工程流体力学教研室 2007 年 5 月

兰州交通大学 环境与市政工程学院流体力学远程教学电子文档总负责:孙三祥副教授技术负责:张永秋副教授工程流体力学教研室 2007年5月

第四章流体动力学基础 第一节流体的运动微分方程第二节元流的伯努利方程第三节总流的伯努利方程第四节总流的动量方程第五节理想流体的无旋流动

　图4—1连续性微分方程 第一节　　流体的运动微分方程连续性微分方程是控制流体运动的运动学方程，还需建立控制流体运动的动力学方程这就是液体的运动微分方程。这就是流体的运动微分方程这就是液体的运动微分方程。一、理想流体运动微分方程在运动的理想流体中，取微小平行六面体(质点)，正交的三个边长dx,dy,dz,分别平行于x,y,z坐标轴(图4—1)。设六面体的中心点 o‘，速度压强ｐ，分析该微小六面体ｘ方向的受力和运动情况。 1.表面力：理想流体内不存在切应力．只有压强ｘ方向受压面(abcd面和a‘b’c‘d’面)形心点

的压强为： （4—1）（4—2）受压面上的压力为：　（4—3）（4—4）质量力：　　　　（4—5）由牛顿第二定律得： [( ) -( ) ] +

化简得： （4—6）将加速度项展成欧拉法表达式 : （4—7）用矢量表示为：　　（4—8）

　　　上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式，因此是控制理想流体运动的基本方程式。　　　上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式，因此是控制理想流体运动的基本方程式。 1755年欧拉在所著的《流体运动的基本原理》中建立了欧拉运动微分方程式，及上一节所述的连续性微分方程式。对于理想流体的运动，含有和ｐ四个未知量，由式(3—30)和式(3—36)组成的基本方程组，满足未知量和方程式数目一致，流动可以求解。因此说，欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠定了理想流体动力学的理论基础。

第二个角标表示应力的方向，则法向应力　　　　　第二个角标表示应力的方向，则法向应力　　　　　　进—步研究证明，任一点任意三个正交面上的法向应力之和都不变，即（4—9）据此，在粘性流体中，把某点三个正文面上的法向应力的平均值定义为该点的动压强以p表示：（4—10）　如此定义，粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数（4—11） 2.应力和变形速度的关系粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变形速度有关，切应力则与角变形速度有关。

流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加法向应力，以　　　　　　　表示，它是流体微团在法线方向上发生线变形(伸长或缩短)引起的。流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向应力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加法向应力，以　　　　　　　表示，它是流体微团在法线方向上发生线变形(伸长或缩短)引起的。（4—12）切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中符合牛顿内摩擦定律　　　

将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动,得出 （4—13） 3．粘性流体运动微分方程　　采用类似于推导理想流体运动微分方程式（4—6）的方法，取微小平行六面体，根据牛顿第二定律建立以应力(包括切应力)表示的运动微分方程式，并以式(4—12)、式(4—13)代人整理，使得到粘性液体运动微分方程：

（4—14） 用矢量表示为（4—15）式中：　　　　　　　　　——拉普拉斯算子。自欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工程师纳维 (Claude.Louis.Marie.Henri. Navier，1785.2.10~1836.8.21，法国力学家、工程师)、英国数学家斯托克斯(Stokes 1819~1903)等人经过近百年的研究，最终完成现在形式的粘性流体运动微分方程，又称为纳维—斯托克斯方程(简写为N—S方程)。

N—S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力(压力和粘性力) 的相平衡。由N—S方程式和连续性微分方程式组成的基本方程组，原则上可以求解速度场和压强场p,可以说粘性流体的运动分析，归结为对N—S方程的研究。 [例4—1] 理想流体速度场为　　为常数。试求：（1）流动是否可能实现；（2）流线方程；（3）等压面方程(质量力忽略不计) [解] (1)由连续性微分方程满足连续性条件，流动是可能实现的。 (2)由流线方程得：

积分得流线方程 a,b同号，流线是双曲线a,b异号,流线是圆。 (3)由欧拉运动微分方程式，不计质量力：将方程组化为全微分形式:

积分，得 令p=常数即得等压面方程等压面是以坐标原点为中心的圆。

第二节　　元流的伯努利方程 一、理想流体运动微分方程的伯努利积分理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有特定条件下的积分，其中最为著名的是伯努利(Daniel Bernoull，1700～1782，瑞士科学家)积分。（4—16）

由理想流体运动微分方程式 （4—17）各式分别乘以沿流线的坐标增量dx，dy，dz，然后相加，得：（4—18 ） 1.引人限定条件： ①．作用在流体上的质量力只有重力：X=Y=0,Z=-g; （4—19） ②.不可压缩，恒定流：（4—20）

③.恒定流流线与迹线重合：dx=uxdt，dy=uydt， dz=uzdt 则（4—21）将式（4—19）（4—20）（4—21）带入式（4—18）积分得：（4—22）即: （4—23）或: （4—24）

上述理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分，所得式上述理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分，所得式称为伯努利方程，以纪念在理想流体运动微分方程建立之前，1738年瑞士物理学家和数学家伯努利根据动能原理提出式，用于计算流动向题的著名方程。由于元流的过流断面积无限小，所以沿流线的伯努利方程就是元流的伯努利方程。推导该方程引入的限定条件，就是理想流体元流伯努利方程的应用条件，归纳起来有：理想流体；恒定流动；质量力中只有重力；沿元流(流线)；不可压缩流体。 1.物理意义式 (4—23)中的前两项、和的物理意义，在第二章第三节中已说明，分别是单位重量流体具有的比位能压能或比势能；单位重量流体具有的动能。

图4—2水头线 三项之和是单位重量流体具有的机械能，式(4—23)则表示理想流体的恒定流动，沿同一无流(沿同一流线)。单位重量流体的机械能守恒。伯努利方程又称为能量方程。 2.流体意义式(4—23)各项的流体力学意义为：z是位置水头，压强水头；两项之和是测压管水头，是流速水头，能够直接量测，量测原理在随后的例题中说明。三项之和称为总水头．式(4—23)则表示理想流体的恒定流动，沿同一元流 (沿同一流线)各断面的总水头相等．理想流体的水头线是水平线 (图4—2)。

3.几何意义 式(4—23)各项的几何意义是不同的几何高度：z 是位置高度，　测压管高度。总结如下：项目　　　　z 物理意义单位位能单位压能单位势能单位动能单位总能量或比位能或比压能或比势能或比动能总比能几何意义位置高度测压管高度势能高度流体意义位置水头压强水头测压管水头流速水头总水头

图4—4 毕托管构造 式中o点的压强水头，由另—根测压管量测，于是测速管和测压管中液面的高度差,就是A 点的流速水头，该点的流速：（4—27）根据上述原理，将测速管和测风管组合成测量点流速的仪器，图4—4所示，与迎流孔(测速孔)相通的是测速管，与侧面顺流孔（测压孔或环形窄缝）相通的是测压管。考虑到粘性流体从迎流孔至顺流孔存在粘性效应，以及皮托管队员流场的干扰等影响，引用修正系数C：录像

图4—5 式中C是修正系数．数值接近于1.0，由实验测定。【例4-3】有一贮水装置如图（4-5）所示，水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm 时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。【解】当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程，求出Ｈ值：

所以管内流量： 三、粘性流体元流的伯努利方程实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力作功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失。因此，粘性流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程减少，总水头线是沿程下降。自19世纪30年代以来，人们从大量经验事实中，总结出一个重要结论。能量可以从一种形式转换成另一种形式，既不能创造、也不能消灭，总能量是恒定的，这就是能量守恒原理。

因此，设为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1—1运动至因此，设为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1—1运动至过流断面2—2的机械能损失，称为元流的水头损失，根据能量守恒原理，便可得到粘性流体元流的伯努利方程水头损失也具有长度的量纲。

第三节　总流的伯努利方程 上一节的最后得到了粘性液体元流的伯努利方程式(4—29)，为了解决实际问题，还需要将其推广到总流中去。一、渐变流及其性质在推导总流的伯努利方程之前，做为方程的导出条件，将流动区分为渐变流和急变流。凡质点的迁移加速度(位变加速度)很小，的流动，或者说流线近于平行直线的流动定义为渐变流，否则是急变流(图3—35)。显然，渐变流是均匀流的宽延，所以均匀流的性质，对于渐变流都近似成立，主要是： 1．渐变流的过流断面近于平面。面上各点的速度方向近于平行；

图4—7急变流和渐变流 2．恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的规律分布，即：（4—30）由定义可知，渐变流没有准确的界定标准，流动是否按均匀流处理，所得结果能否满足以工程要求的精度而定。二、总流的伯努利方程设恒定总流，过流断面1—1、2—2为渐变流断面，面积为 A1,A2(图4—8)。在总流内任取元流，过流断面的微元面积、位置高度、压强及流速分别为dA1,z1,p1,u1; dA2,z2,p2,u2。由元流的伯努利方程：

以乘上式即是单位时间通过元流两过流断面的能量关系以乘上式即是单位时间通过元流两过流断面的能量关系（4—31）总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分．便得到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系（4—32）分别确定三种类型的积分 ①．第一类积分：因所取过流断面是渐变流断面

(4—33) ②．第二类积分：各点的速度不同，引入校正系数，积分按断面平均速度v计算： (4—34) ——流速分布不均匀动能校正系数，式中是为校正以断面平均速度计算的动能与实际功能的差异而引入的校正系数，值取决于过流断面上的流速分布情况，分布均匀的流动。通常取

③第三类积分： 积分式单位时间总流由1—1至2—2的械能损失。现在定义为总流单位重量流体由1—1至2—2断面的平均机械能损失，称总流的水头损失 (4—34) 将(4—32)、(4—33)、(4—34)代人式(4—31) (4—35) 两断面间无分流及汇流，Q1＝Q2＝Q，并以除上式，得（4—36）

2. 伯努利方程的适用条件 式(4—37)即粘性流体总流的伯努利方程。将元流的伯努利方程推广为总流的伯努利方程，引入了某些限制条件，也就是总流伯努利方程的适用条件包括： ⑴.不可压缩流体恒定流； ⑵.质量力只有重力； ⑶不可压缩流体(以上引自粘性流体元流的伯努利方程)； ⑷.所取过流断面为渐变流断面； ⑸.两断面间无分流和汇流； ⑹.两断面间无能量的输入或支出； ⑺.不存在相对运动。

3. 伯努利方程的方法步骤 式(4—36)是能量守恒原理的总流表达式。下面举例说明伯努利方程的应用 ⑴.断面选择通常选择未知量所在的断面和已知量最多的断面，它们都必须是渐变流断面； ⑵.代表点选择无压流一般选择自由液面，有压流一般选在管道中心； ⑶.位置基准面选择习惯选择在过各代表点最低者的水平面。位置准面选择对结果无影响； ⑷.压强基准面选择液体一般选取相对压强；气体一般选取绝对压强。压强准面选择对结果无影响； ⑸.列伯努利方程对于初学者，应该分项列出，哪怕是零，也应该写出。但一般只用符号代替，而不代入具体数值，以便推导出未知量的计算公式； ⑹.解伯努利方程求解出题目中所要求的未知量； ⑺.给出答案给出正确的答案

图4—9管道出流 [例4—3]用直径d＝100mm的水管从水箱引水(图4—9)。水箱水面与管道出口断面中心的高差H＝4m保持恒定，水头损失＝3m水柱。试求管道的流量。 [解]这是一道简单的总流问题，应用伯努利方程：

求解的关键是“三选”：选基准面、计算断面和计算点。为便于计算，选通过管道出口断面中心的水平面为基准面0—0((图4—9)。计算断面应选在渐变流断面，并使其中一个已知量最多，另一个含待求量。技以上原则本题选水箱水面为1—1断面，计算点在自由水面上、运动参数z1=H,p1=0 (相对压强), v1=0 。选管道出口断面为2—2断面，以出H断面的中心运动参数z2=0,p2=0, v2待求。将各量代人总流伯努利方程：取得：录像3 录像2 录像1

图4—10恒定气流 四、总流伯努利方程应用的修正伯努利方程是古典水动力学应用最广的基本方程。应用伯努利方程要重视方程的应用条件，切忌不顾应用条件，随意套用公式，要对实际问题做具体分析，灵活运用。下面结合三种情况加以讨论。 1.气体的伯努利方程总流的伯努利方程式(4—36)是对不可压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但是对流速不很大(＜60m／s)，压强变化不大的统，如工业通风管道、烟道等，气流在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯努利方程仍可用于气流。由于气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。设恒定气流(图4—10)、气流的密度为外部空气的密度为，过流断面上计算点的绝对压强。列1—1和2—2断面的伯努利方程式：

（4—38） 进行气流计算，通常把上式表示为压强的形式（4—39）式中pw为压强损失　　　　　　　　　　　　　　　　（4—40）　　　　　　　　　　　　　将式(4—39)中的压强用相对压强p1,p2表示，则：（4—41）（4—42）式中为处的大气压，为高程处的大压，代人式(4—37)，整理得：（4—43）

这里称为静压； 称为动压。为单位体积气体所受有效浮力，为气体沿浮力方向升高的距离，乘积为1—1断面相对于2—2 断面单位体积气体的位能，称为位压。式（4—42）就是以相对压强计算的气流伯努利方程。当气流的密度和外界空气的密度相同，或两计算点的高度相同时，位压为零，式（4—42）化简为：（4—44）式中静压与动压之和称为全压。当气流的密度远大于外界空气的密度( )，此时相当于液体总流，式(4—43)中可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，式(4—43)化简为：

（4—45） 除以，即（4—46）由此可见，对于液体总流来说，压强不论是绝对压强，还是相对压强，伯努利方程的形式不变。 2.有能量输入或输出总流伯努利方程式(4—37)是在两过流断面问除水头损失之外，在无能量输入或输出的条件下导出的。当面过流断面间有水泵、风机(图4—11)或水轮机(图4—12)等流体机械时，存在能量的输入或输出。此种情况，根据能量守恒原理，计入单位重量流体经流体机械获得或失去的机械能，

图4—11有能量输入的总流 式(4—29)便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程式：（4—47）式中：+H——表示单位重量流体通过流体机械(如水泵)获得的机械能，对于水泵称为水泵的扬程； -H ——表示单位重量流体给流体机械(如水轮机)的机械能，又称为水轮机的设计水头。图4—12有能量输出的总流

图4—13沿程分流 3.两断面间有分流或汇流总流的伯努利方程式(4—36)，是在两过流断面间无分流和汇流的条件下导出的。而实际的供水供气管道沿程多有分流和汇流．这种情况式(4—36)是否还能用呢?对于两断面间有分流的流动(图4—13)，设想1—1断面的来流，分为两股(以虚线划分)分别通过2—2、3—3断面。对 (1—1断面中的一部分)和2—2断面列伯努利方程，其间无分流：（4—48）

因所取1—1断面为渐变流断面。面上各点的势能相等，则：因所取1—1断面为渐变流断面。面上各点的势能相等，则：（4—49）如1—1断面流速分布较为均匀，　　　　则：（4—50）故（4—51）近似成立。同理可得：（4—52）由以上分析，对于实际I程中沿程分流的总流，当所取过流断面为渐变流断面，断面上流速分布较为均匀，并计人相应断面之间的水头损失。

第四节　　总流的动量方程 总流的动量方程是继连续性方程式、伯努利方程式(4—36)之后的第三个积分形式基本方程，它们在流体力学及水力学中习惯地被称为三大方程，下面由动量原理，推导总流的动量方程。一、总流的动量方程设恒定总流，取过流断面Ⅰ－Ⅰ、Ⅱ－Ⅱ为渐变流断面，面积为以过流断面及总流的例表面围成的空间为控制体(图3—14)。控制体内的流体，经dt时间，由Ⅰ—Ⅱ运动到Ⅰ—Ⅱ位置。在流过控制体的总流内，任取元流1—2,断面面积dA1,dA2，点流速为，dt时间，元流动量的增量（4—53）（4—54）

dt时间，总流动量的增量，因为过流断面为渐变流断面，各点的流速平行，按平行矢量和的法则，定义　　　为　　　方向的基本单位向量，　　为　　　方向的基本单位向量dt时间，总流动量的增量，因为过流断面为渐变流断面，各点的流速平行，按平行矢量和的法则，定义　　　为　　　方向的基本单位向量，　　为　　　方向的基本单位向量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4—55）　　　对于不可压缩液体　　　　　　，并引入校正系数，以断面平均流速v代替点流速积分得：（4—56）式中是为校正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入的校正系数，称为流速分布不均匀动量校正系数：（4—57）

值取决于过流断面上的速度分布，速度分布较均匀的流动， ＝1.02～1. 05，通常取＝1.0 由动量原理，质点系动员的增量等于作用于该质点系上的外力的冲量： (4—58) 投影式： (4—59) 式(4—58)、式(4—59)就是恒定总流的动量方程。方程表明，作用于控制体内流体上的外力，等于单位时间控制体流出动量与流人动量之差。综合推导式(4—47)规定的条件，总流动量方程的应用条件有：恒定流；过流断面为渐变流断面，不可压缩流体。录像

图4—14 二、动量方程应用举例【例3—9】水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1—1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，转角=60°，如图4—14所示。求水对弯管作用力F的大小。【解】水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而 F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。

⑴.根据连续性方程可求得： ⑵.列管道进出口的伯努利方程，则： ⑶.所取控制体受力分析，进、出口控制面上得总压力：（kN）（kN）

壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图(4—14)所示。壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图(4—14)所示。 ⑷.写出动量方程选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。沿x轴方向沿y轴方向 (KN) (KN)

(KN) 管壁对水的反作用力水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。总流动量方程是动量原理的总流表达式，方程给出了总流动量变化与作用力之间的关系。根据这一特点，求总流与边界面之间的相互作用力问题，以及因水头损失难以确定．运用伯努利方程受到限制的问题，适于用动量方程求解。三、动量矩方程上面对动量定理的推导过程中所用之方法、步骤，对动量矩定理也完全适用，而所得结果与动量定理完全相似，只要在以上的相应式个，将动量换成动量短就成为动量矩定理；这里不作重复的推演。恒定流动的动量矩定理为：

图4—15 (4—60) 上式表明，在流出面上的流出动量矩与流入面上的流入动量矩之差等于外力矩之和。常见的流体机械中，离心式水泵、风机都是将其机械能转换为流体的动能和压能的。水轮机则是利用流体的动能使叶片机械转动向外输出功率，其工作原理都是相同的。图4—15表示水轮机叶轮的两个叶片所形成的槽道，流体自叶轮外径的圆周面流入槽道，经叶轮内径的圆周面流出槽道，进入叶轮中心区域的导管沿轴向流出；叶轮叶片就是在流体流动时获得力矩而转动向外作功的。

假定叶片数目足够多，则叶片间的槽道可近似为一元流动，各截面上的速度是均匀的。还假定叶轮作等角速 的旋转，则叶轮个流场虽为不定常，但叶轮中的总体动量矩不随时间变化，可适用定常的动量矩公式，下面我们来导出水轮机(也称涡轮机)的动量矩公式。先选取控制面：半径的进口圆周团和半径的出口圆周团之间的流体表面，其中包括各叶片与流体的接触面；现在分析控制面上的运动情况及受力情况。设流体以相对速度经半径的圆周团流入叶片槽道，由于半径的圆周速度即牵连速度，则流体流入槽道的绝对速度为 (4—61) 设绝对速度为与圆周切向夹角为．则其径向分量和周向分量的大小分别为： (4—62) (4—63)

同理，流体在流出半径 圆周面上的相对速度，牵连速度，则绝对速度为 (4—64) 设绝对速度为与圆周切向夹角为，则其径向分量和周向分量的大小分别为： (4—65) (4—66) 在流量为Q的情况下，流出控制面的动量矩为其切向动量与半径的乘积，即： (4—67) 同理，流入控制团的动量矩为其切向动量与半径之乘积，即： (4—68) 假定无粘性力作用，则控制面中的两圆周面上的压力合力不产生力矩，只有叶片对流体的作用力矩。

则根据动量矩定理，(4—64)式减(4—65)式等于外力矩：则根据动量矩定理，(4—64)式减(4—65)式等于外力矩： (4—69) 根据作用反作用原理，叶片上获得流体所给的作用力矩力（4—70）这就是欧拉涡轮方程式，是涡轮机械的基本方程式。叶轮所获得的功率为（4—71）当流出叶片槽道的绝对速度的方向取半径方向，即时，则叶轮获得的力矩公式变为（4—72）相应地，叶轮所获得的功率公式为（4—73）

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