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Nella lezione precedente:. Abbiamo analizzato nel dettaglio il dipolo ripiegato Introdotto le schiere, a partire da due dipoli Introdotto il fattore di schiera ed il principio di moltiplicazione dei diagrammi di radiazione Analizzato le schiere lineari: in particolare

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
nella lezione precedente
Nella lezione precedente:
  • Abbiamo analizzato nel dettaglio il dipolo ripiegato
  • Introdotto le schiere, a partire da due dipoli
  • Introdotto il fattore di schiera ed il principio di moltiplicazione dei diagrammi di radiazione
  • Analizzato le schiere lineari: in particolare
    • abbiamo introdotto il concetto di polinomio associato
    • il concetto di spazio visibile
  • Considerato una sottoclasse importanti: le schiere uniformi (ovvero correnti con la stessa ampiezza)
    • verificato che in questa sottoclasse occorre uno sfasamento progressivo nullo per avere schiere broadside
    • sfasamento invece pari a kd per avere schiere endfire
nella lezione precedente1
Nella lezione precedente:
    • Valutato espressioni esatte ed approssimate per le rispettive direttività
  • Nella classe delle lineari equispaziate non uniformi abbiamo analizzato la schiera binomiale: niente lobi secondari ma lobo principale più largo
array parassiti
Array “Parassiti”
  • Una schiera in cui non tutti gli elementi sono alimentati si dice schiera parassita
  • Gli elementi non alimentati sono eccitati per effetto dell’accoppiamento con quelli alimentati e con gli altri parassiti
  • Gli elementi parassiti si distinguono in
    • direttori: nella direzione del lobo principale
    • riflettori: in direzione opposta
  • L’esempio più noto è la Yagi-Uda, usatissima in HF (3-30MHz), VHF (30-300MHz) ed UHF (300MHz-3 GHz)
  • Nella Yagi-Uda un solo elemento è alimentato
array parassiti yagi uda

f

2

1

Array “Parassiti”: Yagi-Uda
  • consideriamo inizialmente un array di 2 elementi: uno alimentato e l’altro no
  • Se V2 ed I2 sono tensioni e correnti al morsetto alimentato, possiamo pensare che il riflettore abbia i morsetti cortocircuitati (V1=0; I1) ed ottenere una relazione tra I1 ed I2 sfruttando la matrice di impedenza
array parassiti yagi uda1

f

1

2

Array “Parassiti”: Yagi-Uda
  • Il fattore di schiera risulta quindi
  • Ora: l’impedenza mutua può essere variata variando la distanza d, mentre Z11 variando la lunghezza del riflettore
  • Se l’elemento è più piccolo della lunghezza di risonanza, ha impedenza capacitiva, altrimenti induttiva
  • Nella pratica si trova:
    • un valore ottimale di d è circa 0.15l
    • il primo elemento, per fungere da riflettore deve essere induttivo (altrimenti funge da direttore)
array parassiti yagi uda2

Lobo principale

direttore

riflettore

Array “Parassiti”: Yagi-Uda
  • Se si inserisce sia un riflettore che un direttore, la direttività aumenta
  • Si trova che aggiungere ulteriori riflettori non migliora le prestazioni di molto
  • Aggiungere ulteriori direttori sì; di solito si hanno tra 6-12 direttori (anche se ne esistono con 30-40 elementi)
  • Man mano che si aggiungono direttori il loro effetto ovviamente diminuisce perché diminuisce l’entità delle correnti indotte
  • Il guadagno tipico è di 14 dB (con 8-10 elementi in totale)
  • Inconveniente: bassa resistenza di radiazione; di solito si usa come elemento alimentato un dipolo ripiegato
introduzione alla sintesi di array
Introduzione alla Sintesi di array
  • E’ possibile approssimare un desiderato fattore di schiera scegliendo opportunamente ampiezze e fasi delle correnti
  • Supponiamo di avere una schiera lineare simmetrica, con un numero dispari di elementi equispaziati
  • Sappiamo che il fattore di schiera può essere scritto per mezzo del polinomio associato
introduzione alla sintesi di array1
Introduzione alla Sintesi di array
  • Poiché z ha modulo unitario, anche le sue potenze hanno modulo unitario e se dividiamo per zm f(z), il suo modulo non cambia
  • Ora supponiamo che le correnti di alimentazione degli elementi simmetrici rispetto a quello centrale siano complesse coniugate, ovvero che elementi simmetrici siano alimentati con correnti di ugual ampiezza ma deviazione rispetto allo sfasamento progressivo opposta
introduzione alla sintesi di array2
Introduzione alla Sintesi di array
  • In tal caso potremo scrivere
  • E la somma di due termini simmetrici rispetto a quello centrale diventa
introduzione alla sintesi di array3
Introduzione alla Sintesi di array
  • Quindi
  • Ovvero: il fattore di schiera per una schiera a 2m+1 elementi equispaziati ed alimentati simmetricamente, si presenta nella forma di una serie di Fourier troncata ai primi 2m+1 termini, in cui ak sono i coefficienti dei termini coseno e -bk quelli dei termini seno
  • Quindi un qualsiasi fattore di schiera specificato come f(Y) può essere espanso in serie di Fourier con un numero infinito di termini, ed approssimato con la precisione voluta da una serie troncata come quella introdotta
introduzione alla sintesi di array4
Introduzione alla Sintesi di array
  • Allora per la sintesi basta espandere in serie di Fourier il diagramma desiderato ed ottenere le correnti di alimentazione ricordando le relazioni tra i coefficienti e le correnti
  • Notate che, per una spaziatura minore di mezza lunghezza d’onda, il range di visibilità non sarà l’intero angolo 2p essendo
introduzione alla sintesi di array5
Introduzione alla Sintesi di array
  • Quindi in tal caso, mentre f(f) è ovviamente specificato in tutto l’intervallo, f(Y) è solo specificato in una parte dell’intervallo necessario all’espansione, e può essere completata a piacimento
  • Ovviamente converrebbe completarla in modo che la serie di Fourier sia la più rapidamente convergente
  • Se la spaziatura è esattamente mezza lunghezza d’onda il problema non esiste, visto che entrambe le funzioni sono definite in [0,2p].
  • Per spaziature maggiori di mezza lunghezza d’onda, l’intervallo di definizione eccede [0,2p] e questo metodo non può più essere usato
schiere di dolph tchebyscheff
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
  • Abbiamo visto che un elevato grado di rastremazione (Tapering) della distribuzione di corrente dal centro verso i bordi della schiera produce bassi livelli dei lobi laterali a scapito del lobo principale, più largo
  • Talvolta può essere richiesto di avere contemporaneamente un lobo principale più stretto e dei lobi laterali più bassi
  • Si capisce come il miglior compromesso si ha quando si hanno quanti più lobi laterali possibili, e con lo stesso livello
  • Infatti, per una data larghezza del lobo principale, il primo secondario può essere abbassato spostando il secondo nullo più vicino al primo
schiere di dolph tchebyscheff1
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
  • Questo comporta un incremento del livello del secondo lobo laterale, ma è possibile finché il livello di questo non raggiunge il livello del primo lobo laterale
  • Quindi il diagramma ottimo si ottiene quando tutti i lobi laterali hanno lo stesso livello
  • Polinomi che ben si adattano a descrivere una simile situazione sono i polinomi di Tchebyscheff definiti come
schiere di dolph tchebyscheff2
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
  • Si vede che
  • ed i polinomi di ordine superiore si possono ottenere con la formula di ricorrenza
  • Inoltre si ottiene che i polinomi di ordine pari sono pari e quelli di ordine dispari sono dispari
  • che passano tutti per il punto (1,1)
  • Tutti gli zeri si hanno nel range -1<x<1
  • dove tutti oscillano tra -1 ed 1
schiere di dolph tchebyscheff3
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
  • quindi se x varia da un valore c (<1 in modulo) ad un valore x0 (>1 in modulo), il polinomio di Tchebyscheff descrive una serie di lobi laterali uguali (altezza 1) ed un lobo principale (altezza>1); questa proprietà li rende adeguati al nostro compito
  • Immaginiamo di avere una schiera a 2m elementi
  • dividiamo per
  • ed il modulo ovviamente non cambia quindi
schiere di dolph tchebyscheff4
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
  • Se abbiamo elementi simmetrici rispetto a quello centrale
  • avremo
  • Analogamente per 2m+1 elementi otterremo
  • In pratica si dimostra che il fattore di schiera in queste condizioni è somma di termini cos(kY/2) con k fino a N-1
  • Ma cos(kY/2) è un polinomio di grado k in cos(Y/2) (per dimostrarlo si può partire dalla identità di Eulero ed eseguire le potenze)
schiere di dolph tchebyscheff5
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
  • Quindi: il fattore di schiera di una schiera lineare con N elementi equispaziati ed alimenttati con correnti con sfasamento progressivo ed ampiezze simmetriche rispetto all’elemento centrale è un polinomio di grando N-1 nella variabile reale cos(Y/2)
  • Si può quindi imporre che tale polinomio coincida con il polinomio di T. di ordine N-1
  • Chiaramente non possiamo semplicemente porre
  • o x varierebbe solo tra -1 ed 1, dove i polinomi di T. variano tra -1 ed 1 e non si avrebbero lobi principali…..
schiere di dolph tchebyscheff6
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
  • Possiamo invece porre
  • Allora il lobo principale, corrispondente al massimo, sarà semplicemente
  • Posto quindi N-1=m avremo
  • Se poi definiamo anche
schiere di dolph tchebyscheff7
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
  • avremo
  • resta da trovare la distribuzione di correnti della schiera. Il modo migliore è trovare gli zeri
  • del polinomio associato, legarli agli zeri xk del polinomio TN-1(x) mediante la relazione
  • e trovare le ampiezze delle correnti, recuperando il polinomio come
schiere di dolph tchebyscheff8
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
  • Per trovare i nulli, poniamo m=N-1 e consideriamo il polinomio di T di grado m, e poniamo
  • così che
  • I nulli sono per
  • ovvero
  • e, ovviamente
schiere di dolph tchebyscheff9
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
  • Gli zeri del polinomio di T sono relazionati a quelli del polinomio caratteristico, come detto da
  • ovvero
schiere di dolph tchebyscheff10
Schiere di Dolph-Tchebyscheff
  • Si pone m=N-1
  • E’ dato il rapporto b tra il lobo principale ed il lobo laterale, ed il numero di elementi da usare N
  • Si calcolano
  • Si determinano i nulli del polinomio di T di grado m
  • Si relazionano con i nulli del polinomio caratteristico
  • Si calcola il polinomio caratteristico e quindi l’ampiezza delle correnti
antenne ad apertura sorgente di huygens

z

Ex

Hy

y

dx

dy

x

Antenne ad apertura: sorgente di Huygens
  • Elemento bidimensionale di corrente
  • In pratica una dimensione in più rispetto al dipolo Hertziano che era un elementino monodimensionale
  • Consideriamo tuttavia sia un elementino di corrente elettrica che magnetica: in pratica sono correnti equivalenti corrispondenti ad elemento di onda piana che si propaga in z
  • Sfruttando il teorema di equivalenza, possiamo sostituire i campi elettrici e magnetici con sorgenti magnetiche ed elettriche che irradiano su una superficie infinita (z=0)
antenne ad apertura sorgente di huygens1
Antenne ad apertura: sorgente di Huygens
  • Per calcolare i campi useremo sia i potenziali elettrici che magnetici

Approssimazione introdotta nella 3a lezione

  • per una sorgente infinitesima (r’->0)
  • Il duale per la sorgente magnetica
antenne ad apertura sorgente di huygens2
Antenne ad apertura: sorgente di Huygens
  • dai potenziali elettrici il campo lontano è

(per ricavarci le relazioni da coordinate rettangolari a sferiche possiamo usare la matrice M che abbiamo introdotto)

  • per i potenziali magnetici possiamo ricavare le espressioni per dualità
antenne ad apertura sorgente di huygens3
Antenne ad apertura: sorgente di Huygens
  • Quindi sovrapponendo i contributi
antenne ad apertura sorgente di huygens4

z

x

cardioide

Antenne ad apertura: sorgente di Huygens
  • Il diagramma di radiazione risulta
apertura rettangolare su piano metallico infinito

=

ˆ

n

z

ˆ

o

=

-

´

ˆ

M

n

E

=

=

o

=

s

y

E

M

2

M

M

y

s

s

s

Principio

di

Sovrapposizione

Principio

equivalenza

degli effetti

dell'immagine

Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Applichiamo il principio di equivalenza+quello delle immagini+sovrapposizione degli effetti
apertura rettangolare su piano metallico infinito1
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Ma qual è il campo sull’apertura?
  • Ha la distribuzione di campo del modo fondamentale della guida d’onda (TE10)
  • In una guida d’onda i modi possibili si ottengono risolvendo per separazione di variabili l’equazione d’onda ed imponendo le condizioni al contorno (annullamento campi tangenziali alla guida)
  • In pratica si ottiene una (doppia) infinità di soluzioni di tipo seno/coseno (caratterizzati da indici n,m), ciascuno avente costante di propagazione reale solo per frequenze maggiori di una frequenza propria: frequenza di taglio
  • Il modo con frequenza di taglio più in basso (modo fondamentale) è il TE di indici 1,0, che ha come campi non nulli solo Ey, Hx ed Hz
apertura rettangolare su piano metallico infinito2

y

b

2

M

eq

x

a

a

-

2

2

-

b

2

Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Quindi la sorgente magnetica è
apertura rettangolare su piano metallico infinito3
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • ed il potenziale magnetico vale, per dualità rispetto all’espressione del il potenziale “lontano” ricavato alla lezione 3
  • ora, nel nostro caso in realtà r’ va integrato solo sulla superficie z=0 cioè
apertura rettangolare su piano metallico infinito5
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Inserendo la corrente magnetica si ha
apertura rettangolare su piano metallico infinito6
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • noto il potenziale, abbiamo i campi lontani
apertura rettangolare su piano metallico infinito7
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Analizziamo le caratteristiche di tale campo piano per piano
  • Prima il piano E (YZ)
  • Analizziamo il lobo principale: il primo nullo si ha quando si annulla il seno
apertura rettangolare su piano metallico infinito8
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Quindi
  • nel caso di b molto maggiore di l l’angolo è approssimabile direttamente con il rapporto a destra
  • Chiaramente la larghezza del lobo in tale piano dipende dall’altezza della fessura b
  • vediamo il primo lobo secondario, analizzando i massimi; si tratta di una funzione tipo sinc
apertura rettangolare su piano metallico infinito9
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Calcoliamo quindi i massimi del numeratore
  • Notate che abbiamo preso il primo massimo DOPO il primo zero, visto che siamo interessati al lobo secondario
  • Possiamo valutare il campo relativo a tale max e confrontarlo con quello del lobo principale. Per tale valore avremo
apertura rettangolare su piano metallico infinito10
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • e calcolando il rapporto per valori grandi di b si ha
  • notate che vale quanto il rapporto trovato per schiere uniformi di grandi dimensioni
  • notate anche che la distribuzione di campo in questo piano dipende dalla distribuzione della corrente equivalente in y, dove essa risulta uniforme
apertura rettangolare su piano metallico infinito11
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Prima il piano H (XZ)
  • Analizziamo il lobo principale: il primo nullo si ha quando si annulla il coseno
apertura rettangolare su piano metallico infinito12
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Quindi
  • nel caso di a molto maggiore di l l’angolo è approssimabile direttamente con il rapporto a destra
  • Chiaramente la larghezza del lobo in tale piano dipende dalla larghezza della fessura a
  • vediamo il primo lobo secondario, analizzando i massimi
apertura rettangolare su piano metallico infinito13

Se a>>l

Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Calcoliamo quindi i massimi del numeratore
  • Possiamo valutare il campo relativo a tale max e confrontarlo con quello del lobo principale. Per tale valore avremo
apertura rettangolare su piano metallico infinito14
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Invece il valore del lobo principale è (J=0)
  • ed il rapporto risulta
  • notate che in questo piano la distribuzione di campo dipende dalla distribuzione della corrente magnetica in x, che risulta sinusoidale e non uniforme; quindi più “rastremata”, dolce; come ci aspettavamo i lobi secondari sono più bassi
apertura rettangolare su piano metallico infinito15
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Diagramma di radiazione per un’apertura con a=3l e b =2l
apertura rettangolare su piano metallico infinito16
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Al variare delle dimensioni sul piano E:
  • All’aumentare della dimensione b, la larghezza del lobo principale diminuisce
  • Ma il rapporto SSL non diviene migliore di 13 dB, anche aumentando la larghezza b dell’apertura
  • Al variare delle dimensioni sul piano H:
  • Simile comportamento con a, anche se con SSL migliori
apertura rettangolare su piano metallico infinito17
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Direttività
  • La massima densità di potenza si ha per J=0 dove si ha
  • Ora, essendo la direttività per definizione
  • Ci occorre ancora la potenza irradiata totale
apertura rettangolare su piano metallico infinito18
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • La potenza totale è calcolata come quella che transita attraverso l’apertura
  • Se si tratta effettivamente di una guida d’onda rettangolare, e se trascuriamo il coefficiente di riflessione di tale guida all’apertura, campo elettrico e campo magnetico trasverso (quindi nel nostro caso Ey ed Hx) sono legati da una impedenza caratteristica modale
  • dove
apertura rettangolare su piano metallico infinito19
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Se l’apertura è molto grande avverrà che
  • In tali condizioni, sull’apertura
  • Per cui
apertura rettangolare su piano metallico infinito20
Apertura rettangolare su piano metallico infinito
  • Per l’area efficace, useremo l’identità
  • Dove abbiamo introdotto un nuovo parametro di efficienza (tra 0 ed 1) che nel nostro caso è circa 0.81 e sarebbe stato unitario con correnti uniformi