Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi
Download
1 / 24

- PowerPoint PPT Presentation


  • 200 Views
  • Uploaded on

Tehnički fakultet Sveučilišta u Rijeci. Numeričko rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi. doc. Nelida Črnjarić-Žic, dipl. ing. y. x. ZADATAK Naći rješenje diferencijalne jednadžbe uz početni uvjet. Cauchyjeva zadaća. (1). Padanje tijela.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '' - audra


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Tehnički fakultet Sveučilišta u Rijeci

Numeričko rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi

doc. Nelida Črnjarić-Žic, dipl. ing.


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

y

x

ZADATAK

Naći rješenje diferencijalne jednadžbe

uz početni uvjet

Cauchyjeva zadaća

(1)


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

  • Newtonov zakon hlađenja

B širina kanala

Q protok

  • Stacionarno strujanje fluida u

  • otvorenom vodotoku

  • Matematičko njihalo

PRIMJERI DIFERENCIJALNIH JEDNADŽBI


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Teorem o egzistenciji rješenja

  • Neka je zadana Cauchyjeva zadaća (1) i neka je f neprekidna funkcija u pravokutniku

  • gdje su a i b pozitivni brojevi. Pretpostavimo da

  • postoji pozitivna konstanta M takva da je za svaki ;

  • postoji nenegativna konstanta L takva da je

  • za proizvoljne točke .

  • Tada postoji jedinstveno rješenje Cauchyjeve zadaće (1), definirano i

  • neprekidno za sve , gdje je .


Eulerova metoda
Eulerova metoda

y

yi+1

greška

y(xi+1)

yi

xi

xi+1

x

h


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

y

x

h

h


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Primjer

Analitičko rješenje:


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

lokalna greška

Greška Eulerove metode

  • greška zaokruživanja

Općenito, numerička greška se dijeli u dva dijela:

  • greška metode

lokalna

globalna

Lokalna greška:

Globalna greška:

Eulerova metoda je prvog reda.




Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Primjer

Analitičko rješenje:


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Runge-Kutta metoda

k2

k4

k3

k1


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Opći oblik Runge-Kutta metoda

  • Metoda 2. reda (r=2)

  • Metoda 4. reda (r=4)


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Lokalna greška:

Globalna greška:

Primjeri Runge-Kutta metoda

  • Metoda 2. reda (r=2):

Heunova metoda, poboljšana Eulerova metoda

Numerička greška

  • Metoda 4. reda (r=4):

Lokalna greška:

Numerička greška

Globalna greška:


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Primjer

, .


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Stabilnost numeričkih shema

Numerička su rješenja dobivena

s korakom h=1.




Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi višeg reda

Početni problem za

diferencijalnu jednadžbu

višeg reda

Početni problem za

sustav diferencijalnih jednadžbi

prvog reda

gdje je


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Pripadajući sustav reda

jednadžbi

prvog reda

Jednadžba gibanja

Linearizirana jednadžba

  • Matematičko njihalo

Znamo odrediti

analitičko rješenje.

Diferencijalna jednadžba 2. reda

s konstantnim koeficijentima


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Usporedba numeričkog rješenja i analitičkog rješenja reda

linearizirane jednadžbe matematičkog njihala - kut


Numeri ko rje avanje obi nih diferencijalnih jednad bi

Usporedba numeričkog rješenja i analitičkog rješenja reda

linearizirane jednadžbe matematičkog njihala – kutna brzina