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Stabilit ät von Gleichgewichten

Stabilit ät von Gleichgewichten. Kontinuit ätsgleichung. Kraft gleichung. Ohmsches Gesetz. Maxwell- Gleichungen. Adiabatische Zustands änderung :. Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen. Und dazu noch:. Stabilitätsuntersuchungen. Nichtlineare Stabilit ät: numerische Lösung der MHD Gleichungen.

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Stabilit ät von Gleichgewichten

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Presentation Transcript

  1. Stabilität von Gleichgewichten

  2. Kontinuitätsgleichung Kraftgleichung Ohmsches Gesetz Maxwell- Gleichungen Adiabatische Zustandsänderung: Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen Und dazu noch:

  3. Stabilitätsuntersuchungen Nichtlineare Stabilität: numerische Lösung der MHD Gleichungen Einfacher: Lineare Stabilität: Betrachte kleine Störungen des GG Störungsansatz für , v, p, B: z.B.

  4. Für statische Gleichgewichte findet man Gleichungen für die zeitliche Entwicklung der gestörten Größen 1, v1, p1, B1 z.B. Man findet aus Kraftgleichung (+ Maxwell, Adiabatengesetz): Lineare Stabilitätsuntersuchungen Statt v1 anschaulichere Größe  (Zeitintegral von v1) verwenden : Verschiebungsvektor (kleine Verschiebung des GG-Zustandes)

  5. Eigenwertproblem in linearer MHD Keine Quellen und Senken in idealer MHD EW-Problem mit reellem 2 2 > 0: Schwingungen um GG-Lage => Alfvèn-Wellen 2 < 0, Im  >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einer Anfangsstörung

  6. Einfachster Fall: homogenes Plasma Die treibenden Kräfte Keine Instabilitäten, aber Wellenausbreitung Zusätzlich zu Schallwellen: Alfvèn-Wellen

  7. Wellen im Gas bzw. im Plasma ohne Magnetfeld: Schallwellen Ausbreitungsgeschwindigkeit:

  8. Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und Magnetfeld-Energie Scher- Alfvèn-Wellen

  9. Charakteristische Geschwindigkeit: Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und Kompressions-Energie Kompressionale Alfvèn-Wellen

  10. MHD-Instabilitäten 2 < 0, Im  >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einer Anfangsstörung Anschaulicher : Energieprinzip Ideale MHD: Energieerhaltung, weil keine Dissipation Stabiles Gleichgewicht: Minimum der potentiellen Energie

  11. Betrachte stationäres GG => kin. Energie nur in Störung Wkin= Kann man umschreiben mit Wkin= zu: Energieerhaltung fordert Gleichheit von (Störung der) kinetischen und der potentiellen Energie Das Energieprinzip (1)

  12. K(,) >0 Wpot > 0  2 > 0 =>  reell => oszillierende Störung Das Energieprinzip (2) Wpot < 0  2 < 0 =>  imaginär => exponentiell anwachsende Störung

  13. Vakuumbeitrag: Das Energieprinzip (3) Wpot = WVAC + WOF + WPL stabilisierend: Kompression des Vakuumfeldes erfordert Energie Beitrag durch Ströme auf der Plasmaoberfläche:WOF

  14. Das Energieprinzip (4) Wpot = WVAC + WOF + WPL Immer stabilisierend u.U. destabilisierend

  15. Energie zum Komprimieren des Plasmas (Wpot zu Schallwellen) Energie zum Verbiegen von Feldlinien, „Feldlinienspannung“ (Wpot zu Scher-Alfvèn-Wellen) Energie zum Komprimieren von Feldlinien (Wpot zu Kompr.-Alfvèn-Wellen) Das Energieprinzip (4): stabilisierende Beiträge Wpot = WVAC + WOF + WPL stabilisierend

  16. Das Energieprinzip (5): destabilisierende Beiträge Wpot = WVAC + WOF + WPL immer stabilisierend u.U. destabilisierend Druckgetriebene Instabilitäten Stromgetriebene Instabilitäten

  17. Das Energieprinzip (5): destabilisierende Beiträge Wpot = WVAC + WOF + WPL Anwendungen des Energieprinzips: Wenn man Testfunktion finden kann, für die Wpot negativ wird, ist Gleichgewicht instabil!

  18. p p   Austauschinstabilität Destabilisierender Term: Destabilisierend für

  19. Beispiel: Z-Pinch Zylindersymmetrie => Fourier-Zerlegung des Verschiebungsvektors

  20. Beispiel: Z-Pinch (m=0) bei m=0 j||=0 Störfeld senkrecht zu GG-Feld: Feldlinienkrümmung:

  21. Beispiel: Z-Pinch (m=0) Druckgradient destabilisierend Kompressionsterme stabilisierend, aber ungünstige Krümmung Minimierung der potentiellen Energie bzgl.  und Einsetzen liefert: i.allg. nicht erfüllt Stabilitätskriterium:

  22. 2 1.5 1 B(r) 0.5 Iz(r) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p(r) r/r0 Beispiel für instabile Profile (Bennet-Profile) Stabilität nur für  > 2, aber ideale MHD:  = 5/3

  23. “Würstcheninstabilität” (m=0)

  24. Beispiel: Z-Pinch (m>0) Unter Nutzung der GG-Bedingung folgt: Stabilitätskriterium: < 0, wenn j(r) nach außen abfällt => Z-pinch stabil für m>2! Im Zentrum Stromdichte etwa konstant => instabil für m=1!

  25. Kink-Instabilität (m=1)

  26. x

  27. Z-Pinch: Kink- und Würstchen-Instabilität Stabilisierung durch Kombination mit Theta-Pinch!

  28. Bisher ideale MHD – Instabilitäten: MF-Topologie nicht geändert

  29. Resistive Instabiliäten Ohmsches Gesetz Maxwell- Gleichungen Endliche Resistivität erlaubt Änderung der MF-Topologie!

  30. Magnetische Inseln Verringerung der Feldlinienspannung durch Rekonnektion führt zu Zustand geringerer Energie!

  31. Zusammenfassung MHD-Wellen (auch im homogenen Plasma): Schallwellen, Scher-Alfvèn-Wellen, Kompressionswellen • Lineare Instabilitäten in idealer MHD: • Eigenwertproblem (2<0) • Energieprinzip (Wpot<0) • Getrieben durch Druck- oder Stromgradienten: • Bsp: Austauschinstabilität • Würstcheninstabilität • Knick-(kink) Instabilität • Resistive Instabilitäten: • wachsen viel langsamer als ideale Instabilitäten • können Magnetfeldtopologie ändern

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