Robustní vyrovnání

1. Robustní vyrovnání Věra Pavlíčková, únor 2014

2. Stručně o vyrovnání • Při měření sítí jsou změřeny nadbytečné veličiny • Abychom dosáhli jediného výsledku, měření opravíme tak, aby opravy vyhovovaly stanovené podmínce • Nejčastěji se používá vyrovnání metodou nejmenších čtverců

3. Metoda nejmenších čtverců • Opravy vyhovují podmínce Σpv2 je minimální • Výhody • Jednoduchý výpočet • Nevytváří příliš velké opravy ->výsledky se příliš neliší od měřených hodnot • Metoda je všeobecně známá, používaná a tedy prověřená • Nevýhody • Správné fungování MNČ předpokládá normální rozdělení chyb • I malé odchylky od normálního rozdělení pravděpodobnosti mají značný vliv na kvalitu výsledku->jen několik hrubých chyb může znehodnotit jinak kvalitní měření.

4. Normální rozdělení • Náhodné chyby odpovídají normálnímu rozdělení • Oscilují kolem nulové hodnoty • Pravděpodobnost výskytu kladné a záporné chyby určité velikosti je stejná

5. Robustní statistické metody • Oproti klasickým metodám si zachovávají funkčnost v určitém okolí normálního rozdělení • neselžou při „mírném“ nesplnění požadavku na normální rozdělení chyb, tj. pokud jsou správná měření kontaminována odlehlými měřeními • Čím větší odolnost vůči odlehlým měřením, tím robustnější metody

6. Robustní vyrovnání • Využívá se pro vyhledání hrubých chyb a jejich vyloučení z výpočtu • Samotné vyrovnání je následně provedeno metodou nejmenších čtverců • Malé množství chybných měření lze odhalit testy odlehlých měření, v případě vyšší kontaminace je vhodné (nutné) použít pro jejich identifikaci robustní vyrovnání

7. rozdělení Nejrozšířenější třídy odhadů robustní statistiky jsou: • M-odhady • jsou založeny na metodě maximální věrohodnosti (maximum-likelihood) • L-odhady • jsou založeny na výpočtu lineárních kombinací pořadových statistik a • R-odhady • jsou založeny na neparametrických testech

8. M-odhady

9. M-odhady • Hledá řešení, které je nejpravděpodobnější • Jako podezřelá měření bere měření s největší opravou • Normovaná chyba • Normovaná oprava • Korekční člen w představuje určitou váhu měření, jejichž velikost je přímo závislá na velikosti normované opravy, tj.

10. M-odhady • Koeficienty w se sestaví do diagonální váhové matice W • Tato matice se použije jako matice vah ve zprostředkujícím vyrovnání • Váhy wizávisí na opravách vi, tj. na odhadu neznámých x. Odhad tedy musí být určován iterativně, jako první aproximaci lze použít výsledek metody nejmenších čtverců.

11. Huberův M-odhad • Až na násobný koeficient se jedná o metodu nejmenších čtverců a metodu nerobustní, váha je konstantní wi = 1. • Volí se konstanta c, která závisí na četnosti odlehlých měření Vlivová funkce ψ při MNČ Vlivová funkce ψ při Huberově M-odhadu

12. Huberův M-odhad • Váhy se volí podle předpisů • Odvození je pro případ, kdy jsou všechna měření stejně přesná. Pokud máme různě přesná měření, wi se použije jako násobný koeficient.

13. Použitá literatura • 18. Metody robustního odhadu. IngGeo - portál inženýrské geodézie. Dostupné z: http://inggeo.fsv.cvut.cz/wiki/doku.php?id=04_teorie_chyb:0418_robustni_odhad • Prezentace diplomové práce: Kontrola stability sítě v reálném čase pomocí přístroje LeicaTCA2003, Petr Polák. Dostupné z: svambor.borec.cz/diplomka/poli.ppt • Česká statistická společnost. Dostupné z: http://www.statspol.cz/robust

14. Děkuji za pozornost Konference ROBUST je nejvýznamnějším setkáním statistiků pořádaným Českou statistickou společností (pořádaná poprvé v r. 1980 a dále každý sudý rok jako letní či zimní škola, původně organizovaná JČSMF, později JČMF za podpory ČStS).