力積は F dt であるが、 力が一定の場合は、力積＝力 × 作用した時間

1. 小テスト解説 西武の松坂の速球（150 km/h ≒42 m/s）の運動量はいくらか？ただし、ボールの質量は160gとする。 [求め方] p = 0.16×42 = 6.72 運動量 p = mv 答：　6.72 kg・m/s 松坂の速球をキャッチャーが受ける。この時ボールの減速が１００分の１秒（ボールが42 cm進む時間） で行われたとすると、キャッチャーのミットにはその間、平均どれだけの力がかかるか？ 単位は「ニュートン」と「重力キログラム」で答えよ。 この問題では、平均の力を求めるので、 力は一定だったと仮定して計算してもよい。よって 力積 = F×0.01 = 6.72 F = 672 [N] 672 N ≒ 67.2 kgf（1 kgf ≒10 Nとした） 運動量の変化 ＝ その間に作用した力の力積 ボールの運動量の変化： 6.72 → 0 運動量の変化量Dp = 6.72 ∫ 力積は F dt であるが、 力が一定の場合は、力積＝力×作用した時間 答： 672 N、 67.2 kgf キャッチャーの構え 手 v キャッチャー 良い例 球 ミット 手 v キャッチャー 悪い例 球 ミット 運動量の変化＝力積＝力（球を受ける時の衝撃）×時間 キャッチャーは球を受けるとき、上の図のように手をほぼいっぱいにのばして球を受ける。それは、球を 減速する際の距離と時間をかせぎ、衝撃（力）を弱めるためである。球が速くて怖いからといって下の図の ように縮こまって受けると、球を減速するための距離と時間をかせげず、衝撃（力）は強くなる。 高い場所から飛び降りる際の、足の形状と同じ。 第8回 （5/31） 1ページ

2. 車は頑丈な方が安全か？ 車の前部は、やわらかく、 つぶれやすい方が安全 運動量の変化＝力積＝力×時間 衝突の際の運動量の変化は 一定なので、力（衝撃）を 小さくするためには、 つぶれて時間をかせぐ方がよい 人間がいるスペースは 頑丈な方が安全。 ここがつぶれてしまうと、 中の人間もつぶされて しまう。右の写真でも 前部はつぶれているが 人間のいる部分は つぶれていない。 クッションの原理（エアマット・エアバッグ等） 火事等で、高いビルから飛び降りる人を受け止める際の衝撃をやわらげるために、 ネットやエア・マットが使われる。その原理も上の説明と同様で、衝突が起こっている時間をかせぐことで 力（衝撃）を小さくすることができる。 200 gのおもりをばねにつるしたら、10 cmのびた。ばね定数、角振動数、周期、振動数を求めよ。 重力加速度は10 m/s2とする ばねの質量は無視すると フックの法則：F = －kx k m 20 0.2 角振動数：w = = = 10 200 gのおもりに働く重力は F = mg = 0.2×10 = 2 [N] ばねの伸びxは、x = 0.1 これをフックの法則に代入して 2 = k×0.1 k = 20 T：周期（１往復にかかる時間） wT = 2pになる（位相が2p変化する）時間 T = = 2p= = 0.2p 2p w 2p 10 m k f：振動数（１秒あたり何往復するか） w 2p k m 5 p 1 2p 10 2p 1 T f = = = = = 1 m ばねを引き伸ばすのに 20 N の力が必要なばね 答： ばね定数20 N/m、 角振動数 10 rad/s、 周期 0.2p s、 振動数 5/p [1/s] 第8回 （5/31） 2ページ

3. 先週の復習と補足（ばねにつけたおもりの運動）先週の復習と補足（ばねにつけたおもりの運動） ばねにおもりをつけると、ばねは 「つり合いの位置」まで x0 だけ伸びる このとき、 「おもりに働く重力mg」 と 「ばねの弾力kx」 がつり合っている。 重力はつり合いの位置を x0 だけ変えるだけ。 重力加速度gは、振動周期や振動数に無関係 おもりの位置の原点を、つり合いの位置にとると 運動方程式から、gと x0を消し去ることができる F = ma = －kx この運動方程式の解は、 x(t) = A cos(wt + q0) 位相（等速円運動の時の角位置に相当） x(t) = A cos(wt + q0) 時刻 t = 0における位相 振幅 角振動数 w = k m どっちが分子でどっちが分母かは、 記憶せずに以下のことより推測しよう。 おもりの質量 mが増すと、速度が変化しにくくなり、w, fは小さくなり、周期Tは大きくなる。（F = ma） ばね定数 kが増すと、復元力が強くなり、w,fは大きくなり、周期Tは小さくなる。（F = －kx） 2p w 時間が だけ経過すると位相が2pずれる x(t) = A cos(wt + q0) は等速円運動の片方の軸だけみた時の運動であるともいえる。 y(t) = A sin (wt + q0)とすれば、xy平面での等速円運動となる。y(t)も単振動である。 第8回 （5/31） 3ページ

4. 「弾力による位置エネルギー」 と 「運動エネルギー」 （教科書 p48） ばねの弾力による単振動 おもりの位置：x(t) = A cos(wt + q0) おもりの速度： v(t) = －wA sin (wt + q0) なんの脈絡もありませんが、上の式を用いて、以下の量を計算してみる mv2 + kx2 = A2(mw2) sin2(wt+q0)+ kA2cos2(wt+q0) = kA2 = mw2A2 = 一定 dx dt v(x) = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ・・・① k m w = より、mw2 = k と sin2(wt+q0) + cos2(wt+q0) = 1 を用いた。 ｝ 1 2 運動している物体は エネルギーを持っている 二つ合わせて 力学的エネルギー ①式は 力学的エネルギー保存則 単位は[J]ジュール = kg m2/s2 = Nm 運動エネルギー： K = mv2 1 2 弾力による位置エネルギー：U(x) = kx2 例：ゼンマイ 弾力による位置エネルギーがなぜこのようになるのかは、第５章でちゃんと説明します。 x 問題：速度 v(t)を図に書き込め v wA A x(t) 0 t 問題：運動エネルギー K(t)を図に書き込め U K 1 2 1 2 A mw2A2 kA2 U(t) 0 t 第8回 （5/31） 4ページ

5. 教科書（p48～p49）のごまかしに関する注意 ４ページの議論は、下の図のように質量mのおもりが、摩擦のない水平面上で振動している場合は正しい このとき、おもりの位置 x の原点は、ばねが自然の長さになっている時のおもりの位置である。 つまり、おもりの位置 x は、ばねの変形量そのものである。 この場合、ばねの弾力による位置エネルギーは、 1 2 ばねの弾力による位置エネルギー：U(x) = kx2 （xは、ばねの自然の長さからの伸び） 自然の長さ 水平面 x O おもりの重心ではないが、教科書にならって ばねの下端をおもりの位置としている。 おもりを垂直につるした場合 おもりの位置の原点を、おもりに働く重力と、ばねの弾力がつり合う 位置にした場合、ばねの変形量は、x + x0である。この場合、 自然の長さ （ばねの質量は無視） 1 2 弾力による位置エネルギー：U(x) = k(x + x0)2 弾力による位置エネルギーは変形量の２乗に比例する。 つり合いの位置からの変形量の２乗に比例するわけではない。 問題 おもりを垂直につるした場合は、 力学的エネルギーは保存しないのか？ x 第8回 （5/31） 5ページ

6. 重力による位置エネルギー 重力による位置エネルギー： mgh 単位[J]、h：高さ 物体は、高いところにある物体ほど、大きな位置エネルギーを持つ。 なぜ、位置エネルギーがmghとなるかは、５章で説明します。 例題 高さ 2 m の棚の上に質量 1.5 kgの箱がある。箱が床の上にある状態を基準（位置エネルギー U = 0） とした場合、棚の上の箱の位置エネルギーはいくらか？重力加速度 gは 10 m/s2とせよ。 ばねに取り付けた垂直に振動するおもりの力学的エネルギー（正確な議論） 力学的エネルギー ＝ 運動エネルギー ＋ ばねの弾力による位置エネルギー ＋ 重力による位置エネルギー 1 2 1 2 1 2 1 2 mv2 + k(x+x0)2－mgx = mv2 + k(x2+2xx0+x02) －mgx = mv2 + kx2 + kxx0 + kx02－mgx kx0 = mgなので 力学的エネルギー= mv2 + kx2 + kx02 kx02は定数で、重力の位置エネルギーの原点をずらすことで、消し去ることもできる。よって 力学的エネルギー = mv2 + kx2（４ページと同じ形） でも決してばねの弾力による位置エネルギーは kx2ではなく、 k(x+x0)2である。 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 最終確認（ダメ押し） 1 2 弾力による位置エネルギー：U(x) = kx2 公式としては（x+x0）でなくxでよいが、公式におけるxは自然の長さからの伸びのことである。 ３ページ、４ページのようにおもりの座標をとると、ばねの伸びはx+x0になっている。 第8回 （5/31） 6ページ

7. 例題 ３ページの図のように、垂直方向に伸び縮みするばね（ばねの質量は無視できるものとする。）がある。 そのばねに質量200 g のおもりをつけたところ、ばねが 10 cm伸びてつり合った。 ① ばね定数を求めよ。②ばねが 10 cm伸びたときのばねの弾力による位置エネルギーを求めよ。 ただし、重力定数 gは 10 m/s2とする。 答：①　　　　　　　　　　　② ③ つり合いの位置から、さらに 10 cmおもりを手でひっぱった。このときのばねの弾力による 位置エネルギーはいくらか？ ④ 手をはなすと、おもりは単振動をするが、そのときの振幅はいくらか　　　　　　　　　答： ⑤ 下の表の空欄に値を書き込め。重力による位置エネルギーの基準点はつり合いの位置とした。 第8回 （5/31） 7ページ

8. ガリガリ・プロペラ（和玩具） 回転する不思議なものシリーズ第４弾 １０５円＠ダイソー（１００円ショップ） ←　商品に書いてあった 　　説明になっていない回転する原理 右側をこすると、右回転し、 左側をこすると左回転する。 どうやって回転するのでしょうか？ 考えてみよう。 第8回 （5/31） 8ページ

9. 　　　　　　学科学生番号： 氏名： 　 体重 50 kgのＡ君が、高さ 20 mのバンジージャンプ用の塔に登った。地上におけるＡ君の 位置エネルギーを 0とすると、塔の上にいるＡ君の位置エネルギーはどれだけか？ ただし、重力加速度は 10 m/s2とせよ。Ａ君の大きさは考慮せず、単なる質点と考えよ。 [求め方] 答： 20 m Ａ君が何もつけずに初速度0で飛び降りたとすると、 地面に着地（激突？）する直前の速度はいくらか？ 空気抵抗は無視せよ。 （ヒント：力学的エネルギー保存の法則を用いよ） 地面 答： Ａ君は長さ 10 mのゴムを足に結びつけて飛び降りた。地面に衝突しないためにはゴムの弾性定数 （ばね定数に対応するもの）は、最低いくら以上なければならないか。 ただし、Ａ君は初速度 0で飛び降りたとする。 答： この講義に関して何か意見や要望、感想等があったら書いて下さい。（特になければ白紙でもよい。） 第8回　5月31日