1 / 16

หน่วยที่ 3 : วิธีการพิสูจน์ (Methods of Proof)

หน่วยที่ 3 : วิธีการพิสูจน์ (Methods of Proof). CHANON CHUNTRA. วิธีการพิสูจน์.

azra
Download Presentation

หน่วยที่ 3 : วิธีการพิสูจน์ (Methods of Proof)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. หน่วยที่ 3 : วิธีการพิสูจน์ (Methods of Proof) CHANON CHUNTRA

  2. วิธีการพิสูจน์ ทฤษฎีบทถือว่าเป็นส่วนประกอบที่สำคัญอันหนึ่งในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีบทแต่ละทฤษฎีบทนั้นได้มาโดยอาศัยบทนิยามสัจพจน์ หรือทฤษฎีบทที่มีมาก่อน เมื่อเรายอมรับว่าบทนิยามและสัจพจน์เป็นจริงก็นำบทนิยามและสัจพจน์ดังกล่าวมาอ้างอิงเป็นเหตุผลเพื่อสนับสนุนข้อความใหม่ว่าเป็นจริง เราเรียกขบวนการนี้ว่า การพิสูจน์ข้อความใหม่ให้เป็นทฤษฎีบท

  3. การพิสูจน์ข้อความ p ---> q การพิสูจน์ข้อความในแบบ p --> q สามารถทำได้ 3 วิธี คือ 1) โดยวิธีตรง (Direct proof) 2) โดยวิธีการแย้งสลับที่ (Contrapositive proof) 3) โดยวิธีขัดแย้ง (Contradiction proof)

  4. แบบที่ 1:วิธีตรง (Direct proof) ในการพิสูจน์ p --> q ทางตรงหรือการพิสูจน์ว่า p --> q มีค่าความจริงเป็นจริง มีรูปแบบดังนี้ พิสูจน์ สมมติว่า p : (ใช้ p และ S1, S2, S3, … ,Sn) เพราะฉะนั้น q นั่นคือ p --> q

  5. แบบที่ 2:วิธีการแย้งสลับที่ (Contrapositive) การพิสูจน์ข้อความ p --> q โดยพิสูจน์ข้อความ ~q --> ~p แทน โดยมีรูปแบบดังนี้ • พิสูจน์ สมมติว่า ~q • : (ใช้ ~q, บทนิยาม, สัจพจน์ หรือทฤษฎีบท • ที่มีมาก่อนแล้ว) • เพราะฉะนั้น ~p • นั่นคือ ~q --> ~p • ดังนั้น p --> q

  6. แบบที่ 3: วิธีการหาข้อขัดแย้ง (Contradiction) พิสูจน์ สมมติว่า p และ ~q เป็นจริง : (ใช้ p, ~q, บทนิยาม, สัจพจน์ หรือ ทฤษฎีบทที่มีมาก่อนแล้ว) เพราะฉะนั้น เกิดข้อความขัดแย้ง (c) นั่นคือ p ^ ~q --> c ดังนั้นp --> q เป็นจริง

  7. 3.2 การพิสูจน์โดยการหาข้อขัดแย้ง (Proof by Contradiction) พิสูจน์ สมมติว่า ~p เป็นจริง : (ใช้ ~p , บทนิยาม, สัจพจน์ หรือ ทฤษฎีบทที่มีมาก่อนแล้ว) เพราะฉะนั้น q ^ ~q นั่นคือ ~p --> q ^ ~q ดังนั้น p เป็นจริง

  8. การพิสูจน์ข้อความในแบบ p <--> q • เนื่องจาก (p --> q) ^ (q --> p) =(p <--> q) ดังนั้น วิธีหนึ่งที่ • จะพิสูจน์ข้อความ p <--> q โดยแยกการพิสูจน์เป็น 2 ตอน คือ • 1) p --> q ขั้นตอนนี้เรียกว่า “ifpart ” หรือ “sufficient part ” • (p เป็นเงื่อนไขที่พอเพียงสำหรับ q) • และ 2) q --> p ขั้นตอนนี้เรียกว่า “ onlyifpart ” หรือ • “ necessity part ”(pเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ q)

  9. การพิสูจน์ข้อความในแบบ p <--> q จะพิสูจน์ข้อความ p <--> q เราต้องแสดงว่า p --> q และ ~p --> ~q เป็นจริง และอีกวิธีหนึ่งที่เรานิยมใช้ในการพิสูจน์ข้อความแบบ p <--> q ซึ่งเรียกว่า Iff – String คือการสร้างข้อความที่สมมูลต่อเนื่องกัน จาก p ไป q

  10. การพิสูจน์ข้อความโดยการแจงกรณี (Proof by Cases) เนื่องจากข้อความ (p v q --> r) = (p --> r) ^ (q --> r) กล่าวคือ ถ้าเราจะพิสูจน์ข้อความ (p v q) --> r เป็นจริง ทำได้โดยการพิสูจน์ว่า p --> r และ q --> r เป็นจริง เราจะเรียกการพิสูจน์ในลักษณะนี้ว่า การพิสูจน์แบบการแจงกรณี

  11. การพิสูจน์ว่าเป็นเท็จโดยการยกตัวอย่างค้าน (Disproof by Counter Example) การพิสูจน์ มี x, ~p(x) เป็นเท็จ อยู่ในรูปแบบ ดังต่อไปนี้ พิสูจน์ เลือก a ที่เหมาะสม โดยให้ a E U : เพราะฉะนั้น ~p(a) เป็นจริง นั่นคือมี x, ~p(x) เป็นจริง ดังนั้นทุก x, ~p(x) เป็นเท็จ

  12. การพิสูจน์ว่ามี (อย่างน้อยหนึ่ง) และ มีเพียงหนึ่งเดียว (Proof of Existence and Uniqueness) การพิสูจน์ว่ามีเป็นการพิสูจน์ว่า มีสมาชิกอย่างน้อย 1 สมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ Uที่สอดคล้องกับลักษณะที่กำหนดให้ กล่าวคือ เป็นการพิสูจน์ว่า มี x ที่ว่า p(x) เป็นจริง โดยการหาสมาชิก 1 ตัวในเอกภพสัมพัทธ์มาแทนตัวแปร x แล้วทำให้ p(x) เป็นจริง

  13. การพิสูจน์ว่ามี (อย่างน้อยหนึ่ง) และ มีเพียงหนึ่งเดียว (Proof of Existence and Uniqueness) ถ้าต้องการพิสูจน์ว่า มี x เพียงตัวเดียวที่ว่า p(x) เป็นจริง กล่าวคือต้องการพิสูจน์ว่ามี x เพียงตัวเดียว (Unique) เท่านั้น ที่ทำให้ p(x) เป็นจริง เราจะต้องแสดง 2 ขั้นตอน คือ 1. พิสูจน์ว่า มี x ที่ว่า p(x) เป็นจริง (แสดงว่า มีxอย่างน้อยที่สุดตัวหนึ่งซึ่งมีสมบัติp(x)) 2. พิสูจน์ว่า ทุก x ทุก y [p(x) ^ p(y) --> x =y] (แสดงว่ามีxอย่างมากที่สุดเพียงตัวเดียวซึ่งมีสมบัติp(x))

  14. การพิสูจน์โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (The Principle of Mathematical Induction) ทฤษฎีบท 3.9.1 วิธีพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์วิธีที่ 1 (The first method of proof by mathematical induction) สำหรับ n E Nให้ p(n) แทนข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n ถ้า (1) p(1) เป็นจริง (ขั้นตอนฐานหลัก – basic step) และ (2) สำหรับ k E Nถ้า p(k) เป็นจริงแล้วp(k + 1) เป็น จริงด้วย (ขั้นตอนอุปนัย – induction step) จะสรุปได้ว่า p(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนนับ n

  15. การพิสูจน์โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (The Principle of Mathematical Induction) บทแทรก 3.9.2 สำหรับแต่ละจำนวนนับ n ให้ p(n) แทน ข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n และ m เป็นจำนวนนับที่กำหนดให้ ถ้า (1) p(m) เป็นจริง และ (2)สำหรับทุก ๆ จำนวนนับ k ซึ่ง k >= m ถ้า p(k) เป็นจริงแล้ว p(k + 1) เป็นจริงด้วย จะสรุปได้ว่า p(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนนับ n ซึ่ง n >= m

  16. การพิสูจน์โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (The Principle of Mathematical Induction) ทฤษฎีบท 3.9.3 วิธีพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์วิธีที่ 2 (The second method of proof by mathematical induction หรือ Strong induction) สำหรับแต่ละจำนวนนับ n ให้ p(n) แทน ข้อความที่เกี่ยวข้องกับ n ถ้า (1) p(1) เป็นจริง และ (2) สำหรับแต่ละจำนวนนับ m ถ้า p(k) เป็นจริง สำหรับ ทุก ๆ จำนวนนับk ซึ่ง k <= m แล้ว p(m+1) เป็นจริง จะสรุปได้ว่า p(n) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนนับ n

More Related