forelesning 4 hstat1101 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Forelesning 4 HSTAT1101 PowerPoint Presentation
Download Presentation
Forelesning 4 HSTAT1101

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 28

Forelesning 4 HSTAT1101 - PowerPoint PPT Presentation


  • 143 Views
  • Uploaded on

Forelesning 4 HSTAT1101. Ola Haug. Norsk Regnesentral. 08.09.04. Husker du?. Betinget sannsynlighet Total sannsynlighet – oppdeling av utfallsrommet i disjunkte begivenheter Bayes’ lov Binomialkoeffisienten. Diagnostiske tester - presisering.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Forelesning 4 HSTAT1101' - alia


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
forelesning 4 hstat1101

Forelesning 4HSTAT1101

Ola Haug

Norsk Regnesentral

08.09.04

husker du
Husker du?
  • Betinget sannsynlighet
  • Total sannsynlighet – oppdeling av utfallsrommet i disjunkte begivenheter
  • Bayes’ lov
  • Binomialkoeffisienten
diagnostiske tester presisering
Diagnostiske tester - presisering
  • Sensitivitet og spesifisitet sier noe om sannsynligheten for ulike testutslag, gitt pasientens tilstand:
    • P(+ test | syk) (påvise sykdom hos syke)
    • P(- test | frisk) (utelukke sykdom hos friske)
  • Positiv og negativ prediktiv verdi (PPV og NPV) angir sannsynligheter for en persons tilstand ut fra testresultatet:
    • PPV = P(syk | + test) (pålitelighet av pos. testutslag)
    • NPV = P(frisk | - test) (pålitelighet av neg. testutslag)
  • Alle de fire begrepene ovenfor sier noe om testens egenskaper
diagnostiske tester presisering1
Diagnostiske tester - presisering
  • Koblinger mellom begrepene via Bayes’ lov:
dagens temaer
Dagens temaer
  • Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
  • Binomisk fordeling
  • Poissonprosessen
  • Poissonfordeling
stokastisk fors k sannsynlighetsfordeling
Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
  • Stokastisk forsøk:
    • Et eksperiment hvor utfallet ikke er kjent på forhånd
    • De enkelte utfall kan ha ulik sannsynlighet for å opptre

Ex. - Terningkast

- Responsen på en antibiotikakur

  • Deterministisk forsøk:
    • Et eksperiment hvor utfallet er gitt når inngangsdataene er spesifisert

Ex. - Tidspunkt for soloppgang (for bestemt sted og dato)

- Hastigheten til ei kule som slippes fra en viss høyde (Newton)

stokastisk fors k sannsynlighetsfordeling1
Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
  • Stokastisk variabel:
    • Tallstørrelse knyttet til utfallet av et stokastisk forsøk
    • Varierer tilfeldig fra forsøk til forsøk
    • Deles ofte i tellevariabler og målevariabler
    • Angis med stor bokstav (X, Y, …)

Ex. Tellevariabler:

- Antall ganger ”1” opptrer i løpet av 10 terningkast

- Antall pasienter som oppsøker legevakten i løpet av et døgn

Ex. Målevariabler:

- Hemoglobinnivå i blodet

- Levealder til en kreftpasient

stokastisk fors k sannsynlighetsfordeling2
Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
  • Sannsynlighetsfordeling:
    • Beskriver den tilfeldige variasjonen til en stokastisk variabel
    • Angir sannsynligheten for de forskjellige mulige verdiene x av den stokastiske variabelen X, P(X=x)
    • Sannsynlighetene for de forskjellige mulige utfallene skal summere seg til 1,
    • Kan presenteres i tabellform eller grafisk som et histogram

Ex. Terningkast:

      • Registrerer hvor mange ganger ”1” opptrer i løpet av 10 kast
      • Mulige verdier: 0, 1, 2, …, 10
      • Ikke lik sannsynlighet for alle disse utfallene!
stokastisk fors k sannsynlighetsfordeling4
Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
  • Forventningsverdi
    • Mål for tyngdepunktet (sentrum) i en sannsynlighets-fordeling
  • Varians og standardavvik
    • Mål for spredningen i en sannsynlighetsfordeling (høye verdier indikerer stor spredning)
eksempel myntkast
Eksempel - myntkast
  • Kast en mynt tre ganger, og la X være antall kron
  • Da kan X ta verdiene 0,1, 2 og 3
  • Sannsynlighetene for disse verdiene er henholdsvis 1/8, 3/8, 3/8 og 1/8 (gunstige / mulige)
  • Spørsmål: Hva er forventning, varians og standardavvik til X?
stokastisk fors k sannsynlighetsfordeling5
Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
  • Regneregler for forventning og varians
    • For vilkårlige tall a og b gjelder:
    • For en sum av stokastiske variabler gjelder at
stokastisk fors k sannsynlighetsfordeling6
Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
  • Stokastisk uavhengighet mellom variabler:
    • Utfallet til hver enkelt variabel blir ikke påvirket av utfallet til den andre. Matematisk:

jfr. tidligere for uavhengige hendelser:

Ex. Feber og sykkelfarge

    • For variansen til en sum av parvis stokastisk uavhengige variabler

gjelder at

stokastisk fors k sannsynlighetsfordeling7
Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
  • Sammenheng mellom gjennomsnitt og forventning?
    • Gjennomsnittsverdien i et datasett er en ren summasjon av observasjonene og er ikke generelt koblet til noen sannsynlighetsfordeling.
    • Begrepet forventningsverdi er derimot knyttet opp mot en stokastisk variabel med en nærmere bestemt sannsynlighetsfordeling og trenger ikke noe datasett for å kunne beregnes (såfremt sannsynlighets-fordelingen er kjent).
binomisk fors ksrekke
Binomisk forsøksrekke
  • Tenk deg et forsøk hvor vi ser på blodtypen til forskjellige personer og teller antall som har blodtype B
  • Anta uavhengighet mellom blodtypene til de enkelte personene
  • Dette er et eksempel på en binomisk forsøksrekke
binomisk fors ksrekke1
Binomisk forsøksrekke
  • Definisjon: En binomisk forsøksrekke bestående av n enkeltforsøk må oppfylle følgende betingelser
    • De enkelte forsøk må være uavhengige av hverandre
    • I hvert enkeltforsøk registreres det om en begivenhet A inntreffer (suksess) eller ikke (fiasko)
    • Sannsynligheten for A er den samme i hvert forsøk

Sannsynligheten for A betegnes p.

binomisk fors ksrekke2
Binomisk forsøksrekke
  • Flere eksempler på binomiske forsøksrekker:
    • Terningkast
      • A: ”6”-er, p=1/6
      • A: ”Like antall øyne”, p=1/2
    • Barnefødsler
      • A: jente, p=1/2
      • A: ryggmargsbrokk, p=0.001
      • A: fødselsvekt < 2500g, p=…
    • Genetikk: Mor og far bærere av genet for cystisk fibrose
      • A: barn sykt, p=1/4
binomisk fors ksrekke3
Binomisk forsøksrekke
  • Vi sier at antall suksesser (X) i en binomisk forsøksrekke er binomisk fordelt
  • Formel for sannsynligheten av utfallene i den binomiske fordelingen
  • Forventning og varians i den binomiske fordelingen
binomisk fors ksrekke4
Binomisk forsøksrekke
  • Utledning av binomisk fordeling
    • Betrakter en binomisk forsøksrekke med n enkeltforsøk
    • Lar den stokastiske variabelen X betegne antall ganger A inntreffer
    • Sannsynlighetsfordelingen til X, P(X=x) = ?.
eksempel blodtype
Eksempel – blodtype
  • Anta at 8% av en befolkning har blodtype B
  • Spørsmål:
    • Hva er sannsynligheten for at man i en gruppe på 10 personer finner én person med blodtype B?
    • To personer?
    • Hvor mange personer i gruppa kan forventes å ha blodtype B?
poissonprosessen
Poissonprosessen
  • Betrakt antall nye tilfeller av brystkreft registrert til et kreftregister i løpet av et år
  • Anta at:
    • raten av (eller sannsynligheten for) registreringer er lik gjennom hele perioden
    • registreringene skjer uavhengig av hverandre
    • ingen registreringer kan være fullstendig sammenfallende i tid
  • Vi har da et eksempel på en Poissonprosess
poissonprosessen1
Poissonprosessen

tid

  • Poissonprosessen framkommer når vi betrakter hendelser som fordeler seg tilfeldig over et kontinuum, f.eks.
    • Volum

Ex. Plasseringen til røde blodlegemer i en mengde blod

    • Tid

Ex. Registrering av krefttilfeller i løpet av et år

poissonfordelingen
Poissonfordelingen
  • Antall hendelser/objekter X innenfor et område av kontinuumet sies å være Poissonfordelt
  • Sannsynlighetene i Poissonfordelingen er gitt ved

hvor er forventet antall hendelser/objekter innenfor området (tidsperioden, volumet, …) man betrakter.

poissonfordelingen2
Poissonfordelingen
  • Poissonfordelingen som tilnærmelse til binomisk fordeling
    • Tommelfingerregel: En binomisk fordelt variabel er tilnærmet Poissonfordelt (med ) hvis
    • Dette er en ganske vanlig situasjon i medisin: liten sannsynlighet for hendelsen, men mange forsøk (=personer)
  • Direkte bruk av Poissonfordelingen som fordelingen til antall hendelser i en Poissonprosess kan være mer hensiktsmessig i situasjoner hvor vi ikke kjenner n og p
eksempel ryggmargsbrokk
Eksempel – ryggmargsbrokk
  • Vi ønsker å se på forekomster av ryggmargsbrokk hos nyfødte
    • Antall fødsler på Ullevål sykehus i Oslo per år er ca. n = 5000
    • P(ryggmargsbrokk) = 1 / 1000
  • Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at 6 barn fødes med ryggmargsbrokk i løpet av et år?
eksempel aids
Eksempel - AIDS
  • Nye AIDS-tilfeller i 1991, registrerte tilfeller per uke, 47 uker:

1 1 0 1 2 1 3 0 0 0 0 0

0 2 1 2 2 1 3 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 0 2 1 0 2 0 2

1 6 1 0 0 1 0 2 0 0 0

  • Gjennomsnittlig antall tilfeller per uke (fra dataene): 0.936
  • Spørsmål: Hva er sannsynligheten for 0 nye AIDS-tilfeller i løpet av en uke?