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La forma del Universo. Un poco de Geometría y Topología 25 octubre 2011 Vicente Muñoz. ¿Cómo es nuestro u niverso?. Mirando a pequeña escala, parece ser rectilíneo con tres direcciones. Pero, ¿es sólo un efecto óptico del pequeño trozo de espacio al que podemos mirar?.

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la forma del universo

La forma del Universo

Un poco de Geometría y Topología

25 octubre 2011

Vicente Muñoz

c mo es nuestro u niverso
¿Cómo es nuestro universo?

Mirando a pequeña escala, parece ser rectilíneo con tres direcciones. Pero,¿es sóloun efecto óptico del pequeño trozo de espacio al que podemos mirar?

c mo era y c mo es la tierra

¿Cómo era y cómo es la Tierra?

Pietro Vesconte, mapa de 1321

Foto actual de la Tierra

el mapa de nuestro u niverso
El mapa de nuestro universo

?

Representación local del universo (NASA)

Lado = 500 millones años-luz

Forma real de nuestro universo

la forma del universo1
La forma del Universo
  • ¿Cómo representar un espacio de dimensión tres?
  • ¿Cuántas posibles formas de espacios de tres dimensiones hay?
  • ¿Qué propiedades de nuestro Universo nos pueden decir qué forma tiene?
planito cree vivir en una esfera
Planito cree vivir en una esfera

Segundo viaje

Primer viaje

otras posibles formas
Otras posibles formas

Superficie de género g = 3

superficies compactas sin borde orientables
Superficies(compactas, sin borde, orientables)
  • Las superficies se clasifican de acuerdo a su género g.
  • g = 0. Esfera.
  • g = 1. Toro
  • (una esfera con un asa).
  • g  2. Esfera con g asas.
c mo averigua planito el g nero
¿Cómo averigua Planito el género?

Característica de Euler-Poincaré

χ = vértices – aristas + caras

Se tiene χ = 2 – 2g , de donde se obtiene g

geometr a estudia las propiedades m tricas de los objetos longitudes ngulos
Geometría: estudia las propiedades métricas de los objetos: longitudes, ángulos, …
geometr as isotr picas
Geometrías isotrópicas
  • Las propiedades métricas no dependen del punto de la superficie. Planito ve su universo igual en cualquier lugar.
  • Las propiedades métricas no dependen de la dirección. Planito ve su universo igual en cualquier dirección.

La curvatura κ es constante.

geometr as el pticas 0
Geometrías Elípticas. κ > 0

¿Qué ve Planito?

β

γ

α

α + β + γ > 180º

La esfera, g = 0

geometr as eucl deas 0 el plano eucl deo
Geometrías Euclídeas. κ = 0El plano Euclídeo

β

α

γ

α + β + γ=180º

¡Pero no es compacta!

qu superficies tienen geometr as hiperb licas
¿Qué superficies tienen geometrías hiperbólicas?

Todas las superficies con g  2.

90º

90º

4 x

Hexágono hiperbólico

90º

90º

90º

90º

tipos de geometr as en superficies
Tipos de geometrías en superficies
  • Geometrías elípticas. Esfera. g = 0.
  • Geometrías euclídeas. Toro. g = 1.
  • Geometrías hiperbólicas. g  2.
el universo de dimensi n tres
El Universo (de dimensión tres)
  • El Universo apareció hace 13.700 millones de años con una gran explosión (big-bang).
  • Tiene al menos 94.000 millones de años-luz de diámetro.
  • El Universo está en expansión. El ritmo de expansión lo mide la constante de Hubble H
  • Es razonable esperar que sea:
  • Isotrópico. ρ = densidad de materia = constante
  • De volumen finito (compacto)
topolog a de espacios de dimensi n 3
Topología de espacios de dimensión 3
  • Clasificación topológica de los espacios de dimensión 3: problema no resuelto.
  • Conjetura de Poincaré:

Si en un espacio de dimensión 3 (compacto) todos sus lazos se pueden recoger, entonces es la esfera 3-dimensional.

  • Resuelta en 2004 por G. Perelman.

Poincaré(1854-1912)

asas tridimensionales star gate
Asas tridimensionales(Star-gate)

Agujero negro

Agujero blanco

geometr as isotr picas1
Geometrías isotrópicas
  • Geometrías Elípticas. κ > 0
  • Geometrías Euclídeas.κ = 0
  • Geometrías Hiperbólicas. κ < 0
  • No todo espacio de dimensión 3 admite una geometría isotrópica.
  • No se conocen todos los espacios de dimensión 3 con geometrías isotrópicas.
  • La mayoría de los que tienen geometría isotrópica son hiperbólicos.
el proyecto wmap wilkinson microwave anisotropy probe 2001 2010
El proyecto WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), 2001-2010
  • Se buscan imágenes repetidas en el cosmos.
  • Se utiliza la radiación CMB (CosmicMicrowaveBackground), que es la luz de hace 13.700 millones de años.
resultados por el momento
Resultados (por el momento))
  • El 23% es materia oscura, el 72% es energía oscura y solo el 5% son átomos.
  • El universo se encuentra en expansión acelerada.
  • A pesar de ello, la curvatura es muy posiblemente κ = 0.
  • No se han encontrado imágenes repetidas en el cosmos, con lo que no se ha podido averiguar su forma

(aún!).

referencias
Referencias
  • Abbott, E. A., Planilandia. Una novela de muchas dimensiones, J. de Olañeta, 1999.
  • Muñoz, V., Deformando las formas. La topología, RBA, 2011.
  • Weeks, J.R., The shape of space, CRC Press, 2001.
  • http://map.gsfc.nasa.gov/