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NUMERI. DAL SEMPLICE A…. UNA PANORAMICA. IL MONDO DI N. PARI/DISPARI PRIMI/COMPOSTI (ma anche 0 e 1). Definizione di numero primo… E in Z ?. Definizione di pari, dispari. Esistono sempre ( o dappertutto ) i numeri primi?. Esaminiamo Z 7 , cioè la matematica della settimana.

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numeri

NUMERI

DAL SEMPLICE A…

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IL MONDO DI N

PARI/DISPARI

PRIMI/COMPOSTI (ma anche 0 e 1)

Definizione di numero primo…

E in Z ?

Definizione di pari, dispari

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Esistono sempre ( o dappertutto ) i numeri primi?

Esaminiamo Z7, cioè la matematica della settimana

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I mattoni dell’edificio numerico

  • TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA
  • Quanti sono i numeri primi?
  • La risposta risale ad Euclide ( ed è un esempio di bellezza )
  • …la dimostrazione…
  • Esiste una formula per “catturare” tutti i numeri primi?
  • I VARI TENTATIVI…
  • DUE TIPI: 4k + 1 o 4k + 3
  • FERMAT
  • MERSENNE
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Sono infiniti, ma come sono distribuiti?

  • Alcuni polinomi generatori…
  • Problemi aperti
  • Congettura di Goldbach
  • Numeri primi gemelli
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LA SCRITTURA DEI NUMERI

  • PROBLEMI DI PERIODICITA’
  • CRITERI DI DIVISIBILITA’
  • UNA STRANEZZA: I NUMERI PALINDROMI
  • IL MONDO DEGLI Zn: regole e stranezze
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UN POTENTE STRUMENTO IN N:

IL PRINCIPIO DI INDUZIONE

Enunciato

definizioni

dimostrazioni

Moltiplicazione

Elevamento a potenza

fattoriale

Alcuni esempi

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" Era una dimostrazione così indescrivibilmente bella, era così semplice, e così elegante. Non riuscivo a capire come mi potesse essere sfuggita e la fissai incredulo per venti minuti. Poi durante il giorno andai in giro per il dipartimento, e continuavo a tornare alla scrivania per vedere se la soluzione era ancora lì. Non riuscivo a trattenermi, ero eccitatissimo. Fu il momento più importante della mia vita di lavoro. Niente di quello che potrò mai fare significherà altrettanto"

(Andrew Wiles, sulla sua dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat).

Teorema:Per ogni numero intero n maggiore o uguale a 3, non esistono tre interi x, y, e z tali che xn + yn = zn.Osservazione:Per n=2 questa affermazione non è vera, basta considerare 32 + 42 = 52, cioè 9+16=25.

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FERMAT, GAUSS e la ciclotomia…

MERSENNE e i numeri perfetti *

  • Definizione
  • Teorema di Eulero
  • Problemi aperti
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QUADRATI MAGICI

  • DEFINIZIONE: q.m. di ordine n è un quadrato diviso in n2 caselle in ciascuna delle quali è collocato un numero con le seguenti regole
  • I numeri devono essere naturali
  • Gli n2 numeri devono essere diversi tra loro
  • La somma dei numeri di ciascuna riga, di ciascuna colonna e delle due diagonali deve essere la stessa. Questa somma è la COSTANTE MAGICA
  • Si devono utilizzare i numeri 1, 2, 3, ………. n2
  • Questi quadrati magici si dicono CLASSICI o ordinari
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I QUADRATI MAGICI CLASSICI DI ORDINE 3

UN PRIMO PROBLEMA: determinare la costante magica

LA SOLUZIONE: se x è la costante magica, nx è la somma lungo, per esempio, le n righe. Allora deve essere

1+2+3+…+n2 =nx

( ci ricordiamo dell’idea del piccolo GAUSS e la somma degli n2 numeri diventa…)

Così: x =

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IL SECONDO PROBLEMA: sistemare i nove numeri nelle caselle

Le caselle sono di tre tipi

STRATEGIA: riempire la casella centrale; distribuire i rimanenti otto numeri in quattro coppie perché il sistema resta “bloccato”.

Partendo da una casella di tipo B si avrebbe un grado di libertà; addirittura due se si partisse da una casella di tipo C.

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LE TERNE MAGICHE

(per ordine 3, con costante 15)

Che iniziano con 1:

(1, 5, 9) e (1, 6, 8)

1 entra solo in due terne quindi occuperà una casella di tipo C

Che iniziano con 2:

(2, 4, 9) (2, 5, 8) (2, 6, 7)

2 entra in tre terne quindi occuperà una casella di tipo B

Che iniziano con 3:

(3, 4, 8) e (3, 5, 7)

3 entra in due terne quindi occuperà una casella di tipo C

…….

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Quanti quadrati magici di ordine 3 e costante 15 esistono?

Sostanzialmente uno che può essere simmetrizzato (due assi mediani e due diagonali) o ruotato ( di 90°, 180°, 270° ) attorno al centro.

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Rinunciamo alla regola 4 ma usiamo ancora numeri consecutivi

ESEMPIO: se i numeri sono

7,8,9,10,11,12,13,14,15.

Questi si ottengono da 1,2…9 aggiungendo 6 a ciascuno di essi. La costante sarà allora

15 + 3*6 = 33

E il quadrato magico si ottiene da quello fondamentale aggiungendo di 6 in ogni casella.

Assegnati i 9 numeri, scoprire

La costante magica

Sommare i numeri e dividere

per 3

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Assegnata la costante magica, scoprire i 9 numeri

ESEMPIO: se la costante è 27, si ottiene da quella classica aggiungendo 12. Allora basta aggiungere 4 ad ogni numero del quadrato classico

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UN ALTRO ESEMPIO

I nove numeri siano: 2,4,6,8,10,12,14,16,18

Basta moltiplicare la costante magica per 2 ( e diventa 30 )

ANCORA…i nove numeri siano 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17

Questa volta non c’è una strategia additiva o moltiplicativa

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LE COSTANTI MAGICHE

Finora sono state multiple di 3: è un caso? C’è una regola?

TEOREMA: Se il quadrato magico ha costante magica X allora X = 3e.

DIM….

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Il teorema dice che solo i multipli di 3 possono essere costanti magiche,

Ma tutti i multipli di 3 possono esserlo?

DIPENDE…

Se si consente che i

Numeri si ripetano vanno

Bene anche

0, 3, 6, 9

Per i quadrati

Magici classici

L’affermazione

È vera per

Multipli >= 15

Se si include lo 0

La costante è un

Multiplo >= 12

Se si usano i numeri relativi l’affermazione va bene per tutti i multipli di 3

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Se i nove numeri possono ripetersi…

Con X = 0

X = 3

X = 6

X = 15

Se si possono usare i relativi…

Con X = 0

X = 3

X = -3

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Sempre usando i relativi, qual è il minimo numero di informazioni necessarie a costruire un quadrato magico?

Quantità in gioco: i nove numeri e X

Ma

Non tutte indipendenti ( per esempio, nota X si ricava e = X/3 )

Possono bastare tre informazioni?

Se sono indipendenti sì.

Per esempio: (X,a,b) oppure (X,a,f) o ancora (X,a,h)

Non va bene invece (X,a,i)

Riscriviamo allora il quadrato

Supponendo noti (X,a,b)

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E per finire…vita sociale dei quadrati magici

  • E’ definita una addizione tra i numeri delle caselle
  • Se usiamo numeri relativi restiamo nei relativi
  • E’ associativa
  • E’ commutativa
  • C’è un quadrato magico elemento neutro
  • C’è l’opposto di ogni quadrato magico

Quindi

I QUADRATI MAGICI DI ORDINE 3 CON I NUMERI RELATIVI

FORMANO GRUPPO