Christian Kaernbach

1. Eine kleine Einführungin echte und falsche Metriken, Normen,und ihre potentielle Anwendung in der Psychologie der Bedeutung und der Kreativität Christian Kaernbach

2. Euklidische Metrik – der Normalfall • Gegeben zwei Punkte [x1, y1] und [x2, y2] • Abstandsvektor [x2 – x1, y2 – y1] = [x, y] • Abstand = Länge des Abstandsvektors: d =  (x² + y²) • Beispiel: • Punkt 1: [-7,3 3,5] • Punkt 2: [-4,3 7,5] • Abstandsvektor [3 4] • Abstand:  (3² + 4²) =  25 = 5

3. Definition Metrik • Eine Metrik ist eine Funktion, die zwei Elementen eines Raumes einen „Abstand“ d  0 zuweist, so daß gilt: • d(p, p) = 0(identische Punkte haben den Abstand 0) • d(p, q) = 0  p = q (nichtidentische Punkte haben nicht Abstand 0) • d(p, q) = d(q, p)(Symmetrie) • d(p, q)  d(p, u) + d(u, q)(Dreiecksungleichung: Umwege lohnen nicht) • In einem Vektorraum mit ⇨ „Norm“ (Vektoren besitzen wohldefinierte Länge) gibt es immer eine Metrik: • d (p, q) = || p – q || (siehe Euklidische Metrik) • Metrik ohne Norm: z. B. diskrete Metrik • d (p, q) = 0 für p = q • d (p, q) = 1 für p  q q u p

4. Definition Norm • Eine Norm ist eine Funktion, die einem Element v eines Vektorraumes eine „Länge“ || v ||  0 zuweist, so daß gilt: • || v || = 0  v = 0 (Definitheit) nichtdefinit: Halbnorm • ||  ∙ v || = || ∙ || v || (Homogenität) Verallgemeinerung der Symmetrie • || v + w ||  || v || + || w || (Dreiecksungleichung) • Beispiel: Euklidische Norm • || v || =  ( vi²) • verallgemeinert: p-Norm • || v || = ( |vi|p) 1/p (p  1) • p = 1: Betragssummennorm, Manhattan-Metrik || v || =  |vi| • p = 2: Euklidische Norm/Metrik • p = : Maximumsnorm, || v || = max(|vi|)

5. legale p-Normen • Konturenplots • || v || = ( |vi|p) 1/p mit p  1 • Kontur = Menge aller Vektoren mit || v || = c • c = 1: „ Einheitskreis “ (grün) • c = 0: „Nullmenge“ (grau) p = 1 p = 2 p = 10 Betragssummennorm Manhattan-Metrik EuklidischeNorm/Metrik geht in RichtungMaximumsnorm

6. illegale p-Normen • Konturenplots • || v || = ( |vi|p) 1/p mit p < 1 • Kontur = Menge aller Vektoren mit || v || = c • c = 1: „ Einheitskreis “ (grün) • c = 0: „Nullmenge“ (grau) p = 0.5 p = -2 p = -10 geht in Richtung„Minimumsnorm“ • auch illegale p-Normen sind homogen • p < 1: „Norm“ verletzt Dreiecksungleichung • p < 0: „Norm“ verletzt Definitheit (|| v || = 0  v = 0) illegale Halbnorm

7. Schnitt • Mathematik • Psychologie

8. Semantische Räume Zocker Katze Hund Karte Fleisch Knochen • Aktivierungsausbreitung im Langzeitgedächtnis:Perlmutter & Anderson (unveröffentlicht) Hund - KZocker - K „Katze“ „Karte“ Knochen - FKnochen - F „Fleisch“ „Fleisch“ ... • RZ: 1.41 s RZ: 1.53 s120 ms Priming Effekt

9. Zocker Multidimensionale Skalierung Katze Hund Karte Fleisch Knochen Erregung positiv negativ • Semantische Ähnlichkeitsurteile führen zur Schätzung einerKonfiguration der Begriffe in einem mehrdimensionalen Raum • Beispiel: Konfiguration von 8 Emotionsbegriffen in einer Ebene • A Abscheu • D Billigung • G Erwartung • J Freude • M Furcht • P Traurigkeit • T Überraschung • W Wut • Vorausgesetzt wird: Es gibt einen mehrdimensionalen semantischen Raummit euklidischer Metrik. Gefragt wird höchstens: • Was bedeuten die Achsen? • Wie hoch-dimensional ist der semantische Raum?

10. Zocker Multidimensionale Skalierung Katze Hund Karte Fleisch Knochen • Abhängigkeit des Stresses (Abweichungsmaß) für verschiedene angenommene Dimensionszahlen von der tatsächlichen Dimensionalität • 20 items • 30 Wiederholungen Scharparameter: tatsächliche Dimensionalität,1.0 1.1 1.2 ... 4.8 4.9 5.0 Dimensionalität von 1.2 Streß angenommene Dimensionszahl

11. Assoziationen Fragestellungen: • Ist es sinnvoll, zwischen Begriffen (z. B. Knotenpunkten im Gedächtnismodel) „Abstände“ definieren zu wollen? • Sollten diese „Abstände“ die Dreiecksungleichung erfüllen? • Intuitives Gegenargument: Bei Assoziationen helfen „Eselsbrücken“,d. h. Umwege können Abkürzungen sein. • Was verbindet Wurst mit Gruppe? Der „Abstand“ von Assoziationen könnte durch den kürzesten „Partialabstand“ (Material, Funktion, ...) bestimmt sein („Minimumsnorm“). • Ist es mathematisch sinnvoll / für die Modellbildung hilfreich / für die Empirie fruchtbar, „Abstände“ zwischen Begriffen mitillegalen Normen zu beschreiben?

12. Gedächtnismodelle Zocker Katze Hund Karte Fleisch Knochen • Klassisches Netzwerkmodell • parallel distributed processing, PDP, neuronale Netzwerke • Ähnlichkeiten von Zuständenwerden über Korrelationendefiniert

13. Korrelationen Fragestellungen: • Sind die bei neuronalen Netzwerken zur Beschreibung der Ähnlichkeit zweier Zustände verwendeten Korrelationenbesser geeignet als „Abstände“ zur Beschreibung der Beziehungen von semantischen Begriffen? • Wie würde man Korrelationen in Abstände übersetzen? • Negative Korrelationen würden in positive übersetzt. • c (A, A) = 1  aus Korrelation 1 mach Abstand d1 = 0  Halbmetrik • Maximaler Abstand d0 wenn c (A, B) = 0 • Wenn die Dreiecksungleichung gelten soll, c(a...b,c...d) = 0,muß d0 endlich sein: d0  2∙d0,5c(a...b,a...d) = c(a...d,c...d) = 0,5 • Korrelationsmetrik entspricht a...dMetrik auf Halbkugeloberfläche. a...bc...d

14. Fazit Zocker Karte Katze Hund Knochen Fleisch • Eine an Korrelationen orientierteMetrik erhält die Dreiecksungleichung.Bei dieser Metrik gibt es einen maximalen Abstand. • Können wir mit der Vorstellung eines maximalen Abstands von Assoziationen leben? • Lokal kann sie durch eine euklidische Metrik angenähert werden. • MDS verwandter Begriffe wäre sinnvoll und möglich. • Eselsbrücken scheinen die Dreiecksungleichung zu verletzen. • Aufgabe: Experimentelle Überprüfung der Dreiecksungleichung... • ... aber wie?

15. Ausblick Zocker Karte Katze Hund Knochen Fleisch • Aufgabe: Experimentelle Überprüfung der Dreiecksungleichung... • ... aber wie? • Man kann nicht irgendein Assoziationsmaß A • Ratings • Priming • Koinzidenz in Texten [Google]) direkt auf die Dreiecksungleichung testen,weil A mit d nicht linear zusammenhängen muß • Sei d die Euklidische Metrik. Dann ist A = d² keine Metrik.Sei d (a, b) = d (b, c) = 1, d (a, c) = 2. Es gilt 1 + 1  2, aber nicht 1² + 1²  2². • Multidimensionale Skalierung läßt beliebigen Funktionszusammenhangzwischen A und d zu. Wenn man nur Monotonität fordert, wird A = f (d)rekonstruiert. Wenn die Dreiecksungleichung nicht gilt, sollte man das am Streß erkennen.

16. Probleme Zocker Karte Katze Hund Knochen Fleisch • Aufgabe: Experimentelle Überprüfung der Dreiecksungleichung... • Multidimensionale Skalierung läßt beliebigen Funktionszusammenhangzwischen A und d zu. Wenn man nur Monotonität fordert, wird A = f (d) rekonstruiert. Wenn die Dreiecksungleichung nicht gilt, sollte man das am Streß erkennen...??? • Monotone MDS birgt das Risiko der Entartung • Simulationen mit Daten, die aus illegalen p-Normen erzeugt werden • führen vermutlich zu erhöhten Streß-Werten. So weit so gut... • Einfluß von Rauschen (Datenfehlern) • verwechselbar mit Streß wegen Verletzung der Dreiecksungleichung? • Einfluß von gekrümmten Topologien • möglicherweise erkennbar an der Streßverteilung:sollte eher Streß bei hohen Abständen ergeben als bei niedrigen. • Sensitivität der MDS-Methodefür Verletzungen der zugrundeliegenden Annahmen

17. confused Danke