1 / 34

Elementarne geometrijske metode

Strukture podataka i algoritmi. Elementarne geometrijske metode. (Elementary Geometric Methods). Branimir Sigl. Općenito o geometrijskim algoritmima. rješavaju mnoge probleme iz područja matematike i statistike korišteni za razne druge tipove problema

andres
Download Presentation

Elementarne geometrijske metode

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Strukture podataka i algoritmi Elementarne geometrijske metode (Elementary Geometric Methods) Branimir Sigl

  2. Općenito o geometrijskim algoritmima • rješavaju mnoge probleme iz područja matematike i statistike • korišteni za razne druge tipove problema • npr. “gerrymandering” - podjela okruga na dijelove sa jednakom populacijom • problemi se lako se vizualiziraju (nedostatak?) • neki problemi su naizgled laki, ali imaju komplicirane algoritme za rješavanje • Presijecanje, zatvorena petlja, odnos točke i poligona

  3. Strukture podataka • točka, linija, poligon  class point, class line, class drawing vector <point> points • Polygon ==> set of points • Polygon ==> set of lines • Visual Basic / C++ communication DLL struct vbPoint, vbLine

  4. Strukture podataka class point { public: long x, y; point() : x(-1), y(-1) { } point(vbPoint p): x(p.x), y(p.y) { } point(const point &p): x(p.x), y(p.y) { } point(long coordX, long coordY): x(coordX), y(coordY) { } friendostream& operator <<(ostream& o, const point& p) {return o << "(" << p.x << ", " << p.y << ")"; } operator vbPoint(); point operator =(const point &p); bool operator ==(const point &p) const; bool operator <(const point &p) const; };

  5. Međusobno presijecanje linija • osnovni problem - presjek linija • METODA 1: • pronaći točku presijecanja • provjeriti je li točka između krajnjih točaka linija

  6. Međusobno presijecanje linija (ccw) • METODA 2: • ccw - counterclockwise long intersect::ccw (point p0, point p1, point p2) { p2 p1 p2’ p0 • ako je nagib druge linije veći  suprotno kazaljci na satu (ccw) • ako je nagib druge linije manji  kao kazaljka na satu (cw)

  7. Međusobno presijecanje linija (ccw) • vrijednosti funkcije ccw: • true suprotno kazaljci (ccw) • false u smjeru kazaljke (cw) • problem: linije mogu biti kolinearne • ako su točke kolinearne, onda ne možemo definirati cw/ccw • 1 1 između 0 i 2 • -1 0 između 1 i 2 • 0 2 između 0 i 1

  8. Međusobno presijecanje linija (ccw) long intersect::ccw (point p0, point p1, point p2) { long dx1, dy1, dx2, dy2; dx1 = p1.x - p0.x; dy1 = p1.y - p0.y; dx2 = p2.x - p0.x; dy2 = p2.y - p0.y; if (dx1 * dy2 > dy1 * dx2) return 1; if (dx1 * dy2 < dy1 * dx2) return -1; if ((dx1 * dx2 < 0) || (dy1 * dy2 < 0)) return -1; // 0 if ((dx1 * dx1 + dy1 * dy1) < (dx2 * dx2 + dy2 * dy2)) // 1return 1; return 0; // 2 }

  9. Međusobno presijecanje linija (ccw) • Numeričke komplikacije: • Umnošci: long dx1, dx2, dy1, dy2; dx1 * dy2; dy1 * dx2;dx1 * dx2;dy1 * dy2 • umnožak dvije longvarijable je long varijabla - PROBLEM !! • ako je jedan od faktora LONG_MAX tada umnožak nije dobar • problem se pojavljuje kod algoritma ”Odnos točke i poligona” • potrebno je odrediti dovoljno velik broj ?! npr. SHRT_MAX koji ne stvara preljev kod umnoška dva long broja

  10. B C A D Međusobno presijecanje linija (intersect) • algoritam INTERSECT: • ako su točke na suprotnim stranama linije, tada se linije sijeku

  11. B C A D Međusobno presijecanje linija (intersect) • algoritam INTERSECT: • ako su točke na suprotnim stranama linije, tada se linije sijeku

  12. Međusobno presijecanje linija Sedgewick: bool intersect::operator () (line l1, line l2) { return ( ( ccw(l1.p1, l1.p2, l2.p1) * ccw(l1.p1, l1.p2, l2.p2) <= 0 ) && ( ccw(l2.p1, l2.p2, l1.p1) * ccw(l2.p1, l2.p2, l1.p2) <= 0 )) ;

  13. Međusobno presijecanje linija • algoritam nije u potpunosti točan • kada je točka T2 kolinearna sa točkama T0 i T1 rezultat funckije ccw = 0 • Potrebne promjene Sedgewick-ovog algoritma • Dovoljno je da jedna od četiri kombinacije bude jednaka nuli, tada je sigurno da se linije sijeku

  14. Međusobno presijecanje linija (promjene) Nakon izmjena: bool intersect::operator () (line l1, line l2) { c11 = ccw(l1.p1, l1.p2, l2.p1); c12 = ccw(l1.p1, l1.p2, l2.p2); c21 = ccw(l2.p1, l2.p2, l1.p1); c22 = ccw(l2.p1, l2.p2, l1.p2); return (( c11 * c12 < 0 ) && ( c21 * c22 < 0 )) || c11 * c12 * c21 * c22 == 0 ;

  15. Jednostavna zatvorena petlja • PROBLEM: • pronaći put kroz sve točke, bez presijecanja i vratiti se u početnu točku (Simple Closed Path) • točke = gradovi, kuće? • Travelling Salesman Problem - pronalazak najboljeg puta - puno kompliciraniji • rješenje našeg problema: • pronaći “SIDRO” • izračunati kuteve prema ostalim točkama • sortirati niz kuteva

  16. Jednostavna zatvorena petlja sidro (anchor) ?

  17. Jednostavna zatvorena petlja • kut koji je potreban za algoritam : tan-1 dy/dx • korištenje funkcije tan-1 nije isplativo: • dx != 0 • ispitivanje kvadranta • potrebno je pronaći sličnu funkciju • dy / (dx + dy) uz mala poboljšanja • u nekim programskim okruženjima bolje je koristiti trigonometrijske funkcije

  18. Jednostavna zatvorena petlja typedefmultimap <float, point, less<float> > MAPPOINT; typedef MAPPOINT::value_type PATHPAIR; PATHPAIR theta::operator ()( point p2) { long dx, dy, ax, ay; float t; dx = p2.x - p1.x; dy = p2.y - p1.y; ax = abs(dx); ay = abs(dy); t = (ax + ay == 0) ? 0. : (float) dy / (ax + ay); if (dx < 0) t = 2. - t; else if (dy < 0) t = 4. + t; return PATHPAIR(t * 90., p2); }

  19. Jednostavna zatvorena petlja typedefset<point, less<point> > SETPOINT; vector<vbPoint> drawing::calcPath() { SETPOINT tmp; MAPPOINT path; vector<vbPoint> r ; . . . . theta tht(*tmp.begin()); iS = tmp.begin(); while(iS != tmp.end()) { path.insert( tht(*iS) ); iS++; } . . . . return r; }

  20. Jednostavna zatvorena petlja 0° sidro (anchor)

  21. Odnos točke i poligona • PROBLEM: • odrediti je li zadana točka izvan ili unutar poligona? • RJEŠENJE: • povući dovoljno dugačku liniju iz točke u bilo kojem pravcu • prebrojati linije poligona s kojima se sječe • PARAN BROJ sjecišta - točka IZVAN POLIGONA • NEPARAN BROJ sjecišta - točka UNUTAR POLIGONA • izgleda jednostavno? nije baš . . . . .

  22. Odnos točke i poligona • Sjecišta na rubovima • Paralelne linije

  23. Odnos točke i poligona • algoritam: • putujemo po točkama poligona • inkrementiramo brojač svaki put kada testna linija presječe liniju poligona • ako je broj presijecanja paran, točka je IZVAN • ako je broj presijecanja neparan, točka je UNUTAR • ignoriramo točke koje padaju na testnu liniju

  24. Odnos točke i poligona long drawing::inside(point t, vbPoint ap[ARRAYSIZE]) { line lp, lt(t, t); lt.p2.x = MAX_SHRT; // problem u ccw algoritmu . . . . tmp.insert(tmp.begin(), *tmp.rbegin()); // p[0] = p[N] tmp.push_back(tmp[1]); // p[N+1] = p[1] for(i = 1; i <= N; i++) { lp.p1 = tmp[i]; lp.p2 = tmp[i]; if (!intersection(lp, lt);) { lp.p2 = tmp[j]; j = i; if (intersection(lp, lt)) count++; } } return count & 1;

  25. Odnos točke i poligona ( problem 1 ) • Algoritam nije u potpunosti točan • ako točka leži na bridu, da li je unutar / izvan poligona ? • problem sa ignoriranjem točke na testnoj liniji • problem zbog nekontroliranja nulte (n-te) točke • Problem 1: • ako se točka nalazi na bridu poligona, točka je UNUTAR D C T1 Prema Sedgewickovom algoritmu, točka T1 se nalazi unutar poligona, a točka T2 se ne nalazi T2 B A

  26. Odnos točke i poligona ( problem 2 ) • Problem 2: • algoritam pamti vrijednost j koja se ne nalazi na testnoj liniji i slijedeću točku i koja nije na testnoj liniji • Ako se točke p[i] i p[j] nalaze sa suprotnih strana testne linije => counter se povećava za jedan D C = p[j] Prema Sedgewickovom algoritmu, točka T se ne bi nalazila unutar poligona B T A = p[i]

  27. Odnos točke i poligona ( problem 3 ) • Problem 3: • algoritam počinje provjeru sa segmentom p[0]p[1], ali ne provjerava da li se točka p[0] nalazi na testnoj liniji • Točku p[N] algoritam ne tretira jer se nalazi na testnom segmentu ==> potrebno je smanjiti counter za jedan T D = p[0] = p[N] C Prema Sedgewickovom algoritmu, točka T se ne bi nalazila unutar poligona A = p[1]

  28. Odnos točke i poligona ( promjena 1 ) . . . . for(i = 1; i <= N; i++) { lp.p1 = tmp[i]; /*NEW*/ lp.p2 = tmp[i-1]; /*NEW*/ b = intersect(lv, lp); /*NEW*/ if (b) /*NEW*/ return true; lp.p2 = tmp[i]; b = intersect(lp, lt); if (!b) { . . . .

  29. Odnos točke i poligona ( promjena 2 ) . . . . b = intersect(lp, lt); if(b) { count++; /*NEW*/ } else { /*NEW*/ if ( (i!=j+1) && /*NEW*/ (intersect(lt.p1, lt.p2, tmp[j]) * /*NEW*/ intersect(lt.p1, lt.p2, tmp[i]) < 1) ) /*NEW*/ count++; /*NEW*/ } j = i; . . . .

  30. Odnos točke i poligona ( promjena 3 ) . . . . /*NEW*/ if( (j!=N) && /*NEW*/ (intersect(lt.p1, lt.p2, tmp[j]) * /*NEW*/ intersect(lt.p1, lt.p2, tmp[1]) == 1) ) /*NEW*/ count--; return count & 1; }

  31. Odnos točke i poligona sidro(anchor)

  32. Zaključak • podcjenjivanje složenosti geometrijskih algoritama • koriste se u razne druge svrhe • mnogi geometrijski algoritmi ovdje nisu niti spomenuti • jednostavan alat, uvod u složenije algoritme • C++ je dobar za ilustraciju danih algoritama,strukture podataka lako se prikazuju u C++ • tekstovi o C++ često se koriste geometrijskim algoritmima u pokazivanju svojih mogućnosti

  33. LINKOVI: http://condor.informatik.uni-oldenburg.de/ ~stueker/graphic/ http://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/ informatique/Jean-Jacques.Levy/00/pc10/a10.html http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/ spring02/cs226/lectures/geo.4up.pdf http://www.cee.hw.ac.uk/~alison/ds98/node111.html http://m3.polymtl.ca/ele6813/notes/chap7/chap7.html

More Related