÖSTERME:Kümenin elemanlarını kapalı bir eğri içinde yazarak gösterme yöntemidir. Örnek:{ 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesini Venn şemasında gösterelim.

5. BİR KÜMENİN ELEMAN SAYISI: Bir A kümesinin n tane elemanı var ise ,bu durum s(A)=n diye gösterilir. Örnek:A= {a, b, c, d, e} ,s(A)=5 Örnek:Aşağıdaki kümelerin her birinin eleman sayısını bulalım. • A= {a, b, {a , b}, d} • B={x / x çift sayı ve 2≤x≤12} • c) C={ x / x є N ve 2x -1 = 3} s(A)= 4 s(B)= 6 s(C)= 1

6. Örnek:A= {x/ 2≤ x < 6, x N} kümesi sonlu kümedir.Çünki , s(A)=4 B={1,2,3,4,.....} kümesi sonsuz kümedir. KÜME ÇEŞİTLERİ Bir A kümesinin n tane elemanı var ise ,bu durum s(A)=n diye gösterilir. Sonlu ve sonsuzkümeler:Eleman sayısı belirtilebilen kümelere sonlu küme ,sonlu olmayan kümelere sonsuz küme denir. Boş küme:Hiç bir elemanı olmayan kümedir.{}, Ø sembollerinden biri ile gösterilir.Eleman sayısı sıfırdır. Örnek: A= {x/ -5 <x < -1 , x є N} boş kümedir.Çünki, bu aralıkta bulunan hiç bir doğal sayı yoktur.s(A)=0

7. Eşit Kümeler:Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Örnek:A={3,4,5,6}veB= {x/ 3≤x<7 , x є N} kümeleri eşit kümelerdir.A=B şeklinde yazılır. Denk Kümeler:Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. Örnek: A= {a, b, c, d, e} B= {1, 2, 3, 4, 5} , s(A)=5 ,s(B)=5 s(A)=s(B)

8. A kümesinin her elemanı B kümesininde elemanı ise A kümesine B Kümesinin alt kümesi denir ve A B biçiminde yazılır ya da B kümesi A’yı kapsar Şeklinde okunur. Örnek:A={a,b} B={a, b, c, d} A B dir. Alt kümenin özellikleri: a)Her A kümesi için Ø A b)Her küme kendisinin alt kümesidir.A A c)A B ve B A ise A=B dir. d)A,B,C kümeleri için A B ve B C ise A C dir. ALT KÜME

9. BİR KÜMENİN ALT KÜMELERİNİN SAYISI: B={a,b,c} olsun. B’nin tüm alt kümeleri şunlardır {}, {a} ,{b},{c} , {a,b} , {a,c}, {b,c} , {a,b,c} B’nin alt kümeleri sayısı 8 tanedir. A={a,b} kümesinin alt kümeleri {} , {a} , {b} , {a,b} A’nın alt kümeleri sayısı 4 tanedir. n elemanlı bir kümenin alt kümeleri sayısı 2n dir. Örnek:Alt küme sayısı 128 olan bir kümenin eleman sayısını bulalım. 2n=128 128= 2n olduğundan 2n=2 n=7 bulunur. Küme 7 elemanlıdır.

10. ÖZALT KÜME:Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine bu kümenin öz alt kümeleri denir.Bir kümenin öz alt küme sayısı 2n-1 ile bulunur. Örnek:Özalt küme sayısı 63 olan bir kümenin eleman sayısını bulalım. 2n-1=63 2n=64 , n=6 bulunur.

11. Çözüm:a) 2n=128 n=7 b) 2n-1=127 NOT: n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı C(n,r)= formülü ile hesaplanır. c) C(7,3)= = =35 bulunur. Örnek:A={1,2,3,4,5,6,7} kümesi için a)kaç tane alt kümesi vardır? b)kaç tane öz alt kümesi vardır? c)3 elemanlı kaç alt kümesi vardır?

12. Çözüm: C(6,5)+C(6,6)= Not: 0!=1 Çözüm: C(6,0)+C(6,1)+C(6,2)=1+6+ =7+15=22 Çözüm:A’nın eleman sayısı n olsun C(n,3)=C(n,4) n=7 bulunur. C(7,0)+C(7,1)+C(7,2)=1+7+ =8+21 =29 Örnek:A= {1, 2, 3,4 ,5,6} kümesinin en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım. Örnek:A={a, b, c, d, e, f} kümesinin en fazla iki elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım. Örnek:A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit ise A’nın en fazla 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulalım.

13. Kümelerin Birleşimi:A ve B herhangi iki küme olsun. A ile B’nin bütün elemanlarından oluşan kümeye ,bu iki kümenin birleşimi denir.A B şeklinde gösterilir A B= dir. A B C KÜMELERDE İŞLEMLER

14. Örnek : A B C A D E • AUB=? • AUC=? • BUC=? A B C E F G C B B A F G D E A D B C E A A C E F G BUC A B C AUB AUC Çözüm:

15. Kümelerin Kesişimi : A ile B herhangi iki küme olsun. A ile B kümelerindeki ortak elemanlardan oluşan kümeye A kesişim B kümesi denir. şeklinde gösterilir. dir. Örnek: A= {a, b, c, d, e} B= {c, d, f, g, h} A B a b e f g h c d

16. 1.A = değişme özelliği 2. birleşme özelliği 3. dağılma özelliği 4. 5. E: evrensel küme 6. ve dir. dir. Kesişim ve Birleşimin Özellikleri

17. E A B C Evrensel Küme: Yapılması gereken bütün işlemlerin sonucunda çıkacak elemanları kapsayacak şekilde belirlenen en geniş kümeye Evrensel küme denir. E sembolü ile gösterilir.

18. E A A’ Örnek: Bir Kümenin Tümleyeni:A kümesi Evrensel kümenin alt kümesi olsun. Evrensel küme içinde A’ya ait olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A’nın tümleyeni denir. A’ şeklinde gösterilir.

19. Tümleme İle İlgili Özellikler: 1. 2) 3) 4) 5) (De Morgan kuralı ) 6. 7) Örnek: ve olmak üzere ve olduğuna göre =? Çözüm: + bulunur.

20. İKİ KÜMENİN FARKI:A ile B iki küme olsun A kümesinde bulunup B kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu kümeye A fark B kümesi denir. A-B yada A\ B biçiminde gösterilir. B A A B A B\A A\B B A\B=A

21. A≠B ise A\B ≠B\A • 2) A\B= A\( • E\A=A’ , E\A’=A • iseA\B= • ise A\B=A • 6) ) A\A= , A\=A , - A= Örnek: a) A\B b) B\A FARK İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER:

22. Örnek:ifadesini en sade biçimde yazalım. Çözüm: = = A Örnek:ifadesini en sade biçimde yazalım. Örnek: = = = =B