280 likes | 608 Views
KONSEP DASAR PROBABILITAS. Pertemuan 4. Pengantar :. Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti , terutama kejadian yang akan datang.
E N D
KONSEP DASAR PROBABILITAS Pertemuan 4
Pengantar : • Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang. • Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. • Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.
Konsepdandefinisidasar • Eksperimen/percobaan probabilitas adalah segala kegiatan dimana suatu hasil (outcome) diperoleh. • Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S. Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S). • Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel.
Contoh : • Dilakukaneksperimen, yaitudiperiksa 3 buahsikringsatupersatusecaraberurutandanmencatatkondisisikringtersebutdenganmemberinotasi B untuksikring yang baikdan R untuksikring yang rusak. • Makaruangsampelpadaeksperimenprobabilitaspemeriksaantersebutadalah S = {BBB, BBR, BRB, RBB, BRR, RBR, RRB, RRR}. Jumlah outcome dalamruangsampel S adalah n(S) = 23 = 8. • Jika A menyatakanperistiwadiperolehsatusikring yang rusak, maka A = {BBR, BRB, RBB}. Jumlah outcome dalamruangperistiwaadalah n(A) = 3.
Definisiprobabilitas • Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :
Sifat-sifatprobabilitaskejadian A : • 0 P(A) 1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1 • P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi. • P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.
Contoh (1): • Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka? Jawab : • Misal M = Muka , B = Belakang • Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB} • Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah A = {MM, MB, BM} Jadi, • Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka adalah
Contoh (2): • Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat. Jawab : • Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat (a). Probabilitas mendapatkan mint = (b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =
Probabilitaskejadianmajemuk (1): • Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya.
Probabilitaskejadianmajemuk (2): • Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A, B, dan C adalah :
Contoh : • Kemungkinanbahwa Ari lulus ujianmatematikaadalah 2/3 dankemungkinania lulus bahasainggrisadalah 4/9. Bilaprobabilitas lulus keduanyaadalah 1/4, berapakahprobabilitas Ari dapat paling tidak lulus salahsatudarikeduapelajarantersebut? Jawab : • Bila M adalahkejadian lulus matematika, dan B adalahkejadian lulus bahasainggris, maka : Probabilitas Ari lulus salahsatupelajarantersebutadalah : P(M B) = P(M) + P(B) – P(M B) = 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36
Duakejadiansalinglepas (disjoint events atau mutually exclusive): • Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka berlaku : • Bila A, B, dan C tigakejadiansalinglepas, makaberlaku :
Contoh : • Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan? Jawab : • Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)} • Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6), (6,5)} • Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah : P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 6/36 + 2/36 – 0 = 8/36
Duakejadiansalingkomplementer: • Bila A dan A’ dua kejadian dalam S yang saling komplementer, maka berlaku :
Contoh: • Padapelemparanduadadu, jika A adalahkejadianmunculnyamukadadusama, hitunglahprobabilitasmunculnyamukaduadadu yang tidaksama. Jawab : • Misal A = kejadianmunculnyamukaduadadu yang sama = {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} maka P(A) = 6/36 • Sehingga, Probabilitasmunculnyamukaduadadu yang tidaksama= P(A’) adalah: P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 6/36 = 30/36
Duakejadiansalingbebas (independent): • Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling mempengaruhi. • Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A. • Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :
Contoh: • Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas? Jawab : • Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)} • Misalkan, A = kejadian muncul muka dari uang logam 1 P(A) = 2/4 = ½ = {(m,m), (m,b)} B = kejadian muncul muka dari uang logam 2 P(B) = 2/4 = ½ = {(m,m), (b,m)} A B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2 = {(m,m)} P(A B) = ¼ • Bila A dan B saling bebas berlaku : P(A B) = P(A). P(B) ¼ = ½ . ½ ¼ = ¼ Jadi, A dan B saling bebas.
Probabilitasbersyarat (conditional probability): • Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi. • Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca “probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi”
Contoh (1): • Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang kedua sekering itu rusak? • Jawab : Misalkan A = kejadian sekering pertama rusak B = kejadian sekering kedua rusak Maka peluang kedua sekering itu rusak = P(A B) P(A B) = P(A). P(BA) = 5/20 . 4/19 = 1/19
Contoh (2): • Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery. • Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery? • Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk? • Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria? • Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita?
Jawab: Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk. • Jadi, • Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah • Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah • Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah • Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah
S B A1 A2 A3 AturanBayes : • Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S. • B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S.
probabilitaskejadian B adalah : P(B) = P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3) = disebut Hukum Probabilitas Total
Secara umum, bila A1, A2, A3, …, An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat AiB dirumuskan sebagai berikut : disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes).
Contoh: • Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu.. • Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah? • Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?
Jawab • P(bola yang terambil berwarna merah) = • P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =