1. 能画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合 ) 的三视图 , 能识别上述三视图所表示的立体模型 , 会用斜二测画法画出它们的直观图 .

1.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、1.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. 2.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 3.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式（不要求记忆公式）. 空间几何体

1.(2009·陕西)若正方体的棱长为 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ( ) A. B. C. D. 解析由题意可知,此几何体是由同底面的两个正四棱锥组成的,底面正方形的边长为1,每一个正四棱锥的高为所以V= B

2.(2009·山东)一空间几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D.

解析该空间几何体为一圆柱体和一四棱锥组成,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为四棱锥的底面边长为 ,高为 ,所以体积为所以该几何体的体积为答案 C

3.(2009·海南)一个棱锥的三视图如下图,则该棱锥3.(2009·海南)一个棱锥的三视图如下图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为 ( ) A. B. C. D.

解析该三棱锥底面是以6 cm为直角边的等腰直角三角形,且顶点在底面上的射影是等腰直角三角形斜边的中点,棱锥的高为4 cm,易算出斜高为5 cm,所以全面积为S全= 答案 A

4.(2009·天津)如图是一个几何体的三视图,若它的4.(2009·天津)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是则a=____. 解析由已知正视图可以知道这个几何体是竖着的直三棱柱,两个底面是等腰三角形,且底边为2,等腰三角形的高为a,侧棱长为3,结合体积公式可以得到 V=Sh= 解得a= .

题型一三视图 【例1】(2009·广东)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示.墩的上半部分是正四棱锥P- EFGH,下半部分是长方体ABCD—EFGH.图(2)、图 (3)分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图； (2)求该安全标识墩的体积； (3)证明:直线BD⊥平面PEG.

(1)解侧视图如下图所示. (2)解该安全标识墩的体积为V=VP—EFGH+VABCD—EFGH = ×402×60+402×20=32 000+32 000=64 000(cm3).

(3)证明如图,连结EG、HF及BD, 设EG与HF相交于O点,连结PO,由正棱锥的性质可知,PO⊥ 平面EFGH, ∴PO⊥HF, 又∵EG⊥HF, ∴EG∩PO=O,HF⊥平面PEG. 又∵BD∥HF,∴BD⊥平面PEG. 【探究拓展】通过三视图间接给出几何体的形状,并给出相关数据通过计算解决相关问题,体现了新课程的理念.

变式训练1如下的三个图中,上面的是一个长方体截变式训练1如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连接BC′,证明:BC′∥平面EFG. (1)解如图所示

(2)解所求多面体体积 V=V长方体-V正三棱锥 (3)证明在长方体ABCD—A′B′C′D′中, 连接AD′,则AD′∥BC′. 因为E,G分别为AA′,A′D′ 的中点, 所以AD′∥EG,从而EG∥BC′. 又BC′平面EFG,所以BC′∥平面EFG.

题型二几何体的表面积和体积 【例2】(2009·安徽)如图, ABCD是边长为2的正方形, 直线l与平面ABCD平行,E 和F是l上的两个不同点, 且EA=ED,FB=FC.E′和F′是平面ABCD内的两点, EE′和FF′都与平面ABCD垂直. (1)证明:直线E′F′垂直且平分线段AD； (2)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面体ABCDEF 的体积.

(1)证明连结E′A、E′D, 由EA=ED,知Rt△EE′A≌Rt△EE′D，故在平面ABCD中,E′A= E′D, 因此E′在线段AD的垂线上,同理,F′在线段BC的中垂线上.由于ABCD是正方形,BC的中垂线就是AD 的中垂线,所以F′也在AD的中垂线,由于E′、F′ 都在AD的中垂线上,所以E′F′就是AD的中垂线,因此E′F′垂直且平分线段AD.

(2)解因为EE′∥FF′,所以E、F、E′、F′四点 共面. 因为EF∥平面ABCD，所以EF∥E′F′. 又E′F′∥AB,所以EF∥AB.又EF=AB=2,故四边形 ABFE是平行四边形. 同理,四边形CDEF是平行四边形. ∠DAE=60°,知△ADF是等边三角形. 连结BE,又由AB=AE,∠EAB=60°, 知△ABE是等边三角形. 由EA=EB=ED,知点E在面ABCD上的射影E′为正方形 ABCD的中心. 连结EC,故EA=EC.

因此,△CDE、△BEF、△CEF、△BCE、△BCF都是 等边三角形,四面体BCEF是棱长为2的正四面体. 因为AD∥BC,AE∥BF,所以平面ADE与平面BCF平行. 又因为AB∥CD∥EF,所以多面体ABCDEF是三棱柱 ADE—BCF,其底面积为且与正四面体E—BCF同高,因为正四面体E—BCF的边长为2,得高为所以V多面体ABCDEF= 【探究拓展】求几何体的体积问题,可以多角度、全方位地考虑问题,常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等,尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视.

变式训练2如图所示,四棱锥P— ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°, △ADP∽△BAD. (1)求线段PD的长； (2)若PC= 求三棱锥P—ABC 的体积.

解(1)∵BD是圆的直径， ∴∠BAD=90°，又∵△ADP∽△BAD， ∴DP的长为3R.

(2)在Rt△BCD中,CD=BDcos 45°= ∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2， ∴PD⊥CD,又∠PDA=90°,AD∩CD=D, ∴PD⊥底面ABCD，则S△ABC= AB·BCsin(60°+45°) 所以三棱锥P—ABC的体积为 VP—ABC= ·S△ABC·PD

题型三球 【例3】(2009·全国Ⅱ)设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于则球O的表面积等于____. 解析如图,设O′为截面圆的圆心,设球的半径为R,则OM= 又∠O′MO=45°,∴OO′= Rt△O′OB中,OB2=O′O2+O′B2，

【探究拓展】涉及到球与棱柱、棱锥的切、接问题时,【探究拓展】涉及到球与棱柱、棱锥的切、接问题时, 一般过球心及多面体的特殊点或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系. 变式训练3 (2009·全国Ⅰ)已知OA为球O的半径,过 OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,若圆 M的面积为则球O的表面积等于____. 解析设球半径为R,圆M的半径为r, 则r2=3,又OM=

【考题再现】 (2009·海南)如图,在三棱锥 P—ABC中,△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°. (1)证明:AB⊥PC; (2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P— ABC的体积.

【解题示范】 解 (1)因为△PAB是等边三角形,所以PB=PA. 因为∠PAC=∠PBC=90°, PC=PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC, 所以AC=BC. 如图,取AB中点D,连结PD、CD, 则PD⊥AB,CD⊥AB,又PD∩CD=D, 所以AB⊥平面PDC,所以AB⊥PC. 6分

(2)作BE⊥PC,垂足为E,连结AE. 因为Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC,AE=BE. 由已知,平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB=90°. 8分因为∠AEB=90°,∠PEB=90°,AE=BE,AB=PB, 所以Rt△AEB≌Rt△BEP, 所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形. 由已知PC=4,得AE=BE=2,△AEB的面积S=2. 因为PC⊥平面AEB. 所以三棱锥P—ABC的体积V= 12分

1.几何体中计算问题的方法与技巧:①在正棱锥中,正1.几何体中计算问题的方法与技巧:①在正棱锥中,正棱锥的高、侧面、等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关.②正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算,另外,要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来.③研究圆柱、圆锥、圆台等问题,主要方法是研究其轴截面,各元素之间的关系,数量都可以在轴截面中得到.④多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段.

2.三视图及应用：①画立体几何的三视图首先要明确2.三视图及应用：①画立体几何的三视图首先要明确各自的投影方向,画法要求是“长对正,宽相等,高平齐”.②由几何体的三视图画几何体的直观图，需要发挥空间想象能力,仍是从正视图出发，然后是侧视图、俯视图,画出后检验,依然仍是“高平齐，长对正,宽相等”,做到检查修补.特别提醒：无论几何体 (或直观图)作三视图，还是由三视图还原几何体(或画出相应的直观图),都要注意线要虚实分明. 3.空间立体几何体积的求法:①公式法:即根据题意直接套用相关几何体的体积公式计算.②作差法:将原几何体转化为两个易求体积的几何体的差,通过体积

差来计算原几何体的体积.③割补法:通过对原几何体差来计算原几何体的体积.③割补法:通过对原几何体分割或补形,将原几何体分割或补成较易计算的几何体,从而求出原几何体的体积.④等体积变换法:即从不同角度看待几何体,通过改变顶点和底面,利用体积不变的原理，来求原几何体的体积.

一、选择题 1.将正三棱柱截去三个角(如图1所示),A,B,C分别是 △GHI三边的中点得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为 ( )

解析由题意可知,侧视图应为A. 答案 A

2.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该2.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( ) A. B. C. D. 解析几何体为一个球与一个圆柱的组合体, D

3.(2009·辽宁)正六棱锥P—ABCDEF中,G为PB的中 点,则三棱锥D—GAC与三棱锥P—GAC体积之比为 ( ) A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.3:2 解析由题意可知,平面GAC⊥平面ABCDEF,所以点D到平面GAC的距离等于正六边形的边长,而点P 到平面GAC的距离等于正六边形边长的一半. C

4.(2009·湖北)如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°, ∠ACC1=60°,∠BCC1=45°,侧棱 CC1=1,则该三棱柱的高等于 ( ) A. B. C. D. 解析如图过点C1作底面ABC的垂线C1H,作HF⊥BC,HE⊥AC,连接 C1E、C1F,则C1E⊥AC,C1F⊥BC, 又∠ACB=90°,∠ACC1=60°, ∠BCC1=45°,CC1=1,所以四边形ECFH是矩形,则 EC=FH= C1F= 所以 A

5.(2008·重庆)如图,模块①-⑤均由4个棱长为1的小5.(2008·重庆)如图,模块①-⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成. 现从模块①-⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块 ⑥成为一个棱长为3的大正方体,则下列选择方案中, 能够完成任务的为 ( )

A.模块①,②,⑤ B.模块①,③,⑤ C.模块②,④,⑤ D.模块③,④,⑤ 解析观察得先将⑤放入⑥中的空缺,然后上面可放入①②，其余可以验证不合题意. 答案 A 6.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于 ( ) A.1 B. C. D.2

解析如图所示,设球的球心为O,两截面圆的圆心分别为A、B,相交弦为CD,取CD的中点E, 则BE⊥CD,AE⊥CD, ∴CD⊥平面ABE. 又OA⊥⊙A,OB⊥⊙B, ∴OA⊥CD,OB⊥CD， ∴CD⊥平面OAB. ∴O、A、E、B四点共面,且四边形OAEB是矩形. ∴AB=OE. 连结OC,OD,则OC=OD,OE⊥CD. ∵OC=CD=2,∴OE= . 答案 C

二、填空题 7.(2009·浙江)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是_____cm3. 解析该几何体是由二个长方体组成,下面体积为1 ×3×3=9,上面的长方体体积为3×3×1=9,因此其几何体的体积为18. 18

8.(2009·全国Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都 在同一球面上.若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于_____. 解析在△ABC中,由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB ·AC·cos 120°=4+4-2×2×2× =12, ∴BC= . 由正弦定理知△ABC的外接圆半径r满足 ∴r=2,由题意知球心到平面ABC的距离为1，设球的半径为R= ∴S球=

9.连结球面上两点的线段称为球的一条弦,半径为4的9.连结球面上两点的线段称为球的一条弦,半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于每条弦的两端都在球面上运动,则两弦中点之间距离的最大值为____. 解析设球心为O,由球的弦长知令Q在线段CD上,则2≤|OQ|≤4;令P在线段AB上, 则3≤|OP|≤4.

∴M可能在线段CD上,但N不能在线段AB上， 又由三角形性质,若M、O、N三点不共线，则|MN|＜|OM|+|ON|=5,|MN|＞|OM|-|ON|=1, 若O在线段MN上,则|MN|=|OM|+|ON|=5, 若O在线段MN的延长线上，则|MN|=|OM|-|ON|=1， ∴1≤MN≤5. 答案 5

10.等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三10.等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为_____. 解析一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形的斜边EF上的中线DG= ∴斜边EF的长为

三、解答题 11.(2009·福建)如图所示,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2, AD=4.将△CBD沿BD折起到 △EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD. (1)求证:AB⊥DE； (2)求三棱锥E—ABD的侧面积.

(1)证明因为∠DAB=60°,AB=2,AD=4. 在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB =22+42-2×2×4× =12,即BD= 所以有BD2+AB2=AD2成立，则BD⊥AB, 所以BD⊥CD,则BD⊥ED，又因为平面EDB⊥平面ABD，所以ED⊥平面ABD,则AB⊥ED.

(2)解由(1)知,BD⊥AB且AB=CD=DE=2, BD= AD=4,又ED⊥平面ABD, 所以ED⊥AD,ED⊥BD, 则EB2=ED2+BD2=16,即EB=4，又因为平面EDB⊥平面ABD且AD⊥BD,所以AB⊥BE. 所以三棱锥E—ABD的侧面积等于 S△ABE+S△ADE+S△DBE

12.如图在四棱锥P—ABCD中,平 面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC, △PAD是等边三角形,已知BD= 2AD=8,AB=2DC= (1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD; (2)求四棱锥P—ABCD的体积.

(1)证明在△ABD中,由于AD=4,BD=8,AB= 所以AD2+BD2=AB2.故AD⊥BD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， BD平面ABCD,所以BD⊥平面PAD，又BD平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD.

(2)解过P作PO⊥AD交AD于O, 由于平面PAD⊥平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD. 因此PO为四棱锥P—ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形. 因此在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为故VP—ABCD= 返回

1. 能画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合 ) 的三视图 , 能识别上述三视图所表示的立体模型 , 会用斜二测画法画出它们的直观图 .